用参数的几何意义巧解圆锥曲线问题

<正>平面内经过点M0(x₀,y₀)且倾斜角为α(α∈[0，π))的直线l的参数方程为■(t为参数)．当直线l上动点M(x,y)在点M0上方(即y> y0)时，t>0；当M(x,y)在点M0下方(即y 0M|．鉴于参数的几何意义是常见的解题切入点，本文以2022年高考题为例，展示直线参数方程在求解圆锥曲线问题时的神奇魅力．     

用好直线的参数方程

过点M0(x0,y0)、倾斜角为θ的直线l的参数方程为{x=x0+tcosθ,y=y0+tsinθ(t为参数),其中M(x,y)是直线l上的任意一点.当点M在点M0的上方时,|MM0|=t,当点M在点M0的下方时,|MM0|=-t.课本介绍如何用直线的参数方程求线段长、中点弦的方程,其实,还有很多问题可以利用直线的参数方程来解决.     

例说用直线参数方程中参数的几何意义解题

在平面直角坐标中,直线参数方程的标形式为{x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,其中P(x0,y0)为直线经过的定点,α为直线的倾斜角设点A(x,y)为直线上的动点.则参数t的几何意义是有向线段PA的长,且当点A在点P的上方时t=|PA|,当点A在点P的下方时t=-|PA|,当点A与P重合时t=0.     

用直线的参数方程解弦的中点问题

直线l过点M(x0，y0)，倾斜角为α，则其参数方程是x=x0 tcosα,y=y0 tsinα，其中参数t表示该直线上任意一点N对应的有向线段MN的数量，没该直线与圆锥曲线交于A、B两点，当定点M（x0,y0）是弦AB的中点时，有t1 t2=0；当某点P是弦AB的中点时，则点P对应的t=1/2（t1 t2），利用上述两个结果求解与弦的中点相关的问题时，相当简便．     

直线参数方程应用举例

直线l的标准参数方程为x=x0+tcosθ y=y0+tsinθ(t为参数),其中定点M(x0,y0)∈l,θ为l的倾斜角,t是定点M(x0,y0)到动点P(x,y)∈l的有向线段的数量MP,就是这个t困惑了不少同学.以下举例谈直线参数方程的简单应用.一、求直线的倾斜角例1求直线x=3+tsin20° y=1-t{cos20°t为参数)的倾斜角.错解设直线方程为x=3+tcosθ y=1+tsinθ(t为参数,θ为倾斜     

利用参数t的几何意义巧解距离问题

<正>我们知道,经过点M_0(x_0,y_0),倾斜角为α(α≠π/2)的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中参数t的几何意义是:|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M_0(x_0,y_0)的距离,若t>0,则动点M在定点M_0的上方;若t<0,则动点M在定点M_0的下方;若t=0,则动点M与     

直线参数方程中“t”的运用

<正>苏教版选修4-4中直线的参数方程:过点P0(t),倾斜角为α的直线的参数方程是{x=x0+tcosα,y=y0+tsin{α(t为参数),其中t表示有向线段→P0P的数量,P(x,y)为直线上任意一点.在直线与圆锥曲线相交求交点弦长问题时,可以利用这种参数方程形式通过t的几何意义,将计算简化.     

直线参数方程中参数的几何意义

我们知道经过点P_1(x_1,y_1)倾角为α的直线l,其参数方程是: x=x_1+tcosa y=y_1+tsinα(t是参数) 一般课本上都是这样解释t的几何意义的:|t|就是动点 P(x,y)与已知点P_1(x_1,y_1)之间的距离。当P在P_1上方时,t是正值;当P在P_1下方时,t是负值。这样解释,学生不易接受,在解题时常常出错,尤其是在求直线l与二次曲线的交点到已知点P_1的距离的和、积这一类问题时,对t的正、负号搞不清。我在讲解这一问题时是这样向学生解释     

谈参数在直线与二次曲线间的作用

众所周知,过定点P_o(x_o,Y_o)且倾角为a的直线,其参数方程为: x=x_o+tcosa y=y_o+tsina……(A)这里点P(x,y)为(A)上任意一点,t为P点对应参数,它表示向量t=,当t>0时,P在P_o沿直线的上方;t<0时,P在P_o沿直线的下方。若在(A)上存在两点P_1、     

关于直线的参数方程与应用

在直角坐标系下,如果一条直线l经过已知点P_0(x_0,y_0),倾角为a,那么它的参数方程为 {x=x_0 tcosa y=y_0 tsina (t为参数) (*) 这个方程很重要,应让学生很好理解和掌握。 (一) 关于参数t的几何意义方程(*)中,参数t的几何意义是直线l上的定点P_0(x_0,y_0)与l上的任意一点P(x,y)所成的有向线段P_0P的数量P_0P,即t=P_0P。当P_0P与l同向时,有     

空间直线参数式方程应用初探

设空间直线过定点(x。,y。,z o),其方向向量V={l,m、n}, fx=x 0+It -则{y:y。+mt (t为参数)称为直线的参数式方程。 Iz=z o+nt本文将探讨直线参数式方程的若干应用。 (一)求 交 点 fx=x o I-It把直线方程2y:y。+mt(t为参数)代入曲面方程f(x,y、z)=o,得f相似文献   

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

点斜式直线参数方程解题举隅

I、点斜式直线参数方程的标准形式:爸过定点尸。(x。,y。)倾斜角为a的直线的参数方程: 设尸(',y)是直线上任意一点,令尸.尸,t.那么:戈一劣。=fcosa. y一yo=ts ina。.'.点斜式参数方程的标准形式是:(戈=:。+teo:a烤Ly=y。+t:ioa(t为参数0《a(二)(1)t的系数平方和等于1,它是点斜式参数方程的标准形式.(2)参数t对应于尸(二,y),所以它的几何意义是:0 00一一>< 厂l|l!11、、t=P。尸=(尸和尸。重合)(尸在尸。的上方或右方)(尸在尸。的下方或左方) (3)利用t的几何意义,可以求得直线     

关于直线的参数方程

我们知道，随着参数选择的不同，同一直线的参数方程也不同，过定点M0(x0，y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x0 tcosα，；y=y0 tsiα，（t为参数）     

例析直线的参数方程在解析几何中的应用

我们知道,随着参数的不同,同一直线的参数方程也不同．过定点M0（x0,y0）、倾斜角为α的直线1的参数方程为{x=x0＋tcosα,y=y0＋tsinα（t为参数）,我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其中t表示直线l上以定点M。     

例题的推广

全日制普通高级中学教科书数学(试验修订本)第二册(上)中有这样一道例题(§7.7例2). 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程. 解(略)所求切线方程为xx0+yy0=r2. 此切线方程简捷明了,体现了数学美,这里我们也许会想到当M(x0,y0)在圆x2+y2=r2的内部、外部时方程xx0+yy0=r2有何几何意义呢? 定理1 已知圆的方程是x2+y2=r2,点     

直线方程的一种新求法及应用

本文介绍直线方程的一种/另类0求法及解题中的广泛应用.如果P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标满足:Ax1+By 1+C=0,A x 2+By 2+C=0,说明P(x1,y1),Q(x2,y2)两点都在直线A x+By+C=0上,因为两点确定一条直线,所以直线PQ的方程为:Ax+By+C=0,这给出了求直线方程的一种新方法,应用这种方法,能使许多棘手的解析几何问题得到简捷地解决,下面举例说明.例1过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为4 2.     

参数方程问题中的几类常见错误剖析

参数方程是中学数学的重要内容之一．由于题目涉及的范围广，变化多，难度大，是教学中的一个难点．针对学生学习和解题中的一些常见错误，本文拟从以下几个方面举例剖析，以期引起注意．一、忽视参数的几何意义致误与圆x2＋y2＝4交于M、N两点，求线段MN的长．数）代入圆方程x2＋y2＝4，化简整理得：t2－6t＋2＝0．根据韦达定理可得t1＋t2＝6，t1·tz＝2，剖析：因为直线的参数方程一般可写成：t具有物理意义．（2）当a2＋b2＝1时，常写成（t为参数），这时的t还具有特殊的几何意义．因此，上述错解的原因是忽视了对参数意义的理解，误认…     

怎样进行解题教学 才能提高思维能力

解题教学,是提高思维能力的重要环节.那么如何进行解题教学,才能提高思维能力呢?我在多年的教学实践中深深体会到,解题教学中注重发挥学生主体作用,是开发智力培养能力的重要举措.下面谈谈我的一些具体做法和体会.1给学生创造思维活动的机会解答数学问题的关键是思路.在解题教学中不要直接告诉学生思路,而是为学生提供思维活动的平台,引导学生在探究思路的过程中学会思考,让学生既知其然,又知其所以然,从而有效地提高独立分析问题,解决问题的能力.问题1已知椭圆x25+y24=1和直线l∶y=2x+t,问t在什么范围内变化时,椭圆上总有两点关于直线l对称?教学时,不要直接告诉学生解题过程,而是设置如下问题让学生思考:(1)求t的范围一般方法是什么?(解关于t的不等式)(2)根据什么特征来建立关于t的不等式?(具体方法),学生掌握了思维原则,就能从不同的角度探究解题方法.方法1利用判别式设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是椭圆上关于直线l对称的两点.直线M1M2与l垂直,可设直线M1M2的方程为y=-x2+m,即x=-2y+2m,代入椭圆方程得21y2-32my+16m2-20=0,则关于y的二次方程有两个不等实根,其充要条件...     

简单线性规划的应用浅议

“简单线性规划”是高中数学新增内容,在高考中占有较重要的地位,考察线性规划的直接应用或间接应用,从近几年高考命题的情况分析,在高考复习中,有必要在教材内容的基础上,作出适当引申.其一是约束条件不限于一次不等式,可以是二元二次不等式或其它形式;其二是利用目标函数的几何意义解题,而且目标函数可以是非线性的.1联系直线在y轴或x轴上的截距解题例1已知实数x,y满足2│x-1│-y=0,求z=x+2y的最小值.解它的可行域的边界为一折线y=2│x-1│,目标函数z=x+2y的值就是直线x=-2y+z在x轴上的截距的值;令x+2y=0,它表示的直线为l,平移直线l到l′使l′过点M(1,0),此时,目标函数z取得最小值,zmin=1.例2已知实数x,y满足x2+y2=2x-2y+1≤0,求z=x-y-1的最大值和最小值.解它的可行域的边界是一个圆(x+1)2+(y-1)2≤1,(是非线性的可行域)目标函数z的值就是当直线y=x-z-1与可行域有公共点时,在y轴上截距的相反数再减1,因而截距最小时,z最大;截距最大时,z最小.图1令x-y=0,表示直线l:y=x.平移直线l到l′和l″,使l′和l″与圆(x+1)2+(y...