2010年四川省高考理科数学第21题简解

题目已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m,n∈N＊都有a2m-1＋a2n-1=2a m＋n-1＋2（m-n）2.     

精益求精 寻求通法——多角度审视2009年江西高考压轴题

2009年高考江西卷理科压轴题是：各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m＋n=p＋q的正数m,n,p,q都有am＋an/（1＋am）（1＋an）=ap＋aq/（1＋ap）（1＋aq）.     

等比数列的性质及应用

性质 1若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {}也为等比数列,公比为 .(其中 q是实常数,下同 ) 性质 2若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {kan}也为等比数列,公比为 q.(其中 k≠ 0,是实常数 ) 例 1在等比数列 {an}中,已知 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=,,求 a3. 解：设 {an}公比为 q,由性质 1可知 {}是公比为的等比数列,已知的两式又都恰是五项 . 所以得 =,① a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=.② 由①②可得 a1q2=± , 即 a3=a1q2=± . 性质 3若 {an}成等比数列,且 m＋ n=k＋ l,则 am· an=ak· al.(m,n,k,l∈ N) 性质 4若 {an}成等比数…     

用错位法求某些数列的前n项和

对于{anbn}（其中{an）为等差数列，{bn}为等比数列）形式的数列，求其前n项和通常用错位相减法．这种数列通项可写成anbn=（an＋b）q^n．如果通项形如（an^2＋bn＋c）q^n，（an^3＋bn^2＋cn＋d）q^n，…，甚至形如f（n）q^n，其中f（n）=a0n^m＋a1n^m-1＋…＋am-1n＋am，m∈N^＊，且m、a、b、C、d、ai（i=0，1，2，…，m）均为常数时，它们能否也可用错位相减法呢？     

对一道联赛题的多方位探究

1999年全国高中联赛试题的第五大题是：给定正整数n和正数M，对于满足条件a1^2＋an＋1^2≤M的所有等差数列：a1，a2，a3，…，试求S=an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．     

逆代、构造巧用柯西不等式

柯西不等式是指：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有（a1b1＋a2b2＋…＋…anbn）^2≤（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），当且仅当这两组数对应成比例，即a1/b1=a2/b2=…=an/bn时等号成立，通常我们多用n=2或3时的形式。     

竞赛常用知识手册

4数列 4．1 一般数列 设Sn=a1＋a2＋…＋an.则an={S1，n=1/Sn-Sn-1，n≥2.[第一段]     

用错位法探究数列的前n项和

对于{anbn}（其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列）形式的数列,求其前n项和通常用错位相减法。这种数列通项可写成anbn=（an＋b）qn。如果通项形如（an2＋bn＋c）qn,（an3＋bn2＋cn＋d）qn,…,甚至形如f（n）qn,其中f（n）=a0nm＋a1m-1＋…＋am-1n＋am,m∈N,且m、a、b、c、d、ai（i=0,1,2,…,m）均为常数时,它们能否也可用错位相减法呢？     

经典均值不等式的再改进

设a1,a2,…,an∈R＋,n≥2,则n/1/a1＋1/a2＋…＋1/an≤n√a1·a2…an,其中等号成立的充要条件为a1=a2=…an.     

从2006年全国联赛二试题的简解谈不动点的应用

2006年全国联赛二试第2题： 已知无穷数列{an}满足a0=x,a1=y，an＋1=anan-1＋1/an＋an-1,n=1,2,3….     

常见递推数列求通项公式的七种方法

类型一：已知a1=a1an＋1-an=f（n）（n∈N＊）型,可用累加法求an an=a1＋（a2-a1）＋（a3-a2）＋…＋（an-an-1） =a1＋f（1）＋f（2）＋…f（n-1）.     

一个递推数列中的素数

设{an}^∞ n=1是满足递推关系a1=1，an＋1=a^2n＋4an＋2（n≥1）的数列，本文证明了：当n是偶数时，an仅当n=2时是素数。     

用增量代换攻克分式不等式

设有两组实数a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn,且a1＋a2＋…＋an=b1＋b2＋…＋bn（n≥2）。作代换a1=b1＋r1,a2=b2＋r2,…,an=bn＋rn,则有r1＋r2＋…＋rn=0。利用这种增量代换可简便地证明一类分式不等式。     

关于最大公因数和最小公倍数的一个方程

证明了：方程gcd（a1,a2,…，an）＋lcm（a1,a2,…，an）=a1,a2,…，an。仅当n=2时有正整数解（a1,a2）=（2，2）．     

利用“整除”思想求解数列中“不定方程”问题

题目（2014年浙江高考题）已知等差数列{an}的公差d〉0．设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36． （1）求d及Sn; （2）求m,k（m,k∈N^＊）的值,使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k=65.     

细节之大——函数观点求递推数列通项一例

例题：在数列{an}中,a1=1,an=a1＋2a2＋2a3＋…＋（n-1）％。（n≥2）,则通项公式an=＿＿＿．     

几类递推数列通项公式的求法

一、an＋1=an ＋f（n）型求解要点：可按an=a1＋（a2-a1）＋（a3-a2）＋…＋（an-an-1）累加求解．     

由待定系数法求数列通项公式的一个漏洞

《高中总复习优化设计》有这样一道题目： 已知数列{an},a1=1,an＋1=2an＋2^n，求数列{an}的通项an，     

高考山东省理科第22题（Ⅲ）的别解

题目 已知a1=2，点（an，an＋1）在函数f（x）=x^2＋2x的图象上，其中n=1，2，3，…     

用特征方程法求数列通项

特征方程法是指：在数列{an}中,给出a1,a2,且an＋2=pan＋1＋qan．其特征方程x2=z＋q的两根为x1与x2．若x1≠x2,则an=A1x1^n＋A2x2^n,若x1=x2,则an=（A1n＋A2）x1^n,其中A1、A2由初始值a1、a2求出．