用三角代换法证明不等式(高一、高二、高三)

题1设x∈(1,2),求证:1/x 1/(2-x)>2.证明设x=2sin2θ(θ∈(π/4,π/2)),则1/x 1(2-x)=1/2csc2θ 1/(2cos2θ)=1/2csc2θ 1/2sec2θ=1/2(1 cot2θ 1 tan2θ)=1/2(2 tan2θ cot2θ)≥1/2(2 2(tan2θcot2θ)~(1/2)(但等号不成立)     

“弦化切”思想在三角问题中的应用

一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2…     

三角计算中应注意角范围的精确性

有这样一道解答题：已知sinθ=-3/5,3π〈θ〈7π/2，求tanθ/2的值，许多同学采用下面的解法. 解 由sin=2sinθ/2cosθ/2/sin^2θ＋cos^2θ/2=2tanθ/2/1＋tan^2θ/2,得2tanθ/2/1＋tan^2θ/2=-3/5     

直线与椭圆有公共点问题的四种解法

题目　设 0≤θ≤π ,直线l:xcosθ +ysinθ=2和椭圆x26+y22 =1有公共点 .求 :θ的取值范围 .解法一 :(判别式法 )①cosθ=0时 ,直线l的方程为 :y =2 ,此时直线和椭圆相离 .②cosθ≠ 0时 ,直线l的方程为 :x=-ytanθ+2secθ　代入椭圆方程 :x2 +3y2 -6=0　可得 :( 3 +tan2 θ)y2 -4secθtanθ·y+4tan2 θ-2 =0由Δ =16sec2 θ·tan2 θ -4 ( 3 +tan2 θ) ( 4tan2 θ -2 ) ≥ 0 ,解得tan2 θ≤ 1,又∵ 0 ≤θ≤π ,∴θ∈ 0 ,π4∪ 3π4,π .评注 :判别式法是处理直线和圆锥曲线位置关系最常规的方法 ,思想方法较简单 ,但有时运算较复杂 .解…     

值得研究的一个最大角问题

《普通高中课程标准实验教科书》数学5(必修,2004年人教版)习题3.4B组第113页第2题:树顶A离地面a米,树上另有一点B离地面b米,在地面的C处看此树上的A,B两点,离此树多远时视角最大(图形此处略,以下简称问题).1.问题的解决解法1(三角法)设树与地面相交于一点O,则∠OCB=α,∠OCA=β,∠ACB=θ=∠OCA-∠OCB=β-α,OC=x,则有tanα=xb,tanβ=xa所以tanθ=tan(β-α)=1ta ntβa-ntβtaannαα=xa -axbb(1)由已知有a>b,x>0,故由(1)知tanθ>0,所以θ为锐角,由基本不等式得tanθ≤a-b2x·axb=2a-abb,由三角函数得sinθ≤aa -bb,所以θmax=arc…     

一个引理与一道CMO题的解

2003年中国数学奥林匹克(CMO)第3题:给定正整数n,求最小的正数λ,使得对任何θi∈(0,(π/2)(i=1,2,…,n),只要tan θ1·tan θ2·...·tan θn=2(n/2),就有cosθ1 cosθ2 ... cosθn不大于λ.     

一道国家集训队选拔考试题的简证及推广

题目设∠XOY=90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP=30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N.求OM ON-MN的最大值.(2004,IMO中国国家集训队选拔考试)图1解:如图1,设∠PMO=θ(0°<θ<90°),则OM ON-MN=32 12cotθ 12 32tanθ-12sinθ-32cosθ.令tanθ2=t∈(0,1),则OM     

浅析摩擦角及其有关现象

物体（质点）沿倾角为θ的斜面下滑，若物体与斜面问的动摩擦因数为μ，当斜面倾角θ满足tanθ=μ时，物体能沿斜面匀速下滑．分析此时物体的受力情况并根据力的平衡条件可得出：N和f的合力F必和mg等大反向，如图1所示．由几何关系得出：φ=θ所以，tanθ=tanφ=f／N=μ，或θ=φ=tan^-1μ．     

Strong/weak limits and strong/weak differentials of multi-variable indeterminate forms. III: Transformations

1SimplificationinsphericalcoordinatesInthesphericalcoordinatessystem,??y?x=rsinθcosφ,z=rsinθsinφ,=rcosθ,???00≤θ<π,≤θ<2π.Setk=?tanφ,yandK=?zcotθ,then,xxcosφcotθu=r0K(t,t')istransformedintor=r0K(tanφ,cos),φandis,whenφ=0,simplifiedintoatruncatedcurver=r°K(0,cotθ).Thelatteriseasiertoberesolvedandcanreverttotheformerthroughturningaroundfor180°.Example.Thereexistsu=z2=(rcosθ)2x2+y2+z2r2=r°cos2θ?φ°,0≤θ≤π,0≤φ<2π.AsshowninFig.1,XX′isthediameteroftheunitcircle,OP0i…     

浅析摩擦角及其有关现象

物体(质点)沿倾角为θ的斜面下滑,若物体与斜面间的动摩擦因数为μ,当斜面倾角θ满足tanθ=μ时,物体能沿斜面匀速下滑．分析此时物体的受力情况并根据力的平衡条件可得出:N和f的合力F必和mg等大反向,如图1所示．由几何关系得出:(?)=θ．所以,tanθ=tan(?)=f／N=μ,或θ=(?)=tan-1μ．     

利用单位圆 巧解三角题

一、利用单位圆,比较三角式的大小． [例1] 已知0<θ<π/2,试比较1-sinθ/1-cosθ和tanθ的大小．解:在图1所示的单位圆中的第一象限中任取点P, 令∠POx=θ,再取点A(1,1), 则KOP=tanθ,     

关于CMO_(18-1(3))的探究

第 18届中国数学奥林匹克 (CMO)第一天试题第 3题是 :给定正整数n ,求最小的正数λ ,使得对任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i =1,2 ,… ,n) ,只要tanθ1 tanθ2 …tanθn =2 n2 ,就有cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 不大于λ .解答试题可得cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 的最小上界 ,那么 ,自然要问cosθ1 +cosθ2 +…+cosθn 的最大下界是什么 ?笔者探讨得到了更为一般的结果 ,并一举两得———推广了第 4 2届国际数学奥林匹克试题 2和文 [1]的结果 ;给出了IMO42 -2 推广的最小上界 .定理 1　给定正整数n和λ≥n2 - 1,对于任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i …     

也谈在圆内解释三角公式

《中学生数学》2003年第12期（上）刊登的刘冬辉同学《在圆内解释三角公式》一文“利用圆的特点,不难解释三角公式：tanθ/2=sinθ/（1＋cusθ）和cotθ/2=（1＋cosθ）/sinθ.     

解题中的整体代换策略

<正> 在解决某些数学问题时,巧妙运用整体代换策略往往能收到化繁为简、化难为易的效果.现举例说明这种策略在解题中的应用. 一、求值例1 若tanθ+secθ=5,求sinθ+cosθ的值. 解设sinθ+cosθ=t,则有     

一类三角问题的几何解法

本文利用公式sin^2θ＋cos^2θ=1及tanθ=sinθ/cosθ,将（cosθ,sinθ）看成曲线（直线）上点的坐标,将三角题目的求解转换成代数几何问题来解决．     

几种三角函数极值的物理应用

1 y=asinθ＋bcosθ的极值应用 y=asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋α）,其中tan α=b/a，所以,y的极值：ymin=-√a^2＋b^2sin     

一道求数列通项题的两种解法

题目 已知数列{an}、{bn}中,an=an-1cosθ-bn-1sinθ,bn=an-1sinθ＋bn-1cosθ,（n∈N^＊,n〉1）,其中a1=1,b1=tanθ,θ是常数,求数列{an}、{bn}的通项公式。     

三角函数自测题

一、填空题(每题3分)1.已知cosθ>0,sinθ<0,则θ为第象限角.2.若点P(2,y)为角α终边上的一点,且tanα=2,则y=.3.已知α是第二象限角,且sinα=31,则cotα=.4.函数y=cos(2x 3π)的最小正周期是.5.已知sinx=54,cosx=53,则tan2x=.6.若y=sinx acosx为奇函数,则实数a=.7.已知函数f(x     

数学竞赛问题(14)

525.求出所有的实数a,使得关于x的多项式x4?6ax2+x-12a有一个因式x2+ax+4.注本题被作为2006年广州大学研究生入学考试题,科目是“初等数学解题”.526.设θ为锐角,且2(cosθ)3=sin(θ+45°),试求(tanθ)3+(tanθ)2+tanθ的值.注本题于2005年2月2日提出并解答于中山市翠亨村,本题被作为“2005年广州市中学生创新精神与实践能力综合测评”试题(初赛).527.设点D在△ABC的BC边上,AD平分∠B AC,∠ADC=60°,且BD=AD=1,设点T在线段AD上,使得∠B TC=90°,试求DT及BTTC(答案写成最简形式).注本题于2005年10月提出并解答,被作为“2005年广…     

解三角题的方程视角

许多三角题若运用方程视角来审视,就会发觉解题路子比原来更宽.本文例述其主要思考方式.一、直解方程即问题明确呈现方程本质,只须从中直接解出所求即可.例1已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),求cotθ的值.解析:本题解法较多,但最为稳妥的方法是解方程组:sinθ+cosθ=15,sin2θ+cos2θ=1.即有:sin2θ+(15-sinθ)2=1,整理得25sin2θ-5sinθ-12=0,(5sinθ+3)(5cosθ-4)=0,∴sinθ=45(舍sinθ=-35,∵θ∈(0,π)),从而cosθ=-35,∴tanθ=-43,cotθ=-34.例2在△ABC中,A+C=2B,且1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值.解析:由条件易知B=60°,从而A+…