结构观点下的等差、等比数列求和公式的推导

从等差、等比数列通项公式的结构入手,充分挖掘其自身的结构特点,能比较自然地导出等差、等比数列的求和公式．这种做法的实质是倡导教师用新的观点和方法深度挖掘教材的教育价值．     

等比数列求和公式的几种推导方法

设等比数列ａ1、ａ1ｑ、ａ1ｑ2 、…、ａ1ｑｎ-1、…前ｎ项的和为Ｓｎ,则Ｓｎ =ａ1(1-ｑｎ)1-ｑ (ｑ≠ 1) .这一求和公式各种教材基本采用同一推导方法 ,其实它的推导方法还很多 ,下面给出其中的几种 .为行文方便均设公比ｑ≠ 1.1　恒等变形法方法 1　由于ａ1 ａ1ｑ ａ1ｑ2 … ａ1ｑｎ-1=ａ1(1 ｑ ｑ2 … ｑｎ-1) ,联想因式分解公式1-ｑｎ =(1-ｑ) (1 ｑ ｑ2 … ｑｎ-1) ,所以ａ1(1 ｑ ｑ2 … ｑｎ-1) =ａ1(1-ｑｎ)1-ｑ ,即Ｓｎ =ａ1(1-ｑｎ)1-ｑ .　　方法 2　由于ａ1 ａ1ｑ ａ1ｑ2 … ａ1ｑｎ-1=ａ1 ａ1ｑ ａ1ｑ2 … ａ1…     

等比数列求和公式推导的教学反思

等比数列前n项和公式推导的思维方法的产生是一个教学难点，如何突破这一难点?在新课改理念指引下，笔者试将这一问题交给学生讨论，取得了较好的效果，下面是其中的教学片断。     

逆用等比数列求和公式解题

本文以实例说明,逆用等比数列求和公式及逆用无穷递缩等比数列各项和公式在解题中的几个应用,供读者参考。 1 用于证明不等式 例1 设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1。求证: 1(1-x~2) 1/(1-y~2)≥2/(1-xy)。     

挖掘公式推导过程的“显性价值”——以“等比数列求和公式”为例

公式推导过程既有"隐性价值",又有"显性价值".挖掘其"显性价值"并在教学中合理利用,有助于兼顾数学教学的长期利益和现实利益,有助于"隐性价值"的实现.对"等比数列求和公式"推导过程"显性价值"的思考,具有一定的示范与启示作用.     

等比数列求和公式的逆向应用

当公比q的绝对值│q│〈1,时,等比数列{a1q^n-1}的各项的S=a1/1-q,即     

等差、等比数列交汇

1．等差数列中的等比数列例1在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列a1,n3,ak,ak2,…,ak2,…成等比数列,求数列{kn}的通项kn．     

等差、等比数列的线性应用

等差、等比数列的通项公式ａｎ,前ｎ项和公式Ｓｎ 经转化都可以看作是关于自然数ｎ的函数 .本文用函数观点把有关等差、等比数列问题转化为平面解析几何中直线斜率来解决 ,同时把两部分知识得以综合应用 .我们知道 ,等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ-1)ｄ可变形为ａｎ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,所以等差数列的项ａｎ 是项数ｎ的一次函数 ,亦即点 (ｎ ,ａｎ)在直线 ｙ=ｋｘ ｂ (ｋ=ｄ ,ｂ =ａ1-ｄ)上 .由此得 :性质 1　若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则它的各项对应的点Ａｎ(ｎ ,ａｎ)在同一条直线上 ,ｎ∈Ｎ .对等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ…     

关于等差数列、等比数列交错求和问题的思考

在高中数学的学习过程中,数列问题占了绝大比例,并且涉及许多运算方法,而要提高我们的学习质量,能更好让自己懂得分析、解决问题,我们就应当在学习过程中掌握新的学习和复习的办法,并学会如何在数列问题中找出规律。本人针对高中数学中的等差数列和等比数列的有关知识,对等差数列、等比数列交错求和问题做出了一定的分析。     

一节“偏离”了教学目标的课——等比数列求和公式推导侧记

教学时间长了 ,经常会遇到一些预料之外的事 .有时学生所想与课本介绍的或教师事先计划的不吻合 .这时 ,教师通常有两种选择 :一是调整学生的思路 ,使之回到预设的轨道上来 ;二是教师放弃原有的教学设计 ,让学生思维创新的种子萌发、生长 .笔者在一次数列求和公式的教学中邂逅此事 ,如今忆来 ,记忆犹新 .1　引例节外生枝按理说 ,课的准备是很充分的 ,备课时查阅了许多资料 ,总结得到推导等比数列求和公式的七种方法 .引入、讲解、小结、练习等一应俱全 .由于古印度国王奖励国际象棋发明者的故事已是人皆知之 ,因此在课的一开始精心安排了下…     

等比数列求和公式推导方法赏析

在数学公式的教学中,公式的推导过程既是明确公式的条件和结论的过程,又是培养学生推理能力的过程,同时也是加强公式记忆的过程,因而具有极其重要的地位.本文以等比数列求和公式为例向读者介绍八种推导方法.这些方法思路迥异,殊途同归,各有巧妙,无不彰显数学科学独特的美丽.设数列{a_n}是公比q的等比数列,推导数列{a_n}的前n项和公式.方法1错位相减法对于等比数列{a_n},它的前n项和是S_n=a₁+a₂     

例说无穷递缩等比数列求和公式的解题功能

对于无穷递缩等比数列{a1q^（n-1）}（0〈｜q｜〈1）的求和公式：     

逆用等比数列求和公式证不等式

已知数列{an}是等比数列,公比为q,且q≠1,其前n项和     

k重叠合等比数列的通项公式与前n项求和公式

文[1]对k重叠合等差数列的通项公式与前n项和公式作了探讨,通过探究,笔者将给出k重叠合等比数列的通项公式与前n项和公式.     

等差、等比数列及其前n项和

数列是高中数学的主干知识,它既有函数特征,又独具递推性,因此历来是高考的热点内容,而等差、等比数列作为高中数学中着重介绍的两类基本数列,更是重点考查对象.纵观2012年各地高考试题,数列部分的考查总体呈现难度略降趋势,注重基础知识,淡化繁难技巧.     

等比数列求和公式推导的教学反思

等比数列是高中数学数列教学中的重要内容之一。它不但在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款等的有关计算,而且公式推导过程中所渗透的思想方法如类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。等比数列前n项和公式推导的思维方法产生是一个教学难点。在新课改教学理念的指导下,我从学生素质情况、教学方法思想确定教学目标计划,进而突破教学重点难点,在几个方面进行了反思。     

用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题

文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明了这道竞赛题: 设a＞1,b＞1,求证:(a2)/(b-1) (b2)/(a-1)≥8. (第26届独联体数学奥林匹克试题)     

等差数列求和公式发现的新视角

1.引言一则故事说,被誉为"数学王子"的德国著名数学家高斯在上小学时,老师出了一道算术题,要孩子们计算出1 2 … 99 100的和,正当诸儿苦苦逐个数相加的时候,年仅十岁的高