一个不等式的推广

_~‘___.2匕知a、O、‘夕U,则下〔万二~十 口,~‘ 2c+Q.三卜a+b气击、.这是一个常见的不等式·本文将证明它的推广形式‘’‘· 引理设a‘>o(s二1,2,…,n),二(N,S二ai+a:+…+a.,则有不等式(”一1)s用》(s一a1)m十O一aZ).+…+(s一a。)二 证:对。用数学归纳法.当。=1时,左边二(ft一1)s,右边=(s一a,)+(卜aZ)+…十(卜a.)二(移一1):.命题成立.假设二=权>1)时命题戍立,即(。一1)s‘)(s一a,)‘+(:一a:)‘+…+(S‘u。)“.那么(。一1)s为+i=[(:一a:)而+…+(s一a.)‘]·,‘》(s一a,)寿+,+(S一a:)人+‘+…+(卜a,)k+1.故命题对任意自然数。都成立. …     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

Abel变换的应用

·习冈Abel变换为:名。‘b:=。产,+忿~1变换得.一I乙a*(。‘一。:十,)丫、一名b、:二。声 .~至。+习a‘(二:一x:+,)其中。:二名。、‘i~1,2…,”)._a味劣月一(x,一x:,:)=名(a一 口曰万问了正:刀。‘乙‘=。:乙:+。2乙2+…+aob。 ,,1·万曰 一 =a:a,+aZ(aZ一a,)+…+a.(口一a。一:) 二a,(a,一aZ)+口2(aZ一a3)+…+a一:(a,l 一口,)十a。气 .一l =。。a.+刀a‘(a,一a‘十:). 云口1 众所周知.人bel变换在高等数学中有其广泛的应用.其实.它在初等数学中也占有一席之地.请看下列几例. 例一设a:,aZ,…,a。:b:,bZ,…,b。是实数.证明使得对任何满足…     

1991年沈阳市数学奥林匹克学校高一年级培训班入学试题及解答

一、填空题1.设集合A二{夕ly二2x2一2‘一3},3xJ一14x3+10x2+14x+3二0.设a:,aZ,…,a。,…〔N.称+一一一工一一一一是无穷连分数.例如,口z+ 1“吕十—a‘+.”订丁=1+(训丁一1)=1十二1+ 12+(记丁一1)=1+2+ 1训丁+1 1 1。,i‘个-一一-2+,·,其中a;,a:,a3,一分别是1,2,2,·… 试将侧了也写成无限连分数,并写出ax一口2一aa- 四、边长为a,b,动勺三角形的三个顶点的坐标值都是整数,R是三角形外接圆半径.求证:abc》ZR. 五、在△ABC中,乙C=3乙A,BC=9,AB二16.求AC的长. 六、圆内接四边形ABC刀的内切圆的圆心是O‘求证: 1OD2.1一OBz 一一1一…     

椭圆上关于某直线的对称点存在问题——从92年一道高考题谈起

蛇年高考理科试卷28题实际_卜给出了在椭圆上关于某一已知直线对称点的存在性问题.即 命题l椭圆子+子一1(a>b>“)上,若存在与Z轴交于P(工。,0)的直线l对称的两点,那么 aZ”诱aZ十bZkZ’ aZ”‘ aZ十bZkZ+,. x,.丫﹄z!‘l 心(x,,,,)任l,代入l得矿一犷__护一犷—咬了。<几—· a口 aZ”‘aZ+bZkZ十仍= aZ,,认2“2+石2七2+xok, 对此命题我们给出有别于该卷标准答案中两种证法的另一证明.整理得即不。=x。(aZ+乙2无2)”‘二飞石于二落万(l) 证明:设l:;一k(x一x。),月、刀为椭圆上关于l对称的两点,并设直线月B方程为,一牛:+”‘,,, 二,一…     

一个不等式推广问题的再研讨

文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)…     

用柯西不等式证明一类分式不等式

设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通…     

一个降幂不等式及其应用

设a‘任R+(i=1,2,…,k),m,n〔N, 奋泛几则粤习。时·)(半云。:)(华习。:).(1) 纪犷一l报‘,l无矛一l当且仅当a,~a:一··一a.时等号成立.证明(1)式等价于*习。:+,一(习。:)(习。:))。,, ‘=l又等价于 盛f二l硬妞玉习名(a:一。,(a卜。:))。.矛之i十1护,l 由于a尸一a,与衅一好总是同号,故最后不等式成立.例1.(波兰赛题),a,b为实数,则有音(:+”。,)音‘一+“” 1,,.,,、.二厂La一十D-少 乙.粤几+“, 乙显然,只须考虑a,b>0.两次用(1)即得.例2.(数学通报,1983;7)a,b,。>0.求证:1 .1,1一as+bs+c.—.分一丁一叶电—尧之一长厂--丁丁一一一丁a口C …     

一个不等式的加强

本刊1989年第际数学竞赛题中有 设a,b,e任R+,5期刊登第二届友谊杯国则 a 2 .b“.cZ_a+b+e—十一—十一—万二声—.白+CC+口口+口艺不等式可加强为设a,b,c任R+,丝+些兰+‘C+召+c:a+b 一L口日男)竺鉴些十抓‘;荞以‘淤三+告厂〕.事实上,不妨设a)b):>0.作如下变形 a2西+c=厂其二 、口十C~4a一b一c 4(b一e)24(b+c)〕班卫二立二少+ 4(乡一c):4(b+c)=六{(a一宁)’一(勿’〕班些立班+ 4(b一e)z4(b+c)(a一b)(a一c)州兰卫上二 4 ︸‘,l︸+ 一百口.(b一十— 4(bc)2·+c)同理刃一,续有类似表达式,三式相加, C个a“十0有兰+b+C b2‘+口十_丝_ a十b一…     

第二部份 综合题

二、数组a二:。演足下列条州 第一套 一、设尸是正三角升月BC内部的任意一点,分别以三边为对称轴作P的对称点Pl、尸卜尸3,求证s△尸,几p《S:A成.口1 51=n,,。+,二。:,。+!(州、,〔N) l断什卜,‘=2仇一令风一艺a*,。,求满足不等式15,一引<2一10 寿一】的最小自然数”. 三、设a‘(i=全,,,…,8)都是实数,且a;+aZ+a3+…+a,二12,a:·a:·a3…a。=4,求证a:,a:,a3,…,几中至少有一个小于1. 四、从1,2,3,·一,999,1000中任意选取为个数,使得在所选的数集里一定可以找到能构成一个三角形边长的三个数,试问满足上述条件的掩的最小值是多少?并说明…     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

柯西不等式的变形及应用

柯西不等式:设a‘,b‘任R(i二1,2,…,n)则(a;b: aZ吞: … a沪。)2簇(a资 a圣 …… a乙)·(峨 砖 ……十砚)等号当且仅当久=肋‘或b‘=触‘时成立,它是一个十分著名的不等式.应用它的变形证明不等式简单明了.本文将介绍它的变形在解题中应用. 令bl=b:=·一=b。=1,两边开平方得变形(1) 变形(1):a: a: ·一 a二((a圣 a圣 …… 。幼彭石.等号当且仅当。,二。2=‘””’=a。的成立. 例la,b,‘eR十,a b :=1.求证:了i3a l J 13吞 l J 13‘ i成4月 证明:因为a,b,。eR ,a b ‘二1,由变形(l) 所以J13a i Ji3,b i /13。 l((13。 i 13。 1 13: i)晋…     

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献   

一类数列的一个求和公式及应用

下面定理包括等比数列、等差数列在内的一类数列的求和公式,证明简单,应用方便。定理.没s一习。。,且 几=1 f(”)+口(ft)_“““=f(”千万一。.’则习。(‘)a、一f(n+‘)‘·+,一f‘,)a,·(,) 幽.1特别地,当试n)兰a护。,则s。二冬[f(。+,)a.+:一l(,)。门证明:由条件有,i(自+1)外+:=f(儿)a*+夕(k)a。,从而习,(k+‘)。+,二习f(‘)a。+习。(“)。。, 例3 .0,二(P+,)(P+。+l)…(P+”+口).(叮为整数,q共一2),求S。.自目1几=1为路1韶气卫二史士丝士夕士生,盯a。P十件(移一1+P)+(q+2)协+p并项即得,(。+,)a,+:一,(,。a,+习。(k,口。·f(”)二n+P…     

一类不定方程解法探讨

=l)取户(任 设a,月任N,i=1,…,,之,(a:aZ…a.,L试求方程二补+…+一r:.一了的正整数解.令,~口,…a.,k一—,l口.,2,…,,:.,:个正整数扩1,…,护.,记f一才+…十砂(B为待定正整参数).取一T一花f)“气,i一r,.…n.刃一f‘(A为待定正整数).代入(l)得 (。If)”““,+(。Zf)召‘:“2+…+(尸。/.)刀‘月‘· 一尸」,即尸‘(e介十…十砂)一尸‘一’~f阳.由于(、,月)一1,故方程 月/1一51了=1.②有A一A。十st,B=B。+尸t.(z任Z)了|之、、其中(A。.B。)为②一组特解,t>max(一 B。、A。一尸求出A,B,再代入x,,y的表达式即可. 例.求方程式+式+式二少的…     

一道题的错误解答的改正

本刊89一9期《高中代数系列复习训练题》一文中有这样一道题: 设数列{a,}中,a,=3,a。十,=25。+Zn+1(n任N),S。二a,+aZ+…十a,求该数列的通项公式. 该文给出的简解如下: 解:,.’a,+:=25。+Zn+z, .’.a、=25。一i+2(n一1)+1, .,.a。+:一a。二Za。+2, …a”+:+1二3(a。+1), …a。+i=3钻(3+1)一1…。。一4·3。一‘一1.气 事实上,由a:=s,a,十;=25。+Zn+1(:任N)可得 a,=9, a3“29, 而由a、二4x3’‘一工一1,则得a,=11,a、=35,·…显然,a?‘=4 x3”一1一1不是原题的正确答案. 现笔者作如下解答: 解:,.’a。+,=25二+2,:+1 (刀〔N)。 (下转第27…     

用整体思想解分式题(初一、初二)

例1计算 aZ一sa+7 .aZ一7a+13 aZ一6a+10 一丁一一下，一下一二十-下--甲二--丫一:叹一一节厂一一下厂一了一言.. e‘一口口十勺口‘一I口十1乙尽‘一O口十己 1 X十一一J， 分析将每个分母看作一个整体，则从每 个分式中可以拆出“1”. 解原式 (aZ一sa+6)十1.(aZ一7a+12)+1 一二=下‘二日‘井一二+二‘飞一几共一一干彩长二二 az一sa+6’az一7a+12 所以 户十护+1 x2 1 一扩十万十上 1、。 一LX侧十—少‘一1 ~32一1一8. 1一s (aZ一6a+8)+2 故原式~ 例4 A、B、C、D、E五人合做一项工程，已 aZ一6a+8 1，1 一1--t--7一一一一又芍:尸一…     

每期一题

题:设z〔R,:/(l+22)〔R。则12卜1。 证法一:利用复数的代数式。设之二a+b云(今今0,a,乙〔R),有z八1+‘2) 、_a+a乙“+as+吞(1一aZ一西2)玄 一_一「而卜--一 丫!1+:名I’>o,由已知得:b(l一a,一bZ)=O,又b斗O, .’.砂十b,二1,故}川=侧妥‘不丢三二1, ·证法二;利用复数的三角式。 设之二犷(coso+isino)·(了)o,‘ino钾0), 有:八1+:’)=下(。050+1 sino).=2,z:=1,故}:卜1。 汀法五:利用二共扼复数的积为一实数 48(1+,·“广。”20一下’sinZ。)小+“’[,由分子的虚部了(x一:“)sino=o,故,=1。 证法三:利用一个实数的共辘复数仍是这个数。 由…     

关于勾股数组的一个命题

命题均可表为任一勾股数组(a,白,c)(a(b)(a。,a。+k,cn),其中a。二无(e矛。、:+e少。、,.2+…+C矛J十:·Zn一‘)c。=k(C绪n十;+C萝。、1·2+…+C矛J草亡.zn).(k,n任N)证明因a<白,可设b=a+k(k任N).因aZ+(a+k)“=cZ:·(,+窄)2=一工,一Zk训丝十无一(华)‘‘)(1十令-二~1。因(1+侧丁)““辛=(一1)么n十‘=一1,.(1一侧玄)2”+‘ 可令十侧2kc=(1+侧丁)2“+‘,+毕一哗一“一(l一训厄一户·1 K尤(n任N)。。日、。k。,月‘,二、。。_贝tJI苛a二丁比、上卞V乙)一’ q+(1一训丁)Zu宁‘一2〕C〔(1+侧丁)之”+1k一︷4 一(1一训丁):n+,展开整理即…     

关于不等式证明的一点注记

考虑不等式的证明题:设a、西任R+,a+石=1,求证 /1\/,1\~25 ‘a十立}(b+一宁一!夕竿。 、“’a八“‘b/2 4.学生在证明中,常用其中箫(燕)’=4等号也在a=b=于时达到,所以(二告)(”一))2{矗+毙x4+2 1__口+一丁中幼事名 “ 1__D+万乡乙, 25=万.而这只能得到(·+告)(”+去),4.如用式子(·+一;)(”+丢)=,6·“+真 ba+万+下如果注意到a+告一2,。+含=2,a+”=1~15ab 二、*_:一(a+b)二1,、~‘。。、、丫。。 升比息a口飞一一不一-二)一七匕川1甘到习〔明 性峙不可能同时满足,所以下界4不能达到,还可进一步改进.由于(a+告)(”+一会)二·。+矗+万+下如…