学习高一代数部分口诀

高一代数内容庞杂 ,概念多 ,学生记起来吃力 ,学起来难。为降低学生记忆的难度 ,现将高一代数上册部分内容按课本编排顺序小结为一些口诀 ,供参考。１ 集合的特征 ,其元素“确定 ,互异 ,无顺序”。２ 集合计算 ,要弄清“交不大 ,并不小 ,全里去剩补”。３ ｜ａｘ +ｂ｜＜ｃ,｜ａｘ +ｂ｜＞ｃ（ｃ＞０）型不等式的解 :“大于在两边 ,小于在中间”。４ 不等式ａｘ２ +ｂｘ +ｃ＞０（ａ＞０）的解 :“△大在两边 ,△等除一点 ,△小解为全”。（若ａｘ２ +ｂｘ +ｃ＝０的两根ｘ１＜ｘ２,ａｘ２+ｂｘ +ｃ＞０的解 :△＞０ ,ｘ＞ｘ２,或ｘ＜ｘ１ …     

一类问题的解法

本文通过几例 ,说明“已知一元二次不等式的解集求参数及可化为此类型的问题”的解法 .其根据是一元二次不等式的解集一般是以相应方程的根为端点的 .例 1　不等式ａｘ2 +5ｘ +ｂ>0的解集是ｘ 13<ｘ <12 ,求ａ、ｂ的值 .解 :由题设知 13、12 应是方程ａｘ2 +5ｘ +ｂ=0的两根 .由韦达定理得13+12 =- 5ａ,13·12 =ｂａ ,即 ａ =- 6 ,ｂ =- 1.评注 :本题解法紧扣方程与不等式的关系 ,利用韦达定理 ,迅速获解 .例 2　若关于ｘ的不等式ｘ >ａｘ +32 的解集为 {ｘ|4 <ｘ <ｍ},求实数ａ、ｍ的值 .解 :令ｘ =ｔ,则ｔ∈ ( 2 ,ｍ) .原不等式化为ａｔ2 …     

巧用判别式和二次函数性质解题

文献（１）着重于解决不等式问题,笔者研读后深受启发。一元二次方程ａｘ２十ｂｘ十ｃ＝０的根有下列判断条件：（１）方程有实根,＝ｂ２－４ａｃ　０;（２）方程无实根＝ｂ２-４ａｃ＜０。二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２十ｂｘ＋ｃ（ａ　０）有下列几条性质：性质１若ａ＞?..     

口诀记忆数学知识两例

1、利用口诀记三角函数值初中阶段学习的特殊角三角函数值如上表所示。因为1，所以按30°、45°、60°的正弦、余弦、工切、亲切的顺序，将其值归纳成口诀来记，既省时，又便于记忆：二分之根号一二三，二分之根号三二一；三分之根三整一根三；根三整一三分之根号三。2、利用口诀解一元一次不等式组两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有下面四种情况，如图（设a＜b）（1）的解集是x＞b；（2）的解集是x＜a；（3）的解集是a＜x＜b；（4）的解集是空集。这四种情况的不等式组的解集，可归纳成口诀来记忆：大大取较大，小小取较小；大干小…     

一元二次方程两根间的关系

一元二次方程是中学代数的一个重要组成部分。现将一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）两根之间关系归纳如下．不妨设一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０中,ａ＞０,△≥０,则（１）ｂ＞０,ｃ＞０两实根都为负;（２）ｂ＞０,ｃ＜０两实根异号,绝对值较大的为负;（３）ｂ＜０,ｃ＞０两实根都为正;（４）ｂ＜０,ｃ＜０两实根异号,绝对值较大的为正;（５）ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ是一个完全平方式,则必有ｂ＝±２ａｃ（ｃ＞０）,或△＝０两实根相等;（６）ｂ＝０,ｃ＜０两实根互为相反数;（７）ａ＝ｃ两实根互…     

指数不等式和对数不等式解法新探

利用指数函数和对数函数的单调性解题时，通常要根据底数的大小进行分类讨论，其过程较为繁琐．本文介绍一种方法，可以十分方便的解决一些关于指数或对数的不等式问题．我们知道：指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）和对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１），当０＜ａ＜１时是减函数，当ａ＞１时是增函数．由此可得如下定理：定理１　在指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个实数ｘ１、ｘ２，ａｘ１－ａｘ２与（ａ－１）（ｘ１－ｘ２）的符号相同．定理２　在对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个…     

编制学习歌谣

诱导学生强烈的求知欲和正确的学习动机，激发学生浓厚的学习兴趣和高涨的学习热情，这是让学生变“苦学”为“乐学”的重要手段。为了实现这个目标，许多教师在教学实践中编制了便于记忆知识、掌握方法、并且琅琅上口的学习歌谣。这些歌谣，学生当山歌唱、当口诀念，兴趣盎然、印象深刻，一些枯燥的教学内容，会顿时变得生动起来。《代数》第六章中关于两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集，有以下四种情况（a＜b）：（１）不等式组x＞a{x＞b的解集是x＞b；（２）不等式组x＜a{x＜b的解集是x＜a；（３）不等式组x＞a{x＜b的解集是a＜…     

谈用“特值法”解概念题

下面是一组判断正误的题:（１）-ｘ一定是负数;（２）-｜ｘ｜一定是负数;（３）｜ｘ｜一定不是负数;（４）若ａ＝ｂ,则｜ａ｜＝｜ｂ｜;（５）若｜ａ｜＝｜ｂ｜,则ａ＝ｂ;（６）若ｘ＜ｙ,则｜ｘ｜＜｜ｙ｜;（７）若｜ｘ｜＜｜ｙ｜,则ｘ＜ｙ;（８）若ｘ是有理数,则３ｘ＞２ｘ。初一学生在做这类概念题时往往感到很困难。我体会,在做有理数概念的判断题时,要考虑零和负数的情况,首先考虑零的情况,采用代入特殊值进行验证的方法,即具体按“先代０,若不定,再代-１”进行验证的方法,能既快又准地得出结论。以上许多判断题,只要先把零代进去验证一…     

巧用递推法求值

所谓“递推法” ,就是根据题目特点 ,构造递推关系式解题的一种方法 ,运用这种方法解题 ,往往能化繁为简 ,变难为易 ,得到简捷合理的解题途经 .1　利用已知的递推关系式求值例 1　设ａ、ｂ、ｃ为非零常数 ,ｘ2 =ａｘ1 ｂ ,ｘ3=ａｘ2 ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａｘ9 ｂ ,若ｘ1 0 =0 ,则ｘ1 =.(第三届“缙云杯”竞赛题 )解　∵　ｘ3 =ａ(ａｘ1 ｂ) ｂ =ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ ,ｘ4=ａ(ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ) ｂ =ａ3 ｘ1 ａ2 ｂ ａｂ ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａ9ｘ1 ａ8ｂ ａ7ｂ … ａｂ ｂ =0 ,∴　ｘ1 =- ｂａ9( 1 ａ ａ2 … ａ8) .2　利用幂指数构造…     

圆和一元二次方程的根

利用圆来解一元二次方程,是一种有效的解题方法．下面给出一个一般性的定理,并由此推出一个便于应用的推论．定理设一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０．（ａ≠０）（１）在直角坐标系ｘｏｙ中,以（－ｂ２ａ,λ）（λ为任意实数）为圆心,以ｂ２－４ａｃ４ａ２＋λ２为半径可画一族⊙λ．如果：（１）圆族⊙λ中有一个圆与ｘ轴相交于两点,则⊙λ中其余圆也必与ｘ轴相交于这两点,并且这两点的横坐标就是方程（１）的两不等实根;（２）圆族⊙λ中有一个圆与ｘ轴相切于Ｐ点,则⊙λ中其余圆也必与ｘ轴相切于Ｐ点,并且Ｐ点的横坐标就是方…     

数学模拟自测题

数学模拟自测题竺志平，唐鸿昌代数（一）一、选择题１．已知全集｛ｘ｜ｘ〈５｝，则ＡＵＢ＝（）（Ａ）｛ｘ｜Ｏ《５｝（Ｂ）｛ｘ｜ｘ〈Ｏ或ｘ》５｝（Ｃ）｛ｘ｜ｘ≤Ｏ或ｘ＞５｝（Ｄ）φ２．下列元素与集合的关系中，正确的是（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）３．若ｂ＜ａ...     

复合函数y=f〔(x)〕定义域求法例析

一、已知函数的解析式 ,求复合函数的定义域例１ 求函数 ｙ＝ｌｇ ｘ的定义域．解 :中间函数的定义域是ｘ≥０ ,函数ｌｇｘ的定义域是ｘ＞０ ,所以复合函数 ｙ＝ｌｇｘ的定义域是既满足不等式ｘ≥０又满足不等式 ｘ＞０的ｘ值的集合 ,即不等式组ｘ≥０,ｘ ＞０,的解集．∴定义域是（０ ,+∞ )．二、用符号表示的函数的定义域对用符号表示的函数 ,应紧紧抓住中间变量这一关键环节 ,由已知的定义域 ,得出相应的条件组（不等式或不等式组）．如 ,已知 ｆ（ｘ）的定义域为ｘ∈〔ａ,ｂ〕 ,求 ｆ 〔φ（ｘ）〕的定义域 ,则由ａ≤ｘ≤ｂ ,可得ａ…     

应用一个不等式解混合物计算题

一、不等式的导出＜l）将不等式于＞兴两边依次乘以At”、加上AB、除以A（A＋L”），最后得千＞千二。（中间过程略）（）将不等式于＞芬两边依次乘以Ac加上fw、除以C（A＋C），最后得兰｛兰＞；（中间过程略）。，、．B、B＋D＿D所以千＞二千＞三。’”’一A—A个L”一C”结论：两个不相等的比，它们的前项之和与后项之和的比，必大于其中一个较小的比而小于另一个较大的比。＿＿。。B、＿D。B＋D。。＿。＿。。。＿式中的手和S是千H的两个极端值，““’”‘A”‘”C“A＋t”““『’“”一”’“”B＋D。B、＿DL。。．1＿。…     

初一代数期末测试题

一、填空题 (15分 )1 用科学记数法表示 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 2 9=.2 不等式组12 ｘ≥ 1ｘ - 3≤ 0的解集是 .3 (ｘ -ａ) (ｘ ａ) (ｘ4 ａ4 ) (ｘ2 ａ2 ) =.4 当ｘ时 ,代数式13(ｘ - 1)5的值不是正数 .5 方程组 ａｘ ｂｙ =13ａｘ - 4ｂｙ =18和 4ｘ - ｙ =53ｘ ｙ =9有相同的解 ,那么ａ ｂ的值为 .6 若 |ｘ 1| (ｙ - 2 ) 2 =0 ,则ｘｙ =.7 若有理数ａ满足 ａ|ａ|=- 1,则ａ是 .8 若 11- |1-ｘ|有意义 ,则ｘ取 .9 12 5ａ3ｂ3÷ 5ａｂ =.10 [(-ｘ) 3]4 =.11 若ａ <0 <ｂ ,且 |ａ|>ｂ ,则化简 |ａ ｂ|- |ａ -ｂ|- |ｂ -ａ|=.12…     

一个易被忽视的错误

在众多的高三复习资料中流行着这样一个问题 :“已知ａ2 ｂ2 ｃ2 =1 ,ｘ2 ｙ2 ｚ2 =9,ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ｔ,求ｔ的最小值 .”批阅学生作业时发现绝大多数学生产生下面的误解 .求ｔ的最小值即求ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ的最大值 .因为ａｘ≤ ａ2 ｘ22 ,ｂｙ≤ ｂ2 ｙ22 ,ｃｚ≤ｃ2 ｚ22 .所以ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ 12 (ａ2 ｘ2 ｂ2 ｙ2 ｃ2 ｚ2 ) =5 .故ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ的最大值是 5 ,即ｔ的最小值是 5 .错误剖析 :应用基本不等式得到ｕ =ａｘ ｂｙ ｃｚ≤ 5是正确的 ,这只能说ｕ最大值小于或等于 5 ,并不能得出ｕ的最大值是 5 …     

一道竞赛题解答之我见

一道竞赛题解答之我见□刘永钧（四川攀枝花市第十中学６１７０６８）华中师大出版社出版的《初中数学竞赛跟踪辅导》（１９９１年３月版）一书Ｐ２７的例４及解法如下：例４（上海１９８９年初二竞赛题）如果关于ｘ的不等式（２ａ－ｂ）ｘ＋ａ－５ｂ＞０的解为ｘ＜１０７...     

构造平面向理 巧解最值问题

最值问题是数学奥林匹克中的热门试题 .它技巧性强 ,难度大 ,解法活 .本文利用高中数学新教材中新增的重要内容———平面向量 ,巧解一类最值问题 .1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　 (1992年上海市高三数学竞赛试题 )若正数使不等式 :ｘ +ｙ≤ａｘ +ｙ对一切正数ｘ、ｙ成立 ,则ａ的最小可能值是＿＿＿＿＿ .解　构造向量 ａ =(ｘ ,ｙ) , ｂ=(1,1) .由 ｜ ａ· ｂ｜≤｜ ａ｜｜ ｂ｜ ,得　　ｘ+ ｙ≤ 2 · ｘ+ｙ.当且仅当 ａ与 ｂ同向 ,即ｘ =ｙ时 ,等号成立故ａ的最小可能值是 2 .例 2　 (2 0 0 0年第 11届“希望杯”全国数学邀请赛高…     

也谈一类根式不等式的证法

《数学教学研究》１９９９年第５期文〔１〕专门研究了一类根式不等式的证法，本文将给出这类不等式的一种更便捷的证法．１　关于二次根式和三次根式的两个不等式定理１　设０≤ｘ１＜ｘ＜ｘ２，则ｘ＞ｘ１＋ｘ２－ｘ１ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１）．（１）证　由题设知只需证明ｘ－ｘ１ｘ－ｘ１＞ｘ２－ｘ１ｘ２－ｘ１，为此，只需验证１ｘ＋ｘ１＞１ｘ２＋ｘ１．因为ｘ＜ｘ２，所以这个不等式显然成立，从而不等式（１）成立．定理２　设０≤ｘ１＜ｘ＜ｘ２，则３ｘ＞３ｘ１＋３ｘ２－３ｘ１ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１）．（２）这个定理的证明可以…     

构造法证明不等式

根据欲证不等式的某些特点 ,引入适当的函数、数列、方程、图形等 .并利用它们的性质证明不等式的方法 ,称为构造法 .以下分别说明几种常见的构造对象 .一、二次函数对二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(α≤ｘ≤ β) ,若ａ >0 ,则 ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ≤ 0 ;-ｂ2ａ∈(α ,β)时ｍａｘ{ ｆ(α) ,ｆ( β) }≥ ｆ(ｘ) ≥ｆ -ｂ2ａ ;-ｂ2ａ (α ,β)时 ,ｆ(ｘ)在 ｆ(α)与ｆ( β)之间 .利用ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ ≤ 0证明不等式的方法也称为判别式法 .它的用法是 :当欲证之不等式呈现Ｂ2 ≤ ( ≥ )ＡＣ这样的与判别式类似的形式时 ,可考虑构造二次函数 ;…     

构造二次函数求解数学问题

二次函数在中学数学中是一个十分重要的函数 ,首先是因为它与人类生产、生活实际联系紧密 ,用途广泛 ;其次更重要的是它本身具备了很强的解题功能 ,许多数学问题都可以采用构造二次函数的方法来获得解答．以下通过举例加以说明．一、构造二次函数求解一元二次不等式问题例１已知关于ｘ的不等式ａｘ２+ａｘ -１＜０在实数集Ｒ上恒成立 ,求实数ａ的取值范围．解 :(１)当ａ＝０时 ,显然成立．(２)当ａ≠０时 ,令 ｆ(ｘ)＝ａｘ２+ａｘ-１．要使不等式 ｆ（ｘ）＜０在实数集Ｒ上恒成立 ,则该二次函数的图像必须在ｘ轴的下方 ,并且与ｘ轴无交点 ,…