挖掘几何背景巧解题

题 若实数x,y满足x~2 y~2-2x 4y=0,则x-2y的最大值是()(A)5~(1/2)(B)9(C)5 25~(1/2) (D)10分析 方程x~2 y~2-2x 4y=0,即(x-1)~2 (y 2)~2=5,所表示的曲线是一个圆,圆心为P(1,-2),半径为5~(1/2)(如图1),这个圆的一个特点是通     

1996年数学总复习质量检测题

卷一、填空题(每小题3分,共45分)1.方程(x 1)~2=2的解是___。2.不解方程,x~2-2(5~(1/2))x 5=0有______的实数根。3.方程组xy=-10, x y=3的解是___。4.函数y=(2-x)~(1/2)中,自变量x的取值范围是___。5.函数y=-1/3x中,随自变量x的增加,函数值y___。6.已知一次函数y=3x-m经过点(1,-2).则m=__。     

一道似是而非的题解

《中学数学方法的综合运用》,(湖南人民出版社出版,1981年8月第1版)书中第154页例3:求函数y=x 4 (5-x~2)~(1/2)的极值。书上的解法照抄如下: [解法一]: 令z=x (5-x~2)~(1/2),则z-x=(5-x~2)~(1/2),从而有 x~2-2zx x~2=5-x~2或2x~2-2zx (z~2-5)=0. 要x取实数值,必须其判别式Δ=4z~2-8(z~2-5)≥0. 即 z~≤10,-10~(1/2)≤z≤10~(1/2) ∴ 4-10~(1/2)≤y≤4 10~(1/2) [解法二] 利用三角代换解法如下:     

作业批注——关于不等号“≥”和“≤”

一、连续使用例1 已知a/x+b/y=1,求x+y的最小值。(x、y、a、b均正数) 错解∵1=a/x+b/y≥2((ab/xy)~(1/2)) ∴(xy)~(1/2)≥2((ab)~(1/2)) ∴(x+y)≥2((xy)~(1/2))≥4((ab)~(1/2)) ∴x+y的最小值为4((ab)~(1/2)) 批注第一个“≥”中等号成立的条件为x=y,第二个“≥”中等号成立的条件为a/x=b/y,两者只有在a=b时才是相容的,而原题未给出这个条件。正确的解法为:     

解析型最值问题的极坐标求法

在f(x,y)=0的条件下,求u=g(x,y)的最值,我们称这类问题为解析型最值问题,其中把f(x,y)=0视为定曲线,u=g(x,y)视为动曲线,在中学阶段解这类问题,往往都是借助于一些特殊的方法,学生不易掌握,本文给出一种极坐标解法,供读者参考。 例1 实数x、y满足4x~2-5xy 4y~2=5,又设S=x~2=y~2,则(1993年全国高中数学联赛试题) 解:定曲线可化为p~2=10/8-5sin2θ 当sin2θ=1时,p_(max)~2=10/3; 当sin2θ=-1时,p_(min)~2=10/13. 而动曲线S=x~2 y~2=p~2,     

特殊值法在分解因式中的应用

分解6x~2 (3 3~(1/2)-10)xy-5 3~(1/2)y~2 7x (2 3~(1/2)-5)y 2(1)的因式是一道较难的题目,但计算(2x 3~(1/2)y 1)(3x-5y 2)却是很容易的。这使我们产生一种想法:若能通过某一方法猜出(1)式的因式,然后再通过逆运算验证它是正确的,那就好了。下面介绍一种猜测方法。若ax~2 bxy cy~2 dx ey f(2)能分解成二个一次因式之积(a_1x b_1y c_1)(a_2x b_2y c_2)那么令y=0代入得ax~2 dx f=(a_1x c_1)(a_2x c_2)令y=1代入得ax~2 (b d)x (c e f)     

湖北省黄冈市初中数学竞赛

一、选择题(满分30分,每小题5分) 1.设x=|-7|/[(-7)~2]~(1/2),y=[(2-5)~2]~(1/2),z=|(3/4)-4|/[3 (1/4)],那么,x、y、z的大小关系是( )。 (A)x>y>z (B)x>y-z (C)x=z>y (D)x=y>z 2.如图,等边三角形ABC内一点P向三边作     

模拟试测题一

一、选择题: 1.下列函数中,是偶函数且在(-∞,0]上是增函数的是( ) (A)y=x 2/3; (B)y=2~|x|; (C)y=-(x 1)~2; (D)y 2.复数z=-2(cosπ/4-isinπ/4)的辐角的主值是( ) (A)π/4;(B)3π/4;(c)4/5π;(D)7π/4。 3.a,b是异面直线,a⊥平面M,b⊥平面N,则平面M、N的关系是( ) (A)相交; (B)平行; (C)重合;(D)不能确定。 4.把y=cosx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,然后把图象向左平移π/4个单位,得到的新函数图象,其解析式为( ) (A)y=cos(2x π/4); (C)y=sin2x。 (B)y=cos(x/2 π/4); (D)y=-2sin2X。 5.已知1>0,且a≠1,函数y=a~x与y=log_a(-x)的图象只可能是( )     

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下最小值的方法及其推广

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2     

反函数错解剖析

一、反解时忽视了原函数的定义域例1求y=x2+4x+2(0≤x≤2)的反函数. 错解:因为y=-x1+4x+2=-(x-2)2+6(0≤x≤2),y∈[2,6],所以x=2±(6-y)~(1/2).则反函数为y=2±(6-x)~(1/2)(2≤x≤6). 上述解法在解x时,没有根据原函数的定义域对x进行合理取舍,应将x=2+(6-x)~(1/2)舍去.正确的反函数为y=2-(6-x)~(1/2)(2≤x≤6).     

巧用方差(初三)

方差用于衡量一个样本数据波动的大小,计公式为:S~2=1/n[(x_1-(?))~2 (x_2-(?))~2 … (x_n-(?))~2]=1/n[x_1~2 x_2~2 … x_n~2-1/n(x_1 x_2 … x_n)~2]。显然S~2≥0,仅当S~2=0时,x_1=x_2=…=x_n。例1已知实数x,y满足求xy的最大值。解视x,y为一组数据,其方差为S~2=1/2[x~2 y~2-1/2(x y)~2]=-1/4a~2 1/2a 3/4≥0。即(a 1)(a-3)≤0,所以或解得-1≤a≤3.所以xy=(x y)~2-(x~2 y~2)/2=5/2(a-2/5)~2-9/10。当a=3时,xy有最大值,为16。例2已知a,b,c三数满足方程组     

解二元一次方程组的技巧

解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法.同学们在解题时,除熟练运用这两种基本方法外,还应当结合方程组的特征,灵活使用一些巧妙解法,这样不仅可以简化解题过程,提高解题的速度,而且可以养成爱动脑的好习惯.一、整体代入法例1解方程组3x=4y+7,(1)9x-10y=25.(2 简析:由于方程(2)中的9x可化成3×3x,故可视3x为整体,用(1)中的4y+7代换,这样既消去了x,又可避免方程变形之烦.解:将(1)代入(2),得3(4y+7)-10y=25,解之得y=2.将y=2代入(1),得3x=4×2+7,∴x=5.∴原方程组的解是x=5,y=2 二、整体加减法例2解方程组3(x-2y)+4(y+1)=10,…     

巧用一道习题的结论求一类无理函数的最值

习题:已知x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>0,b>0,x≥0,y≥0),设P=x+y,求P的最大值和最小值。此题散见于各种数学资料中,由数形结合法不难求得,P_(max)=(a~2+b~2)~(1/2),P_(min)=min(a,b),利用这一结论直接求解形如y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(a、c<0)的函数最值将非常简捷。例1 求函数y=(5+x)~(1/2)+(4-x)~(1/2)的最大值和最小值。解:设v=(5+x)~(1/2),v=(4-x)~(1/2),则v~2=20+4x。v~2=4-x,消去x得v~2/36+v~2/9=1。∴y_(max)=45~(1/2)=5~(1/3),y_(min)=3。例2 求函数y=(ax-b)~(1/2)+(c-dx)~(1/2)(a>0,d>0,且ac>bd)的最大值和最小值。     

解两个代数方程

一、解方程: (6x+7)~2(3x+4)(x+1)=6解、令(6x+7)~2=y 因(3x+4)(x+1)=1/12(6x+8)(6x+6)=1/12[(6x+7)~2-1] 原方程化成1/12y(y-1)=6 即y~2-y-72=0,解得y=9,及y=-8     

使用判别式要谨慎

用判别式解题,由于诸种因素的相互制约,稍不留意.就出差错,今给出几例,剖析如下. 例1 求函数y=(x~2-x-1)/(x~2-x 1)的值域. 错解:将原式化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0,∴ x∈R,故有N=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0,解得-(5/3)≤y≤1.∴原函数的值域为-5/3≤y≤1. 剖析:上述解答的错误源于忽略了当y=1时,方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解的情况. 正解:∵x~2-x 1=(x-1/2)~2 3/4≠0.∴原等式可化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0.∵x∈R,故有△=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0.解得-5/3≤y≤1.∵ 当y=1时.方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解,∴y≠1.故原函数的值域是-5/3≤y<1.     

一道课本习题的五种换元解法

题 用换元法解方程((x 2)/(x-1))~(1/2) ((x-1)/(x 2))~(1/2)=5/2。 (人教版初中代数第三册第57页第3题) 解法一 (运用倒数关系换元) 设((x 2)/(x-1))~(1/2)=y,则((x-1)/(x 2))~(1/2)=1/y, ∴原方程化为y (1/y)=5/2, 解这个方程,得y_1=2,y_2=1/2。 当y=2时,((x 2)/(x-1))~(1/2)=2, 解之,得x_1=2;     

解二元二次方程组怎么会产生客解?

二元二次方程组的教学中,在学生的作业里往往会出现产生客解的情况。如初中代数第三册习题九1(1)题,解方程组: {x y 1=0 ① x~2 4y~2=8 ②′ [解] 由① x=-(y 1) ①′把①′代入② (y 1)~2 4y~2=8,即 5y~2 2y-7=0, ∴ y=1,y=-7/5。把y=1代入②得x=±2; 把y=-7/5代入②得x=±2/5。     

第五届河南省初二数学竞赛

一、选择题(满分42分,每小题7分) 1.若(x/2 y/2-4)~2 (x/3-y/2 2)~2=0,则有( ). (A)x=2,y=3 (B)x=-6,y=3 (C)x=3,y=6 (D)x=-3,y=6 2.已知a=1996x 1995,b=1996x 1996,c=1996x 1997.那么,a~2 b~2 c~2-ah-bc-ca的值是( ).