理清分数除法法则的算理

分数除法法则的学习历来是数学教学中的难点,难就难在学生对"甲数除以乙数(0除外)等于甲数乘以乙数的倒数"的算理不容易理解.教师往往只教给学生死板的计算办法,然后布置题目让学生反复练习,而学生对法则的理解只知其然,却不知其所以然.我在教学这一内容时,采用了多角度思维训练,从不同的知识点出发,引导学生理清分数除法的算理,使学生掌握了分数除法法则.     

基于“分数除法”算理理解水平的教材比较研究

学习分数除法的关键在于理解运算算理,即为什么可以通过颠倒相乘来实现除法向乘法转化。以巩子坤教授提出的4种有理数运算理解为理论依据,深入分析A、B、C三个版本教材在"分数除法"中的算理理解编排部分,意图借助同一把理论的标尺进行分析,更好地把握教材的编排逻辑,使教学更有效。     

智慧老人,你为何“以偏概全”——“除数是分数的除法”算理教学的思考及重构

"除数是分数的除法"算理教学一直是小学数学教学的一个难点,教师讲不透,学生道不明。本文主要以北师大版教材为例,通过对比分析揭示教材编写中的"无奈之举";根据自身教学实践,既重视直观表征,又重视形式表征,并结合二者对教学进行思考和重构。     

把握教材内容逻辑 促进算理算法融通——基于三版本教材“分数除法”单元的比较分析

分数除法既是分数乘法的延伸,也是整数除法运算的扩展。分数除法统筹了四则运算的所有内容,学生不仅要掌握算法,更重要的是要明白算理,做到将算理与算法融会贯通。作为知识的载体,教材在实现分数除法算理与算法的贯通中起到了至关重要的作用。本文将从宏观和微观两个角度,对三个版本教材进行分析,为后续课堂教学实施路径提供有效建议。     

理通则法明——分数除法算理理解的教学路径

在小学数学中,分数除法的算理是最难讲清楚的。分数除法的算理究竟是什么？学生理解算理依赖的基础又是什么？能不能把算法学习建立在算理理解的基础上？新思维《数学》（浙教版）教材把分数单位作为意义理解与运算的核心,特别强调分数运算就是分数单位相同前提下分子的运算,即整数的运算。这样就把整数运算与分数运算沟通起来,为解释分数除法的算理提供了依据。教学按如下的环节进行。     

分数除法中的巧算

学习了“分数除法”后,同学们在做分数除法计算题时,可以按照一定的方法,运用分数除法的一些运算性质,使运算简便。现在咱们就一起来看看有哪些方法可以使运算简便吧。     

九宫格图示法之分数除法算理探究

一个数除以分数的实质是部分与整体(单位1)之间的关系,知道部分是多少和部分所占整体的分量,就可以用除法求出整体,关键是要求出每一份是多少,再乘以份数,就是整体。     

厘清关系 领会算理——以“同分母分数加减法”为例

长久以来,对于同分母分数加减法,学生死守一条铁律:分母不变,分子相加减。学生只是谙熟算法,并不能深刻领会算理,这对混合运算的学习非常不利。因此,教师应引导学生厘清算理与算法之间的关系,进而使学生深刻领会算理,掌握算法。     

一“直”到底的表征方式——-美国教师选择的分数除法算理表征方式

分数在小学数学知识结构中起着非常重要的作用,既是学生掌握整数四则运算之后的拓展与延伸,又与小数、比、百分数等概念有着密切的联系。学生在理解分数概念与计算上,存在着诸多困难[1-2]。尤其是分数除法的学习,掌握运算法则很容易,而理解算理比较困难[3]。     

慧练:沟通算理和算法的桥梁——“有余数的除法练习”教学实录与评析

练习课是小学数学课程中占有较大比重的课型,是新授课的补充和延续,是巩固与强化所学知识的重要手段。为了帮助学生深入理解有余数除法的算理和算法,在进行有余数的除法练习课教学之前,教师应该在深入研读教学内容之后,精心设计和创编练习题型,让学生在有趣味、有挑战、有意义的练习过程中,充分理解有余数除法的算理和算法,领会余数要比除数小的道理。     

台湾部编版教材“分数除法”的编写分析

"分数除法"是小学生比较难理解的一个学习内容,因此分析教材的编写对于探索教学方法是十分有意义的。以"分数除法"这一课为切入点,从"理解计算意义、深入研究算理、概括计算法则、形成计算技能"四个维度来分析台湾部编版教材"分数除法"的编写,为进一步研究分数除法的计算教学提供新的思路。     

以“笔算除法”为例谈算理与算法的平衡

计算教学中,算理与算法是两个不可或缺的部分,沟通算理与算法之间的联系,并且使算理与算法之间保持平衡,才能使学生真正理解算理、掌握算法,最终形成正确计算的方法与技能。     

以理驱法，体会运算一致性——小数除法算理教学思考与实践

小数除法是小学阶段除法教学的一个重要部分。教师通过梳理教材寻找支点、分析学情找准切入点。在梳理教材、分析学情的基础上,围绕“口算引入,感受认知冲突;多元表征,体会算理理解;迁移推理,感受运算本质;对比梳理,凸显算理一致”展开教学实践,促进学生感悟数学本质,体会运算的一致性。     

谈谈“除数是整数的小数除法”的教学

除数是整数的小数除法的教学，往往是按照整数除法的法则求商后再告诉学生点小数点的方法。(即“先商后点”的方法)这种方法的根据是“商的变化的规律”，由于它的思路曲折，学生难于理解，特别是计算以后，还要回过头来点小数点，学生容易忘记这一步工作。而本人采用“边商边点”的方法，即根据十进数的特点，用整数除法的算理，讲小数除法的算法，边算边点小数点，这样能一次把商上准，学生也容易理解和掌握，其教学过程如下：     

“分数除法”病历卡

[病例1]计算7/9÷3/7。[病症]7/9÷3/7=1/3。[诊断]把除法计算当成了乘法计算,主要受被除数的分子7与除数的分母7相同的影响,而不加思索进行约分。[处方]7/9÷3/7=7/9×7/3=（49）/（27）。[病例2]计算18÷3/5÷3/5。[病症]18÷3/5÷3/5=18÷1=18。[诊断]这是一道两步连除计算题,其意义是＂18除以3/5的商,再除以3/5,商是多少？＂而计算时变成了＂18除以3/5与3/5的商是多少？     

直观表征与形式表征,孰难孰易——师生选择的分数除法算理表征方式比较研究

采用问卷调查法和访谈法,从教师与学生两个视角,了解易于理解分数除法算理的三种表征方式(即直观表征、抽象表征、形式表征)。结果发现:教师和学生选择的三种表征处于三个理解水平,直观表征最容易,其次是抽象表征,最难的是形式表征。随着任务难度的增加,教师和学生的选择存在相同的变化趋势,即同一模型(平均分,包含除)中,直观表征得分逐渐减少,抽象表征得分变化不大,形式表征得分逐渐增加;不同的是,从学生角度,选择直观表征得分始终居于首位,从教师角度,形式表征会"后来居上"。总体而言,学生偏爱直观表征,教师会倾向形式表征。无论是教师还是学生,均认为我们所提供的由七个任务构成的学习路径是合理的。     

在多元表征中促进算理算法的融通——“笔算除法”的思考与实践

“笔算除法”是小学阶段运算教学的重难点,学生对除法竖式意义的理解不充分,因此在学习“笔算除法”前,教师安排了“用长竖式记录分的过程”这一内容。通过动作表征、图式表征、竖式表征及表征之间的关联,丰富学生对竖式意义及算理的理解,发展学生的数学思维,为后续学习笔算除法做好铺垫。     

计算教学“三重理”厘清算法与算理

课程改革日益深入的今天,教师要更为主动地去了解学生的学情,了解学生的困惑,关注学生的已有经验,并在此基础上设计教学方案。计算教学是小学数学的重要组成部分,掌握算法、明晰算理是学习的关键。教师应结合教材的内容,联系前后的知识,将算理讲解透彻,使之易于学生理解和吸收。     

分数的除法

我们已经知道：当a,b是自然数,且b≠0时．除法算式a÷b表示两种意义。     

“算法”的双刃性与“算理”的局限性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》重视算法和算理的关系,将计算过程的不同表征方式之间的关系视为算法和算理的关系,表现为“用符号解释符号”,容易导致教学中对计算程序及其逻辑基础的强化,使计算过程成为无理解的机械操作。这样的算法和算理在数学课程内容与实际教学中分别具有利弊并举的双刃性和意义缺失的局限性,教学效果表现为“虽然会算但不知为什么算,虽然算对但不知算的是什么”。因此需要进一步拓展算理的含义,进而走向“寓理于算”的数学教学。