三道竞赛题的统一证明

题1 设正实数a、b、c满足abc≥2^9，证明：     

一类分式不等式的统一证明

本文先证明一个代数不等式,然后应用这个不等式给出一类分式不等式简捷、统一的证明.     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

利用带参数的柯西不等式证明竞赛题

竞赛中的许多不等式的证明,需要用柯西不等式．在应用中元素的选取至关重要,利用带参数的柯西不等式,可以顺利地达到目的．下面通过几例加以说明．     

一类有关和的不等式的统一证明及推广

关于和的不等式在各类数学竞赛中频频出现，拜读了余红兵教授《关于和的不等式》一后受益匪浅．但对于中所说“在证明∑ai〈0时．可采用下面策略：对i=1,2,…，n．将每个单项ai放大至适当的bi，使得b1,…，bn的和b1＋…＋bn易于处理．且结果为0或不大于0，这一原则将“单项”与“整体”相结合，应用最为广泛．但怎样放大ai却并无简单的规则．得视具体问题而定．”对这一观点笔有不同的意见，经研究发现许多和的不等式按这种思路还是有统一的规则，能自然而简捷地解决，为此我们先证明如下定理．     

利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式．     

再谈一类分式不等式的统一证明

文[1]、[2]、[3]通过不同方法分别证明了一类分式不等式．笔者研读之余加以探索,发现通过构造函数,利用函数的凸性也能证明这类问题,首先给出两个常见的结论．     

二个不等式的再推广及统一证明

文[1]获得如下二个推广的不等式:推广1:已知m,m∈N~ ,且m,n≥2,a_i,b_i,x_i∈(0, ∞),(i=1,2,…,n)且a_1x_1 a_2x_2 … a_nx_m=S,求u=b_1x_1~m b_2x_2~m … b_nx_n~m的最小值.结论:u的最小值为     

用Schur分拆方法证明不等式竞赛题

齐次对称不等式一直是数学竞赛的一个热点．这类题的难度都很大，证明的方法也是多种多样，很不好把握．本文向大家介绍一种方法——Schur分拆方法．     

对一类求和形式的不等式的证明

由于不等式的形式多种多样,故而证明不等式的方法也多种多样.本文给出对一类求和形式的不等式的证明.它适合于文[1]中给出的部分不等式,并将它加以推广.     

一类不等式及其证明

文 [1 ]有如下两个不等式 :已知a、b∈R ,a b =1 .则43≤ 1a 1 1b 1 <32 ,①32 <1a2 1 1b2 1 ≤85.②经研究 ,笔者发现式②可推广为命题 1　若a、b∈R ,a b =1 ,n∈N ,n≥2 ,则32 <1an 1 1bn 1 ≤ 2 n 12 n 1 .③证明 :先证明式③左边的不等式 .当n =2时 ,     

也谈奥赛试题中一类分式不等式的递推证明

受贵刊的影响,笔者对各类奥赛试题中的一些分式不等式的证明给出一种新的递推证法,这种递推证法是把"高级分式不等式"转化为"低级分式不等式",以达到降低问题难度、实现快速证题的目的.     

利用导数证明一道竞赛题

导数作为高中新大纲中的内容,不但是中学内容向大学知识的过渡,而且对于我们解决一些已有问题提供了新的证明思想和方法.本文就一道竞赛题进行讨论,发现导数不但能很好的解决维数较低时不等式的证明,而且对于高维的不等式尤能发挥其作用.     

摭谈a＋b＋c=1条件下的不等式竞赛题的证明

本文利用Schur不等式及其变式来证明一类条件不等式竞赛题．     

几道不等式竞赛题的一种证法

本文给出几道不等式竞赛题的一种证法,这些不等式为涉及和的对称不等式,形如“已知(?)g(x_i)=A,求证(?)f(x_i)≥B (或≤B)”,具体证明步骤如下：①设待定常数λ,使f(x_i)-B/n≥(或≤)λ[g(x_i)-A/n];②将f(x_i)-B/n=λ[g(x_i)-A/n]两边分解因式并约去两边的公因式,再取满足g(x_i)     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…     

一类分式不等式的统一初等证法

在国内外数学竞赛以及一些数学杂志上出现了一类分式不等式 ,许多专家都曾对这类不等式作过研究 ,指出了较多好的证法 .本文旨在说明这类分式不等式有一种统一初等证法 ,就是都利用一个常见的简单不等式 (a1+a2 +… +an) (1a1+ 1a2 +… +1an)≥n2 (ai >0 ,i=1 ,2 ,3,… ,n)加以证明的 .问题 1　 (英国竞赛题 )设正数a1,a2 ,… ,an 之和为S ,求证 :a1 S -a1+a2S -a2+… +anS -an≥ nn - 1 (n∈N ,n≥ 2 ) .解析　原不等式等价于(a1 S-a1 +1 ) +(a2S-a2 +1 ) +… +(anS-an +1 )≥ nn - 1 +n ,即 SS-a1+ SS-a2 +… + SS-an ≥ n2n- 1 ,即…     

利用"Δ≤0"证明一类不等式竞赛题

若一元二次不等式ax2+bx+c≥0且a>0,b2-4ac≤0则b2-4ac≤0,这是众所周之的,由它易得:推广1若(x-k1)2+(x-k2)2+...+(x-kn)2≥0,则(k1+k2+...+kn)2≤n(k1     

构造函数证明一类不等式

本给出了构造函数证明不等式的三种常用方法：1.利用二次函数f(x)=ax2 bx c的性质；2.利用函数的单调性；3.利用函数的凸凹性。