等差数列的一个性质的推广

《数学通报》1981年第1期发表了雷宗焕同志的《等差数列的一个有趣的性质》一文(下称雷文)。该文用数学归纳法证明了下述命题: 如果a_1,a_2,…,a_n,a_(n+1)成等差数列,则当n≥2时,下列等式总成立: a_1-C_n~1a_2+C_n~2a_3-…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)a_n++(-1)~nC_n~na_(n+1)=0。(※) 本文将(※)式给予推广。首先研究下述命题:     

用换元法巧证一赛题

设 a_1、a_2、b_1、b_2都是实数,a_1≠a_2,且(a_1+b_1)(a_1+b_2)=(a_2+b_1)(a_2+b_2)=1.求证:(a_1+b_1)(a_2+b_1)=(a_1+b_2)(a_2+b_2)=-1.(第六届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题)     

一道思考题解法的高观点研究

九年义务教育六年制小学教科书《数学》第四册88页有这样一道思考题:把1,3,5,7,9,11,13填进7个空中,使每个圆圈中四个数字的和都相等。这道题中给出的七个已知数成等差数列,运用等差数列的下面两个性质,很快便能得出符合题意的多种填法:[性质1]若 a_1,a_2,a_3是公差为 d 的等差数列,则 a_1 a_2,a_1 a_3,a_2 a_3也是公差为 d 的等差数列。     

也谈一道征解题的推广

《数学通报》2001年第5期"数学问题"第1309题为:已知:a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n∈[1,     

一个不等式的推广

题目若a_1,a_2,a_3,a_4∈R~ ,a_1 a_2 a_3 a_4=S,求证:(a_1~3)/(S-a_1) (a_2~3)/(S-a_2) (a_3~3)/(S-a_3) (a_4~3)/(S-a_4)≥(S~2)/12．①(《数学通报》2007年第3期数学问题解答1660)原作者运用算术一几何平均值不等式给出了一种简捷明快的证法,笔者读后颇受启发．本文将不等武①从变量的个数和指数上进行推     

排序引理在中学数学中的应用

华罗庚同志在1978年出版的《全国中学数学竞赛题解》一书的前言中曾提出一个重要的引理: (a)表示非负数a_ 1,a_2,…a_n,     

浅谈哥西不等式的应用

张禾瑞、郝鈵新编的《高等代数》第八章欧代空间的例6:对于任意实数a_1,a_2,…a_(n-1)a_n;b_1,b_2,…b_(n-1),b_n,有不等式(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_2+a_2b_2+…+a_nb_n)~2 (1)     

关于《学会变更问题的形式》一文的注记

《数学教学》1992年第5期《学会变更问题的形式》一文列举的例2及分析1如下: “例2 已知:a_1,a_2,…,a_n是n个正数,满足a_1a_2…a_n=1。求证:(2 a_1)(2 a_2)…(2 a_n)≥3~n(89年全国高中数学联赛试题)。分析1:昨一看,太简单了, 问题出在哪里?分析求证的结论和以上的证法,发现忽视了求证结论中2与3的矛盾,欲证的不等式的左边每一个因式都是两个正数的和,且有一个是2,而右边是3的n次方。有了,两个正数的和可以变为三个正数的和,即     

浅析一个公式的错误

腾发祥同志在《数学解题教学新探》一文(见《数学通报》88年第6期)中,提出了一个不正确的公式: 在等比数列中,由公比的意义q=(a_n)/(a_(n-1))=(a_n)/(qa_(n-2))=(a_n)/(q~2a_(n-3))=…=(a_n)/(q~(n-2)a_1)可得q=((a_n)/(a_1))~(1/(n-1))① a_n=a_1q~(n-1)②若a_k与a_r是等比数列的任意两项,类比公式①、②,又得: q=((a_k)/(a_r))~(1/(k-r))③ a_k=a_rq~(k-r)④显然,公式①、②是③、④当r=1时的特     

一点异议与一点建议

一对等比数列前n项和的公式另一种证明的异议贵刊1985年第3期《等比数列求和公式的另一种证明》一文中,给出了等比数列前n项和的公式(以下称公式)的又一证法。转述如下: “对于等比数列由它的定义有 a_2/a_1=a_3/a_2=…=a_n/a_(n-1)=q (a_2+a_3+…+a_n)/(a_1+a_2+…+a_(n-1))=q (S_-a_1)/(S_n-a_n)=q (S_n-a_1)/(S_n-a_1q~(n-1))=q 整理得 S=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1)”     

一道课本习题的引伸及应用

高中《代数》下册第16页有这样一道习题: 已知a、b、c∈R_ ,求证: (b_2c_2 c_2a_2 a_2b_2)/(a b c)≥abc (1) 这道习题的证明是简单的,但如果我们仅仅到此止步,那未免太可惜了.其实这是一道有着丰富内涵的好题. 首先,我们对此题进行一番引伸. 因为 a_4 b_4 c_4≥b_2c_2 c_2a_2 a_2b_2,从而有 (a_4 b_4 c_4)/(a b c)≥abc (2) 又因为,不等式（1）就是     

一个不等式的推广

题目设 a_i>0,i=1,2,…,n,(?)a_i=1,k∈N_ ,求证:(a_1~k 1/a_1~k)(a_2~k 1/a_2~k)…(a_n~k 1/a_n~k)≥(n~k 1/n~k)~n (1)(《中等数学》2005年第4期数学奥林匹克问题高150)将上述不式(1)的指数进行推广,可得以下命题.     

一道不等式习题的推广

高中《代数》甲种本第二册第114页有这样一道题目: 已知 a,b,c∈R~ ,ab bc ca=1, 求证 a b c≥√3。本文对此题加以推广: 定理设a_1,a_2…a_n∈R~ 且∑a_i a_j=1,     

关于《复系数二项方程a_0x~(2~n)+a_n=0(a_0≠0)的根的代数形式》一文中引理1的商榷

《中学数学教学》1988年第1期刊登的《复系数二项方程a_0X~(2n)+a_n=0(a_0≠0)的根的代数形式》一文,引理1有值得商榷的地方。引理1的原文是:“复数m+ni,(m、n为实数)的平方根的代数形式可以表示为     

柯西不等式在证明中的应用

<正>柯西不等式是高中数学教材4-5《不等式选讲》的内容,虽然高考对柯西不等式的考查要求不高,但是它在不等式的证明、求最值中应用广泛。下面就来谈谈柯西不等式在不等式证明中的应用。1.柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有:(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)。当向量(a_1,a_2,…,a_n)与(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立。2.柯西不等式的变形:设a_i∈R,b_i∈R+(i=1,2,3,…,n),则     

不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

从一个数列的通项公式谈起

高中《代数》教材中有一则数列题:数列{a_n}的项满足a_1=b,a_(n 1)=ca_n d,其中c≠1,说明这数列的通项公式是a_n=(bc~n (d-b)c~(n-1)-d)/c-1,学生常问该结论是如何得出的,下面介绍两种方法。一、归纳法 (上述题解本期已另有文章讨论,本文略——编者) 例1.数列{a_n}:a_1=1,a_(n 1)=4-a_n/3-a_n,求通项     

算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

《高中数学第三册教学参考书》给出了算术——几何平均值不等式的两种归纳法证明。(其中一种是用反向归纳法)。但是,这两个证明都比较繁、从历史角度来看(参看[1]),用通常的数学归纳法来证明这一不等式也是较困难的事。因此,在这里我们介绍它的一些较简单的归纳法证明,供大家数学时选用,参考。算术——几何平均值不等式指: 定理当a_i,i=1,2,…,n,为正数时,有 (a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) (1)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立, 为了方便,今后我们使用下列记号: A_n=(a_1 a_2 … a_n)/n,G_n=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 当a_1=a_2=…=a_n时,(1)式中等号成立是显然的。故下面我们只须证明,当a_1,a_2,…,a_n不全相等时,必有A_n>G_n,即达目的。     

一道竞赛题的联想

《初中生数学学习》1993年第5期第16页中的例题3: a_n表示7~n的末两位数,则a_1+a_2+…+a_(1990)=____.(浙江省第二届初中数学竞赛决赛试题) 原题的答案是49756.如果我们进一步联想,将“末两位数”改成“末三位数”,又怎样来计算呢?     

从一道题的解答中想到的

本刊1988年第5期的《递推数列求通项的几种方法》一文中,王农林老师给出了这样一个例子: 已知数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=(2a_n-9)/(a_n-4),求a_n。