sin~kα与cos~kα的降幂公式

本文推广定理1角降幂公式设k任N,k)2,〔尝〕‘;f导列有艺曰Cos口1Zk一1a(、k)eos(左十2一2,)。.()gOl午第六明27n勺﹄系数a(气、i两足a‘扩,=z,Jl.(a”)=“、从+a(梦.,、〔宁〕)一卉〔·:n’一‘二,,一弓,_磅l‘,)。。、(,卜:一21,‘了i一(2)+(夕忆,11n︸,‘(k一卜1)吃k) ~(n〕‘+切,1,cOS“·若k为偶数,“梦1二 (取)Zak二+a2咔记a‘丫+,)=a{’=1,口(飞川=。}少二一2若k为奇数,则a (玉)口k+1 2‘““‘晋,,飞+‘+a;n,知)证应用归纳法。e 05忍a(eosZa+1),定理结论成立. 对奇数,,有eos”’卜’a绝2c 05’a=专‘a‘;,cosZa+a(梦,cosa,其中…     

幂函数X~α的积分

对于幕函数二‘的积分,在积分公式中是按指数a是否等于一l分类的: 当口今一1时,奋的原函数In二,正是‘.(““一‘,的一系列原函数%.+l一1 C+1的极限值。r.,、1.二,.。.义’O戈=—劣一’一十L·、1少Ja十1当。=一1时,二一专, 这样以来的就不会认为公式(l)与(2)是彼此孤立的飞‘。J告dX二‘·’X’+“2’一般的教科书中并不仔细地去讨论这两个公式的联系,而且粗略一看,对数函数In二似乎与幂函数头二·“又没有多大关联,这就 矽’“~~a+l‘一’一’‘一一‘-一‘’一一难免认为公式(1)、(2)是彼此孤立的。 对于被积函数专,很易看出它是二·…     

由数列递推公式求通项公式的几种方法

例1 3招 若数列2,az=2解’:a。一a:二{a。}满足a.十:=a-,求其通项公式。n一1 名(a,卜,一。,)k=1 n一1=名(3k 2) k=13.2 几一4 2:。a.=音‘3“’十“’ 11一1若乙l(幻可求,则满足递推公式a。,: k=1一“。=j(”),。:二。的数列的通项公式均可如此求出。 例2.数列{a.}满足a。 ;=2     

应用三角代换解题

一、证明不等式 例1已知护十5犷一4x,=2,求证:’!x十:}(2了了. 分析:将条件二’十5刀’一4T夕二2的左边配方,得(x一2必’十犷=2.由三角公式sin’8+eo:’口二1,想到(v/丁sins)’+(、/万cos的’二2,故可作如下三角代换,①、②联立解得{X=万二代入}x十川即可。 证明:由x’+5万’一连x万二2得仕一2妇2丫一2刀二了丁s笼no 万二训丁eos口,解得产!、、令 ,曰 一一 万 十令 fx一29== 场二了丁了丁s如力eos白 {认一二了了(51。夕+3cos口) 又夕二了丁co:日.,.}x十刀}=、/丁{5 in夕+3eos夕)=训百。、‘丁6{:;n(口+印)}①②解方程4二、l一“)-(1+x’)侧…     

集合搭配数的三个公式

设,1、B(二I={az,月!二么 l)若A门B二{al,(乃,刀)个数为3“; 2)若二1日B二{a,,(A,B)个数为3:‘; 3)若A自B二{。J.(I2,… .“泞la”干”!z)场则,1日B=了,则(,1,B)个数为2“.证:设A自B二资a:,…“了)1a了r孟.从A、刀’!J将。,,…,。,。去掉分别得A‘、召‘,则矛nB产二小,且(A产,Bz)个数与(A.刀、一样多.又A,,B’里Ia,、J,…,a。二。冬,故(A‘,丑,)个数为C之·2“+c几·2’卜,+…毕口:.2。二3”.类似可证其它两个公式,集合搭配数的三个公式@罗增儒$陕西师范大学数学系~~…     

n倍角公式及其应用

应用De。。艺v:。公式和二项式定理,可推得n倍角公式:。inos=C盖eos”一’ooino一C勇eos”一’0·5 in“0 C之eos”一seoin“0-·…,(1) 2eosoo=C二eos”0一C,eos”一“osin’o C二eos”一‘ooin‘0-…,(2)例1.求eosls。、tg18“的值.解8=18“,etg50=etg90“=0由“’、‘2’,·     

关于正余弦方幂数列的求和

文〔1〕讨论了如下两个公式:e0Sa一+eosa:+…+eosa了:·。s(一+尹一ld 2竺d艺 n ;‘ S、j了.一~一姐一一一,(1)d一2 n S5 1 nal+SinaZ+…+sina51·(·;+鉴“)·‘11普“:二一一一-一一--一一(2)5 Ind2其中,a,,…,a,是以d(d年0)为公差的等差数列. 现在考虑数列{cos”a*.},王。in”a、} (:为自然数,{“、}为非常数等差数列,公差为d),应用余弦降幂公式及公式(1) (2)即可推导它们的公式. 例1.求证c。。Za;+cooZ“:+…十cos’。。eog4a、=3几 8、乙卜 eos〔Za:+(刃一1)d〕sin泥d甲一一Zsind co82〔Za,+(路一1)d〕sinZnd十一eos〔Za,+(兄一l…     

竹山谣

27卫p一一一二二二二二二二二二二二二二=一丁一夕一二二二二二二二二二二二二二一一‘叮二刀、,、二刁、.‘}迄一鹦5一’是一塑}2.1 11、l‘/J、l“}号-一…罗-一!)一坦{)肚’-一}’-一}’-一!, 一一一一一一二二二二~一二二二矿-~一-卜二二二二二二二杯’声、l’.‘刁、I“}遏一坦,“一’乙一坦}’.1刁、l,、l了J、l’}}{一坦…,-一…5一巡…{肚’-一}“-一!2-一!’一tr2景习=85f(5 .1丝3JM门2。。5}时二1}5·1 03},5。翼一tr5亲切、甜美可.户.~1.户,~5丝坦丝}丝丝5.旦15丝塑必}丝丝2.Q竹叶子青来也竹梢子黄,竹节子粗来也竹根子长,“一…     

红星歌

故辛片《闪闪的红星,立越很.=O孔(童声合唱)进行迷度、雄壮有力地。·竺}‘·竺{运理{理理{退~二二1 2J4)旦卜一}石旦}万耳}亘·卜引业二}2随(齐唱)n皿闪闪旅究彩,住且灿灿吸脚怀,一:!。{代。,一},。}月一万︹月J服3孟工心.一」丝丝}二旦} 觉的先娜恤万一1丝丝}卫旦{滚}丝。匆己三井红皿是5一{一! ,砂2 241工农的,,,7‘心,一{丝丛{ 见的先娜一{丝丝}一一-咱,.、︸︸州‘.J..l山...,1....s二的.︸0一农‘一-·-晌-- ..月............../、l是‘杏工嵘.J.︹“一.7粗厂不.-,旦!Ir皿因闪汀几..户产~二润二}.’产归~-~~.甲~、尸~~一一.、念l“…     

世界部分国家和地区核电站发电量

}一‘”‘蕊赢夏’一“一…lJ福赢JJ…一L一下赢厂…一’孟顽。一‘一}}—}一少工竺些一}—…一竺二匹兰一}}‘·美国{‘。5201‘6·瑞典310}}2·法国…6 0201‘7·订陶宛3。。}}3·口本{3 340}‘8·芬兰240}}4·德国{2 38。{’9·南非’90}}5·俄罗斯{ZOj。{2。·印度’8。}}6·英国{‘460{2‘·匈牙利.‘8。}}7·加拿大{‘3 90{ 22·阿根廷…‘。。!}8·乌克兰】‘280…23·墨西哥…7。}!9·瑞士…‘040}24.斯洛文尼亚…7。!}‘。·韩国{760{25.巴西‘7。}}“·西班牙}740{26·荷兰5。}}‘2·比不lJ时…58。】27·中匡1 301}‘3·台湾{…     

题库(二十一)

1.已知函数.f(‘:)二一 万 了十万’ ‘”求证:函数厂二，/(诩畴关于点(音，一合)对称; (2)求j丫一2)十‘/(一1)+f(O)+/(12+/(2)+j(3)的值; (3，若气一千云岁，求证:对任何“然抓总有属>矿赫 2.已知数列{“，}的前。项和为S，，且对任意自然数”总有S，~P(a’，一l)(P 是常数且P共。，户共1). (1)求数列{“，}的通项公式‘之，; (2)数列{b，，}中，I，，，二2，l+q(q是常数)，且“，=b:，aZ<拐.求P的取值范围. 3.若a. 比数列， (1)求，，: 月是方程‘r’一万石J，一卜川2一0(，，:>0)的两实根，而且a，a一凡夕成等 的值; (2)数列{。。)…     

一道竞赛题的解法

题“周’”习粤黔孺黑一_.(1999年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题)解法i原式一将根号内分解、约分,{专)(专{”’丫哥籍干缪哥一!晋)”,心翠”’·(号)”’一(晋·景)”’一‘·解法2利用比例性质,翼7孟,,。151,98351,,8’ 31,,8+15,998 31,98’孙~丽耳飞亨而~矛飞丽-{鱼)”,:、7J嚓‘。原式一{二}”,*厅了砰菇_{二\3产V‘7尸、3!立{、7/(山东省聊城师院附中徐碎升、一道竞赛题的解法@徐连升$山东省聊城师院附中~~     

完全平方公式的变形应用

兮 沙协岑不汀认匕\卜 完全平方公式(“士l))夕一乙:2士Zal,一卜尸.不难将公式作如下变形: (1)aZ 犷一(a b)“一Zab (2)a“ /)z一(a一乃’“ 2‘Zb忍 (3)(‘:一卜b)艺十(a一乃)卫=2(“2 乙竺) (4)(“一!一占)2一(a一b)2=4‘,,争 若能灵活运用上述变形公式解题,贝弓使解题过程简捷明快,收到事半功倍的效果.现略举几例说明. 例1已知尸 犷一枪,.、一干y一4,求抑的值. 解:由上述变形公式(l)得:2二少一(二 y)2一份召十少)一工6一12一4.o’.笼少一2· 例2已知扩l)2十矿十犷 l一如b.求“、八的值. 解:由变形公式(2),已知等式可化为、2少 流一乙)2…     

番禺市举行第三届教育基金筹款活动

卜..〔工twltw7”。tAM＄1:’““‘“”一WW11月n日。番需币英乐环辇馆浙光添l、分翁八主已产。￥闭山纱二空韦川0”）二厂…。。。卜J”千口【（__e织二士荧写款,己儿推向了高潮”-N卜匕顽百暨二。、,、诈‘七】”、{厂P于。一席了f一2、伊士7二户以。。-1、穴。、}玫卜、”.-。’”丫引￥菩表捎卜。’一定;,_,j夕以刁{1上。。”二卜-奔-二小田g曲二5吃.赢～7私只上。卜,工-“.一厂口一午-山..、。_八下”_y一、-。。-停卜竹刮广引,H\卜“’-厂不一。、二、7针二上一舌义十d,‘。’。【1。日只卜h“别二桂丫一厂”n—二民、.’卜卜）…     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

第7届数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

第一天立生~…习:一!州州川州州州州州习川州州州二 。广、、一*}1}1}1{1{2}2}2}2}3}3一3!3一4}4}4}4婴户苦…一}一…一{一…一{一{一…一}一{一一一一’一…一…一}一的代亏{11“!”…二11{“__{三{二…生…“{3…41{“{“{4(按题目顺{一丁}_一万r_{—{二{_{{_卜丁)—1;一_一一厂}一—}— _、.,_,{l」Z一j{4一4」j{Z}1」j一4一l一Z一艺{l}4}3’予引「夕u’i一{一{一…一厂一!一{一…一{一{一}一…一…一…一…一}一 {上…立…二…二…主.…上1二…生{二…立…二…上1二阵}土…土_‘…1.二_二__「_~红立J_三‘{二工公生_{二轰)一生.j...二…     

一道习题的探讨

题目.求函数 Sin男u.豆二乞石亏玉两的值域. l“。夕(t)2.问题化为参数方程弓上的任一点与 之t,,j(t)发人深思的一种解法 {u解令下 L口=2一COS劣,,打只明.=万’(u一2)2+vZ“1.过原点O(。,0)的直线与曲线有交点时斜率的取值范围‘-=sin劣.联想到直线的斜率公式.即.是连结原点与圆(u一幻2十.,二1上点的斜率,所求值域就是这斜率的取值范围. 设经过原点O(0,0)的圆(u一2)2+沪,1的切线 __、,一‘_.、_二_,,,护了护了,二_~为OA.OB.它们的斜率分别是二多~,一二矛(如图z;甘‘二,~~二’‘砚”J小’甲刀尹,研~3’3、户曰~(1))借几何直观作出斜率…     

小篷船

_4贾立夫词.二U才 又U接笠〔田中速稍快轻松、喜悦地 厂一一、厂~一-一、.厂一一一一一一一一、二~ 5·旦旦』丝】5一3}辱二擎卿冬卿}’理1”{触),J、篷船,胖唱)咬吸吧赵劲生臼玉级弯又弯, /一~、/一一-一.厂一--一一一一-、:,一 5.旦昼』丝}5一3}擎粤卿冬卿}’娜冬“{(独)小篷船,(伴)咬吸咬级咬吸吸弯又弯。l:。二通纠‘飞飞。},5迎鱼}2-一{一占*,,,,,‘载着我的童年,触)家乡的小篷船,l茸艾了双霖‘二’”划不夕“”“’迁加’之载着我的梦幻,5/~一一一、洲尸一、l/一、~旦1厂一、~厂~、~l旦l二3.妇·纠攀粤势1一}皿丝擎通娜}马-一{穿过…     

集合

一、选择题愁、“」了、卜见.“ 1.若x>。,则由x,弓名剑、工匕 二曰,‘拭弃矛、芳犷,吮J扩不莎组成 的集合中的元素个数有斌立立户少:巧 A{1斗、:一、’·’。长 B.2个,‘一才、·侧先t丁 义匕声3个忿卜一‘绮艘“ 1‘:D.7个、共犷丰岁:l :2.;已知集合厂M‘丈,}坛~一2,,y任 R},N一{x lx~犷,y任R},则M门N ~(某芍 A.{4,1叶川口 B.i硬(4,z’)}草. c.N;“.-., {D.M圣、1奋‘1‘ 3.定义叮二刃。{之}二eM且x任 N},若A=(1,2,3,4,5},B~{2, ,6},则B一A一( A .A且B C.{6}D.{1,4,5} 4.已知集合A,B,C满足关系式AUB~AUC,则下列结论一定正确…     

反正割函数的求导及有关积分公式的商榷

在一般习题集或教材中,有如下求导公式与积分公式〔’〕。 zx\,a 1 arC SeC—I=-一一-二二二二二二二二二=叹口二 、a/劣丫劣‘一a‘丁 dxlx丫劣2一a“a.are see三 e(l}f,一午丁-“芯一下苗-一U“杯二2一aZ 2 aZ劣2 12 a3are see兰 ‘ a(2〕广斌.飞厄丁歹,,移—a劣一y劣“一a“