谈抽象函数中的不等式证明

抽象函数和不等式都是高考中的重点和难点 ,而这两大问题的交叉又使问题变得更加灵活和复杂。在抽象函数的不等式证明中 ,它既有函数性质的灵活应用 ,又有不等式证明技巧的合理选用 ,这又加大了分析问题和解决问题的难度。本文通过几个例子 ,对这类问题进行分析 ,盼能理出一个解决这类问题的头绪。例 1　已知函数 y =f(x)x 是定义在R+ 上的减函数 ,求证 :当x1、x2 ∈R+ 时 ,一定有 f(x1) +f(x2 ) >f(x1+x2 )。析与解　这是一个抽象函数的不等式证明题。已知的条件是函数的单调性 ,所以可考虑x1、x2 和x1+x2 的大小关系 ,再利用函数的单调性…     

破解一类无理方程问题的新视角——导数

形如“F(f(x))+F(g(x))=F(h(x))+F(k(x))或者F(f(x))·F(g(x))=F(h(x))·F(k(x))”这一类无理方程解的问题,并不是很好处理,本文从导数的视角研究破解此类问题的方法.     

“一元二次方程根与系数的关系”中考题型解读

一元二次方程根与系数的关系： 如果关于x的方程ax^2＋bx＋c=0（n≠0）的两个根是x1、x2,那么x1＋x2=--b/a, x1x2=c/a.这两个等式在二次方程问题中有着很多的应用．这方面的题型灵活多样,有如下四种：     

利用x＋1／x解题

式子x 1/x在代数变形中具有非常广泛的应用，利用好它能简捷地将问题化解.有时，题目表面上不具有x 1/x的形式，但可根据条件或结论化得式子x 1/x,下面就举例谈谈这方面的问题.     

先借后还,难题不难

在学习初中数学《因式分解》时,有学生来问我这样一个问题:把4x4 1分解因式．当时,我把解题方法——添项告诉他,即4x2 1=4x2 4x2 1-4x2 =(2x2 1)2-(2x)2=(2x2 2x 1)(2x2-2x 1)．事后,回忆这一问题的解决,发觉它跟我们日常生活中的“有借有还”非常相似,只不过在我们数学里,“借”指的是加上,而“还”呢,指的是减去．这一思想,在我们很多的数学问题中都有应用．     

利用根与系数关系解题

如果一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1、x2,则x1＋x2=-b/a,x1·x2=c/a．我们称这一结论为一元二次方程根与系数的关系,利用这一关系,可以解决许多与一元二次方程根有关的问题．现举例说明．     

“嵌套函数”问题分类解析

<正>我们把形如y=f[f(x)]或y=f[g(x)]的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题．嵌套函数问题有两类基本形式:1．“f[f (x)]”型这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设f(x)=t,然后根据题设条件解出相应t的值或范围,最后利用函数f(x)或利用函数y=f(x)与y=t的图像关系解得问题．     

两个重要极限公式的几种变化形式

《高等数学》微积分学中有两个重要极限公式lim x→0 sin（x）/x=1和limx→∞（1＋1/x）^2=e.表面上看这两个公式只是解决了部分x→0时0/0型和x→∞时1^x型极限的计算问题。实际上由于这两式个公是高度抽象的,它们的含义非常深刻。     

谈数学课堂教学的形象化

许多刚走上讲台的数学教师常反映数学课不好上，原因是不少学生觉得数学课枯燥无味，对数学课提不起兴趣。这是由数学的抽象性、逻辑严密性决定的。针对这一问题，我想，如果老师在教学时注重结合日常生活的例子，将抽象的数学概念形象化，趣味化，使学生易于理解，定能收到良好的教学效果。以下通过几个例子谈谈自己的做法。如我在教“交集与并集”概念时，学生对∩狖x｜x＞２狚＝和狖x｜x＜２狚∩狖x｜x＞５狚＝是很容易理解的，但在教授∪狖x｜x＞５狚和狖x｜x＜２狚∪狖x｜x＞５狚时，学生往往认为这两者结果为。对这一问题，…     

高中数学恒成立问题的思考

<正>恒成立问题是近年来高考中的一个热点,在高考数学复习的过程中,这一题型也成为很多高中同学感到头疼的问题。恒成立问题往往出现在函数、方程、不等式、三角、数列等题型中。1.换元思想例1已知f(x)=x³+4ax-1,g(x)=f′(x)-ax-6,对-1≤a≤1,g(x)<0恒成立,求x的范围。分析:这一类型题是典型的函数恒成立问题,如果将x视为主元,那么解题必然复     

互为反函数的一个充要条件

关于反函数有以下众所周知的性质：函数y=f（x）,x∈A（y∈C）的图象与它的反函数y=f-1（x）,x∈C（y∈A）的图象关于直线y=x对称.近期发现有多家杂志提及到了它的逆命题：如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数是互为反函数.这几家杂志的作者的观点均以为这是一个假命题,但都没有反例显示.笔者考虑到这是一个有意思的问题,     

降元法巧解双极值点含参恒成立问题

函数f(x)的双极值点x1、x2的本质是f'(x)的双零点,含有双极值点的恒成立问题是双变量问题.解决双变量问题的核心思想是通过某种途径降元,把双变量问题转化为单变量问题.而含参的双极值点问题除了两个变量x1、x2外还有一个参数,这给解题带来巨大的困扰.对于这类双极值点含参恒成立问题,通常考虑消参或以参数为媒介构造一个新的单变量函数,研究其最(极)值.本文给出常见的几种处理方法.     

解两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题

本文从学生对一道含参数的一元二次不等式恒成立问题处理的逻辑错误入手,对“a≤g(x)或a≥f(x)”和“g(x)≤a≤f(x)”这两类含参数的复合不等式有解与恒成立问题进行探讨,得出相应的等价处理方案.     

易混函数问题几例

例1问题1已知T={(x,y)|x/2+y/3=1},S={(x,y)|y=x-1},则S∩T=__. 问题2已知T={y|y=x2-l,x∈R},S={y|y=3x,x∈R},则S∩T=__. 解析这2个问题很容易弄混,问题1中的2个集合是点集,而问题2中的2个集合是数集,所以其答案应分别是{(8/5,3/5)}和{y|y＞0}.     

对一道课本习题的变式思考

原题(必修5P_(114))x>0,当x取什么值时,x+1/x的值最小?最小值是多少?解析x>0,1/x>0,所以x+1/x≥2(x·1/x)~(1/2)=2,当且仅当x=1/x,即x=1时,等号成立.所以当x=1时,x+ 1/x的值最小,最小值等于2.这是一个运用基本不等式求最值的问题,题虽     

一个恒等式在解题中的应用

<正> 当x≠0时,以下等式显然成立:(x+1/x)=(x-1/x)+4.将这一关系式用于某些问题的求解,往往十分简便. 例1 如果x+1/x=6,求x-1/x. 解∵x+1/x=6∴(x+1/x)2=36,代人以上关系式便得:     

π(x;33)=10有解的必要条件

当x >11时 ,π(x ;33) =10是否有解 ,这是素数分布中一个至今仍未解决的问题。本文给出了π(x ;33)=10有解的一些必要条件     

细观集合问题之三点剖析

在中学阶段,集合是一个大家族,许多问题都可以纳入到集合中来.在这些问题当中,主要有三种问题值得重视,它们分别是集合的对象问题、空集问题及补集思想,鉴于这三点在集合中的重要性,本文以具体的例题加以阐述.1集合的对象问题我们知道把指定的对象放在一起就是一个集合,然而这个确定的对象是什么应该要搞清楚,其中表现突出的是点集和数集的区分,这一点同学们容易混淆,一般点的集合表示为{(x,y)|p(x,y)},而数的集合表示{x|p(x)}.     

一道三角函数对称轴问题的多种解法

正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形．y=sin x的对称轴方程为x=kπ＋π/2（k∈Z）,y=cos x的对称轴方程为x=kπ（k∈Z）,因此利用这一性质我们可以解决如下问题．     

解题的心向——化归

正化归思想是中学数学最基本的思想方法,是解题思想的灵魂,是解题的"心向".如何恰当地化归,乃是探索解题途径的中心环节.怎样恰当地化归问题呢?下面本文具体举例阐述.1.转换表达,化未知为已知将未知的问题向其等价的表达形式上转化,这是解题的基本方向.例1已知函数f(x)=x+1x+a2,g(x)=x3-a3+2a+1,若存在x1、x2∈[1a,a](a1)使得|f(x1)-g(x2)|≤