浅议集合论悖论

悖论的出现引起了数学领域的三次危机,特别是集合论悖论的出现所引发的第三次数学危机对数学界的震动最大、影响最深.数学家和逻辑学们在寻求解决办法的过程中形成了各种的学派,在不同领域促进了数学和其他科学的发展.     

罗素悖论

一天．萨维尔村的一个理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言．     

集合论悖论与辩证逻辑

从辩证逻辑视角出发，对无穷集合论的基本思想、认识论背景、悖论表现形式、矛盾消除方案及悖论实质作了系统的评述。指出无穷集合既是最大的集合(即实无穷集合成完全的集合)，又不是最大的集合，而是潜无穷集合或不完全的集合。其辩证本质即在于此。     

无穷性的悖论与公理集合论思想述略

康托尔首次引进无穷集合的概念,深刻揭示了无穷的本质特性,从根本上改造了数学的结构,促进了数学新分支的建立和发展。罗素悖论的出现表明集合论是有漏洞的,集合论产生悖论的根源在于集合定义中的自我指称、否定性概念以及与总体、无限的关系。公理化集合论的构建,为数学基础开辟了一个全新的平台。通过集合论的公理化,降低了悖论对数学的威胁。     

集合论中的无穷、维数和悖论分析

集合论、传统数学对维数的认识是相互矛盾的,从两方面分析了这个矛盾：1）分析了集合论中空间填充曲线的证明过程,指出在该证明过程中本应使用超穷归纳法进行证明,但实际上却用归纳法进行证明,因此该证明是不严格的;2）分析得出在考虑序关系后,无穷集合中整体和部分的一一映射将包含矛盾。为了分析上述各个矛盾产生的原因,基于代数结构及方程论,建立了一个与集合论等价的代数模型,并把该代数模型与集合论模型进行了对比分析,得出结论：1）罗素悖论、哥德尔不完全性等可以转化为方程组无解的问题。因此虽然在集合论中,罗素悖论、哥德尔不完全性不可避免,但对一个具体的集合,可以判断该集合中是否包含罗素悖论或不完全性命题;2）无穷集合的整体与部分的一一对应将导致矛盾,该矛盾与高维空间物体映射到低维空间后产生的重影点带来的矛盾相同;3）相对于集合论,传统数学对维数的认识更加可靠和严格。     

“理发师悖论”探究

悖谬常见于日常语言中，而悖论则不是一种普遍的语言与思维现象，但在逻辑领域里，罗素悖论及其通俗版本“理发师悖论”却屡见不鲜。本认为，消解“理发师悖论”，既不能希望一个与具体主体无关的形式化系统，也不能采取克服语义悖论的方法，而应结合具体的背景知识，运用形式逻辑来综合探宄，在层层疏析中，理清“理发师悖论”产生的缘由，进而达至消解“理发师悖论”的目的。     

悖论的历史演变过程探析

悖论在人类思维中出现，可以追溯到遥远的古代。有关悖论问题的历史演进过程表明，悖论问题及其研究在人类认识历史发展过程中起到了不可低估的作用。     

质疑"悖论的统一模式定理"分析悖论的方法

蒋星耀先生的“悖论的统一模式定理”是近年来出现的一种新的解决悖论的方法,然而该定理的原作者在应用这一定理分析悖论逻辑问题时,却存在严重的逻辑缺陷,使得千百年来探求解决悖论方法的旅途中出现在我国上空的一线希望之光又被乌云遮住了.我们有必要对蒋星耀先生的“悖论的统一模式定理”及其分析悖论的方法再作进一步的讨论,并对理查德悖论、罗素悖论、说谎话悖论等悖论的成因提出新的分析方法.     

悖论对数学发展的影响

通过对数学史上一些重要悖论的分析说明“悖论的产生———悖论的解决———新悖论的产生”这个循环过程是数学思想和方法获得重大发展的过程。     

悖论及其意义

悖论是属于领域广阔、定义严格的一个数学分支，具有重大的理论价值和教育学价值。教师在数学教育中引入悖论，可以激发学生学习数学的兴趣，领会数学的深刻思想，提高对现代数学所具有的美妙、多样甚至幽默性质的鉴赏力。     

后现代主义的“罗素悖论”

后现代主义思潮错综复杂的思想内涵中凸显着一种"基础与反基础"的"罗素悖论",这不是对现代主义的完全否定与消解,而是以一种积极的态势对现代主义进行的有力反思,并且也对现实世界的发展产生着有价值的影响。     

极性思维:悖论构造与消解的相同犯规--兼评黄展骥先生的解悖方案

极性思维是将思维的某些方面加以夸大，将某一概念或理论推向极端的一种思维方式。认识史上主要表现为还原论和机械论，它是追求简单化的产物。说谎悖论和罗素集合论悖论都是极性思维的后果。现当代西方三大解悖方案仍未能摆脱这种极性思维。我国香港学黄展骥先生的解悖方案与西方解悖方案的实质区别在于它力求克服“不全则无”的极性思维。     

芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论新解

分析、揭示了悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族所暴露的自古以来就存在于科学基础理论中与＂有穷——无穷＂概念相关内容的缺陷。得到明确的结论：自古以来由于受＂重形式———轻本体＂这种错误工作思路的影响,导致了三大悖论家族的产生与不断繁荣壮大,并且无法真正认清这三大悖论的本质,决定了由它们所揭示的问题在现有科学理论体系中一直无法得到解决。本文进一步揭示这三大悖论的本质。     

ZF系统理论的分析与探讨——由理发师悖论所想到的

伯特纳德·罗素的理发师悖论动摇了数学基础。本文通过分析悖论产生的原因 ,由策梅罗集合论给出了解决悖论的方法 ,在此基础上推出了稳定可靠的数学基础———ZF系统理论。     

三次数学危机与悖论

悖论的发现，给数学界以极大的震动，相继导致了数学史上的三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。本文就悖论与数学危机的产生、悖论的根源以及障论对数学科学的影响提出一些看法。     

数学基础理论中的千古悬案——科学哲学——芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论新解

结合新发现的经典无穷观和与之相关的经典数量体系中所存在的缺陷,从基础理论学的新思路,分析、揭示了悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族所暴露的自古以来就存在于数学基础理论中与“有穷-无穷”概念相关内容的缺陷,并认为,自古以来由于受“重形式-轻本体”这种错误思路的影响,数学与科学哲学基础理论中与“有穷-无穷”概念相关的那部分内容非常薄弱,导致了三大悖论家族的产生与不断繁荣壮大,使人们无法真正认清这三大悖论的本质,从而决定了由它们所揭示的问题在现有科学理论体系中一直无法得到解决．     

悖论是逻辑矛盾而非辩证矛盾──复刘高岑先生

本文共三个部分．第一部分进一步说明说谎者悖论和罗素悖论都是由于混淆了部分与整体的关系才形成的．并指出．“刘文”对这一观点的各种批评都是不能成立的。第二部分从三个方面论证了悖论是一种逻辑矛盾,并对“刘文”否定悖论是逻辑矛盾的全部论据进行了系统的反驳。第三部分指出停论不是辩证矛盾．并指出“刘文”所以认为悖论是辩证矛盾,是由于它既把一切认识都有其客观的辩证法基础和一个辩证命题具体地反映了事物的辩证矛盾相混淆,又把实际上是辩证命题（不是悖论）的所谓“量子悖论”、“伽利略悖论”和悖论相混淆。