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中国数学奥林匹克命题组 《中等数学》2004,(2):23-26
第一天( 2 0 0 4 - 0 1 - 0 8)一、凸四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在凸四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上,且满足AEEB·BFFC·CGGD·DHHA=1.而点A、B、C、D分别在凸四边形E1F1G1H1的边H1E1、E1F1、F1G1、G1H1上,满足E1F1∥EF ,F1G1∥FG ,G1H1∥GH ,H1E1∥HE .已知E1AAH1=λ.求F1CCG1的值. (熊 斌 供题)二、已给正整数c ,设数列x1,x2 ,…满足x1=c ,且xn=xn -1 2xn -1- (n 2 )n 1,n =2 ,3,…,其中[x]表示不大于x的最大整数.求数列{xn}的通项公式. (黄玉民 供题)三、设M是平面上n个点组成的集合,满足:(1)… 相似文献
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2003年中国数学奥林匹克 总被引：2，自引：0，他引：2
第一天 ( 2 0 0 3 0 1 1 5)一、设点Ｉ、Ｈ分别为锐角△ＡＢＣ的内心和垂心 ,点Ｂ1、Ｃ1分别为边ＡＣ、ＡＢ的中点 .已知射线Ｂ1Ｉ交边ＡＢ于点Ｂ2 (Ｂ2 ≠Ｂ) ,射线Ｃ1Ｉ交ＡＣ的延长线于点Ｃ2 ,Ｂ2 Ｃ2 与ＢＣ相交于Ｋ ,Ａ1为△ＢＨＣ的外心 .试证 :Ａ、Ｉ、Ａ1三点共线的充分必要条件是△ＢＫＢ2 和△ＣＫＣ2 的面积相等 .二、求出同时满足如下条件的集合Ｓ的元素个数的最大值 :(1)Ｓ中的每个元素都是不超过 10 0的正整数 ;(2 )对于Ｓ中任意两个不同的元素ａ、ｂ ,都存在Ｓ中的元素ｃ ,使得ａ与ｃ的最大公约数等于 1,并且ｂ与ｃ的最大… 相似文献
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20 0 3年中国数学奥林匹克第 5题如下 :某公司需要录用一名秘书 ,共有 1 0人报名 .公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试 ,前 3个人面试后一定不录用 .自第 4个人开始将他与前面面试过的人相比较 ,如果他的能力超过前面所有已面试过的人 ,就录用他 ;否则就不录用 ,继续面试下一个 .如果前 9个人都不录用 ,那么就录用最后一个面试的人 .假定这 1 0个人的能力各不相同 ,可以按能力由强到弱排为第 1 ,第 2 ,… ,第 1 0 .显然该公司到底录用到哪一个人 ,与这 1 0个人报名的顺序有关 .大家知道 ,这样的排列共有1 0 !种 .我们以Ak 表示能力为… 相似文献
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第一天 一、(15分)已知T＝{1,2,…,8}.对于A∈T,A≠Φ,定义S(A)为A中所有元素之和.问:T有多少个非空子集A,使得S(A)是3的倍数,但不是5的倍数? 相似文献
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第一天1.求最小的正整数m,使得对于任意大于3的质数p,都有105|(9~p~2-29~p+m).(杨虎供题)2.证明:在正2n-1(n≥3)边形的顶点中,任意取出n个点,其中必有三个点,以它们为顶点的三角形为等腰三角形. 相似文献
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第一天
一、AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙0的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点．求证：PA=QB． 相似文献
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第一天
1.设m、k为给定的非负整数,P=2 2 m+1为质数.求证:
(1)2[2(m+1)pk]≡1(mod Pk+1);
(2)满足同余方程2n≡1(mod Pk+1)的最小正整数n为2(m+1)pk.(靳平供题) 相似文献
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1.一个时针与分针连续转动的12小时标准时钟.设m是整数,且1≤m≤720.恰好在12:00后的m分钟,时针与分针的夹角恰好是1°.求所有可能的m的值. 相似文献
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本期问题 初 119.在△ＡＢＣ中 ,Ｍ、Ｎ两点都在ＡＢ上 (不含两端点 ) ,满足∠ＭＣＮ =30°.已知Ｓ△ＡＢＣ =2 0 0 ,Ｓ△ＣＭＮ=ｆ .当ｆ是一个整数时 ,求ｆ的所有可能的值 .(黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4614 2 )初 12 0 .在平面直角坐标系ｘｏｙ中 ,⊙Ａ的方程为 (ｘ -2 ) 2 +(ｙ -2 ) 2 =1,两个半径都是ｒ且互相外切的⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 均与⊙Ａ相外切 ,又⊙Ｏ1、⊙Ｏ2 分别与ｘ轴、ｙ轴相切 .求ｒ .(吴伟朝 广州大学理学院数学系 ,5 10 40 5 )高 119.证明 :在正整数数列中 ,删除所有完全平方数后剩下的数列的第ｎ项上的数是ｎ +{… 相似文献
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