面积公式的妙用

在数学学习中,同学们常常会利用特殊平面图形面积公式来解决一些一般平面图形的面积问题。你可知道,我们还可用这些面积公式来解决一些其它数学问题。图1一、利用面积可以验证勾股定理例1如图1,我们知道在Rt△ABC中,两条直角边与斜边有如下关系:a2+b2=c2即在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。图2将四个全等的直角三角形拼成图2,利用计算小正方形的面积可以验证勾股定理。S小正方形=S大正方形-4SRt△即c2=(a+b)2-4×12·a·b=a2+2ab+b2-2ab∴c2=a2+b2.二、利用面积可以求出直角三角形斜边上的高例2如图3,在Rt△ABC中,BC…     

直角三角形边与面积的关系及应用

直角三角形有许多属性,除边与边、角与角、边与角的关系外,边与丽积电有内在的联系.设a、b为直角三角形的两条直角边,c为斜边.S△为面积,于是有(a+b)2=a2+2ab+b2,a2+b2=c2,2ab=4×1/2ab=4S△,∴(a+b)2=c2+4S△,即S△=1/4[(a+b)2-c2].     

灵活应用勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活应用它,可帮我们顺利地解答一些与线段有关的问题.一、计算问题例1如图,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为().     

直角三角形的性质探讨

我们知道在直角三角形中的著名的勾股定理、射影定理 ,其实 ,我们还可以将直角三角形的三边长、周长、面积有机的联系在一起 ,以便在解题中起到化繁为简 ,事半功倍的效果 .下面就对直角三角形的性质作一个探讨 .定理　设直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,半周长为 p ,面积为S ,则S =p(p -c) =(p -a) (p-b)证明　因为 p(p -c) =12 (a+b +c)·12 (a +b-c) =14 [(a +b) 2 -c2 ] =12 ab=S ,又 (p -a) (p-b) =12 (-a+b +c)· 12 (-b+a+c) =14 [c2 -(a-b) 2 ] =12 ab=S ,所以S=p(p-c) =(p-a) (p-b) .请看下面几例 (下面出现的字母与公…     

初二年级数学竞赛训练题(三)

一、选择题1.已知 :a -b=6 ,ab+(c -a) 2 +9=0 ,则a+b +c的值为 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 3　　　　 (B) - 3　　　　(C) 0　　　　 (D) 62 .已知 2 0 0 4 2 0 0 4- 2 0 0 4 2 0 0 3 =(2 0 0 4 x) ·2 0 0 3,则x的值为(　　 ) .(A) 1　　　　 (B) 2 0 0 3　　　　(C) 2 0 0 4　　　　(D) 2 0 0 53.设一个直角三角形的两条直角边为a ,b,斜边为c,斜边上高为h ,那么以c+h ,a+b ,h为边构成的三角形的形状是 (　　 ) .(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定 ,形状与a,b,c大小有关4 .如果实…     

高中数学联赛模拟试题

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 对于一切实数x ,当实数a、b、c(a≠ 0 ,且a 相似文献   

运用勾股定理应注意的问题

运用勾股定理解题应注意哪些问题呢?一、正确识别直角边和斜边例1 在△ABC中,∠A=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且a=4,b=3。求c的长. 错解:由题意可知,△ABC为直角三角形. 由勾股定理可得c2=a2 b2=42 32=25.所以c=5. 剖析:在直角三角形中运用勾股定理时,首先要弄清楚哪个角是直角,从而确定哪条边是斜边,这样才能写出正确的勾股定理表达式.上述     

2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题 (共 5小题 ,每小题 6分 ,满分 3 0分 )1.已知实数a≠b ,且满足 (a+ 1) 2 =3 -3 (a+ 1) ,3 (b + 1) =3 -(b+ 1) 2 .则b ba +a ab 的值为 (　　 )　　 (A) 2 3　 (B) -2 3　 (C) -2　 (D) -132 .若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c ,斜边上的高为h ,则有 (　　 )　　 (A)ab=h2 　　　 (B) 1a + 1b =1h　　 (C) 1a2 + 1b2 =1h2 (D)a2 +b2 =2h23 .一条抛物线 y=ax2 +bx +c的顶点为 (4 ,-11) ,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负 ,则a、b、c中为正数的 (　　 )　　 (A)只有a　　 (B)只有b　　 (C)只有c (D)只有a和b4.…     

勾股定理综合检测题

一、选择题1.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是().A.斜边长为25B.三角形的周长为25C.斜边长为5D.三角形的面积为202.下列各组数字分别表示3条线段的长:①9、12、15;②7、24、25;③32、42、52;④3a、4a、5a(a>0);⑤m2-n2、2mn、m2 n2(m、n为正整数,且m>n).其中可以构成直角三角形的有().A.5组B.4组C.3组D.2组3.如图1,AC是圆的直径,∠B为直角,AB=6,BC=8,则阴影部分的面积为().A.100π-24B.25π-24C.100π-48D.25π-484.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是().A.钝角三角形B.锐角三角形C.直…     

勾股定理的应用检测题

一、选择题1.若△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,则BC的长是().A.14B.4C.14或4D.以上都不对2.下列命题中真命题有().(1)已知直角三角形面积为4,两直角边的比为1∶2,则它的斜边为5;(2)直角三角形的最长边长为26,最短边长为10,则另一边长为24;(3)在直角三角形中,两条直角边长为n2-1和2n,则斜边长为n2 1;(4)等腰三角形面积为12,底边上的高为4,则腰长为5.A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图1,已知AB=13,BC=14,AC=15,AD⊥BC交BC于点D,则AD等于().A.9B.11C.12D.104.如图2,有一圆柱,它的高为8,底面直径为4(π≈3).在圆柱下底面的A点…     

2004年“TRULY~信利杯”全国初中数学竞赛试题(初二、初三)

1.已知实数a≠b,且满足(a 1)2=3-3(a 1),3(6 1)=3-(b 1)2,则的值为( ) (A)23. (B)-23. (C)-2. (D)-13. 2.若直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有( )     

2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题 (共 5小题 ,每小题 6分 ,满分 3 0分 )1 已知实数a≠b,且满足 (a+1 ) 2 =3 -3 (a +1 ) ,3 (b+1 ) =3 -(b +1 ) 2 .则b ba +a ab 的值为 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 2 3　　　 (B) -2 3　　　(C) -2　　　 (D) -1 32 若直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h ,则有 (　　 ) .(A)ab=h2 　　　 (B) 1a+1b=1h(C) 1a2 +1b2 =1h2 　　　 (D)a2 +b2 =2h23 一条抛物线 y =ax2 +bx +c的顶点为 ( 4,-1 1 ) ,且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负 ,则a、b、c中为正数的 (　　 ) .(A)只有a…     

中考试题中的勾股“生长”图

由直角三角形的直角边或斜边向三角形的外部作直角三角形、正三角形、正方形、半圆等,可得到各种各样的“生长图”,并常被选作近年来的中考题,现举例如下.生长1:斜边外“长”图1例1(2004年浙江省杭州市中考题)在课本的阅读材料中,介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽.如图1所示,它的主题图案是由一连串的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1,请你先把图中其他8条线段的长计算出来,填在表1中,然后再计算这8条线段的长的乘积.表1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8OA9分析由…     

勾股定理运用中常见错误例析

同学们在运用勾股定理及其逆定理解题时常常出现这样那样的错误 .本文拟对相关错解作出分析 ,以提高同学们对这两个互逆定理的认识与运用 .　　一、未注意确定斜边　　 　例 1　在△ABC中 ,∠A =90°,a ,b,c是∠A、∠B、∠C的对边 ,且a=8,b=6,求c.错解　由勾股定理 ,得c2 =a2 +b2 =82 + 62 =1 0 0 ,故c=1 0 .剖析　在直角三角形中运用勾股定理时 ,首先应弄清哪个角是直角 ,从而判断哪条边是斜边 .上述错解错在死搬硬套勾股定理表达式“c2 =a2 +b2 ”上 .其实 ,由∠A=90°可知a应是斜边 ,由勾股定理应得a2 =b2 +c2 ,故c2 =a2 -b2 =82 -62…     

初二数学期末试题

一、填空题 :(每空 2分 ,共计 50分 )1 4的算术平方根是 ;9的平方根是 ;的立方根是 - 4。2 化简 :( 1- 2 ) 2 =;13 2 =;ａ2ｎ 1 ｂ3 =。3 比较大小 15- 14 14 - 13 ;3 52 11。4 一个多边形的内角和与外角和共为 180 0° ,则此多边形是边形。5 直角三角形两条直角边为 2 2和 2 3 ,则周长为 ;面积为 ;斜边高为 ;斜边中线为。6 若ａ <- 3则 (ａ - 3) 2 |ａ 2 |=。　　 7 若 3 -ｘｘ - 2 有意义 ,则ｘ的取值范围是。8 顺次连结等腰梯形各边中点得形。　　　9 等边三角形高与边长之比为。10 线段 3和 5的比例中项是。　　　　 11 ａｘ …     

直角三角形中的两个重要结论

直角三角形中有很多重要的结论,其中有两个要记住并不难,而应用却非易事.这两个重要结论根据内容可以概括为两个“一半”:(1)在直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半.(2)在直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半.不要小看它们说的只是“一半”,它们在实际应用中作用大着呢!例1如图△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证:BD=14AB.分析:要注意寻找30°角所对的直角边.在Rt△ABC中,∠A=30°,∴BC=12AB.在Rt△BCD中,∠BCD=30°,BD=12BC.∴BD=14AB.例2在△ABC中,AB=AC,AB=2a,∠B=15°,则AB边上的高CD=.分析:依…     

一个有用的半径公式

如图1,若RtΔABC的两直角边长为a、b,斜边长为c,则它的内切圆的半径 r=1/2(a+b-c)。这是一个非常有用的半径公式,下面举几例说明。例1 已知一个直角三角形铁片的面积是2(3~(1/2))cm~2,斜边长是4cm,现需要把这个铁片剪成一个面积最大的圆片,试求这个圆片的面积。解易知所求的圆就是直角三角形的内切圆。设这个直角三角形的两直角边为a、b,则 {a~2+b~2=16, {ab=4(3~(1/2))。     

代数式最值的求法

求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目,它的解法灵活多样,不可一概而论,下面就初中阶段较常见的解法举例说明,以便同学们复习参考.一、配方法例1设a、b为实数,那么a2+ab+b2-a-2b的最小值是___.解:a2+ab+b2-a-26=a2+(b-1)a+b2-2b=(a+b-1/2)2+3/4(b-1)2-1因为(a+b-1/2)2≥0,3/4(b-1)2≥0,     

2004年数学竞赛中的整解问题

2004年全国各地各级各类的中学数学竞赛中,又出现了大量的涉及整数解的问题.不少题目命题方式新颖,涉及面宽、范围广,往往需要灵活地运用相关概念、性质、广泛和技巧才能解决,令人有耳目一新之感.下面以2004年的初中竞赛试题为例,归纳一下求解这类问题的思考方法和途径.1　排除法例1　直角三角形斜边长为整数,两条直线边长是方程9x2-3(k 1) k=0的两个根,则k2的值是(　)(2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题)A.2　　B.4　　C.8　　D.9解　设直角三角形两直角边为a、b,斜边为c,则由韦达定理,a b=k 13ab=k9,c=a2 b2=(a b)2-2ab=k2 13.…     

一道课本习题的五种构造解法及其推广应用

题目求证3+8>1+10(高二数学(上)复习参考题六第7题)解法一(构造直角三角形)证明:构造直角三角形几何模型:以10为斜边、8为直角边与以3为斜边,1为直角边所画的直角三角形另一直角边长都是2(如图1)图1AB=10,BC=8,AB′=3,B′C=1,AC=2则BB′=8-1在△ABB′中,BB′+AB′>AB,∴8-1+3>10即3+8>1+10原不等式获证.几何模型的一般形式推广:已知a,b,m∈R+,且b≥m求证:a+m+b≥a+b+m证明:如图1,设AB=a+b,BC=b,AC=a,AB′=a+m,B′C=m,则BB′=b-m(b>m).在△ABB′中,由BB′+AB′>AB,得a+m+b>a+b+m当b=m时,不等式取等号解法二(构造单调函数①…