挖掘课本习题潜能例谈

例 1 .求证等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离和等于腰上的高。已知 :△ ABC中 ,AB=AC,P为 BC上任意一点 ,PE⊥ AB,PF⊥ AC,CD⊥ AB。如图 1。求证 :PE PF=CD。证明 :过 P点作 PM⊥ CD,∵ PE⊥ AB,CD⊥ AB,∴四边形 PMDE是矩形 ,∴PE=DM。∵PM⊥ CD,CD⊥AB,∴AB∥PM,∴∠ B=∠ MPC。∵AB=AC,∴∠ B=∠ ACB,∴∠ MPC=∠ ACB。在△ MPC和△ FCP中 ,　∠ PMC=∠ CFP,　∠ MPC=∠ ACB,　 PC=CP,∴△ MPC≌△ FCP,∴PF=CM,∴CD=DM CM=PE PF。反思 1 .此题条件等腰三角形可变为等边三角形。…     

面积法解题更简便

我们先看一道哈尔滨市的中考试题: 如图1,已知在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC.点P为BC边上一点,且PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G.求证:PE PF=BG,有关的参考解答如下:过点P作PH⊥BG,垂足为H,如图2所示. BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG, 易知四边形PHGF是矩形.     

理解“动点”正确解题

研究“点”移动组成变化的线段、图形,是同学们学习中的一个难点,也是中考的一个考点,现通过以下例题的讲解,帮助同学们正确解答有关“动点”方面的问题。一、“动点”求定值例1在直角三角形ABC中,∠C=90°,D是BC上一点,且AD=BD,P是AB上一动点,PE⊥BC,PF⊥AD,垂足为E、F。求证:PE PF为定值。分析:P点在AB上移动,因此PE、PF是变化的线段,而固定不变的线段有AB、AC、BC、CD、AD。只能用固定不变的线段表示PE PF的值,PE PF会等于以上哪一条线段呢?下面我们用“割补法”证明PE PF=AC为定值。证明:过P点作PH⊥AC,垂足…     

巧用模型好解题

问题:如图1,点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别是E,F.求证:AP上EF.解决:简证:如图2,延长FP交AB于点H,延长EP交AD于点G,易得四边形BEPH和PFDG均为正方形,∴PE=PH,PF=PG,∴矩形AHPG≌矩形FCEP,∴绕点P把矩形AHPG顺时针旋转90°,再向下平移     

一个例题的推广与应用

现行立体几何教材(必修本)第29页有这样一个例题:已知:∠BAC在平面α内,点P(?)α,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥α,垂足分别是E、F、O,PE=PF,(如图一),求证:∠BAO=∠CAO。     

立足基本图形 探究内在关联

<正>一、试题呈现(杭州市2020年中考23题)如图1,已知AC、BD为⊙O的两条直径,连结AB,BC,OE⊥AB于点E,点F是半径OC的中点,连结EF.(1)设⊙O的半径为1,若∠BAC=30°,求线段EF的长.(2)连结BF、DF,设OB与EF的交点为P.(1)求证:PE=PF;(2)若DF=EF,求∠BAC的度数.     

巧用矩形的对角线相等解题

<正>矩形的对角线相等是矩形的性质之一,巧妙地利用这个性质,可以使某些问题得到简单而快捷的解决.一、求最值例1如图1,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一个动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连结EF,求线段EF长度的最小值.BPC F E A图1%分析与解连结AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,     

2011年全国初中数学联赛几何证明题证法赏析

题目:如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N.如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.证法1:过N作NQ⊥AC于Q,NH⊥BC于H,过M作ML⊥AB于L,MR⊥BC于R,连NR交PD于G.因为BM平分∠ABC,所以ML=MR.又PF∥ML,PG∥     

一道中考题的多解与引伸

2002年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题: 如图1,在矩形AB=3中,AD=3,AD=4,P是ad上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为( )     

谈立体几何复习

例如图1,在三棱锥P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.     

一道A＋B=C型问题的解法赏析

例如图1,在等腰梯形ABCD中,AD／／BC,AB—CD,P是BC上的一点,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别是E,F,G,     

对三垂线定理及其逆定理的一点认识

【例题】(课本P23)如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上·已知:如图1,∠BAC在平面α内,点Pα,PE⊥AB、PE⊥AC、PO⊥α,垂足分别为E、F、O、PE=PF·求证:∠BAO=∠CAO·分析:文字证明题要求写出已知,求证,并画好图形·∵PE⊥     

2007年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 在锐角△ABC中,AB〈AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点,过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F,O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心．求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心．     

构造基本图形灵活运用性质

如图1,若OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则PD=PE;反之,若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.这就是角平分线的性质定理及其逆定理,图1是定理的基本图形,很多几何题都含有该图的“影子”,因而可以简捷地利用基本图形来解题.例1已知:如图2,BD平分∠ABC,AD=CD,求证:△ABD≌△CBD.分析:直接证明这两个三角形全等缺少条件,由BD平分∠ABC联想到角平分线性质定理的基本图形,过D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则DE=DF:由“HL”易证Rt△DFC≌Rt△…     

等积法的妙用

<正>我们在探索数学世界的道路上,要注重掌握知识技能和方法,正所谓"一法通一片",掌握的方法多了,你的数学探索之路才能越走越宽广!本文介绍一种几何中常用的方法——等积法.例1如图1所示,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,P是AB上一动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,求PE+PF的值.     

面积计算与几何证明

利用面积计算来证明某些几何问题,具有直观、简便、灵活、新颖的特点,兹举例说明如下。一、证明线段相等例1 如图1,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上一点,且BD=CD,P是BC上任一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,求证:PE+PF=AB。 (1986年西安市中考试题)     

一道平面几何赛题的思考

题目如图1,四边形ABCD内接于圆,P是AB的中点,PE⊥AD,PF⊥BC,PG⊥CD,M是线段PG和EF的交点,求证:ME=MF.(2006年江西南昌市高中数学联赛题)     

一道赛题的证法荟萃和变式探究

20 0 3年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题的第 11题 ,结构新颖、证法多样 ,颇有探究开发的价值 .本文将整理它的证法 ,探究它的变式并谈一点自己的看法 ,不妥之处 ,请大家斧正 .1　试题证法荟萃图 1问题　如图 1所示 ,已知 AB是⊙ O的直径 ,BC是⊙ O的切线 ,OC平行于弦 AD,过点 D作 DE⊥ AB于点E,连结 AC,与 DE交于点 P.问 PE与 PD是否相等 ?证明你的结论 .证法 1　探究发现 ,线段 PE与 PD相等 .∵ AB是⊙ O的直径 ,BC是切线 ,∴ AB⊥ BC.由 Rt△AEP∽Rt△ABC,得 EPBC=AEAB.又 AD∥ OC,∴∠DAE=∠COB,于是…     

巧用正方形对角线所在的直线是其对称轴解题

我们都知道正方形是轴对称图形,它的对称轴有两条,本文只研究其中的一条——对角线所在的直线,解题时如果能考虑到这一点,往往能达到事半功倍之奇效.例1如图1,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接PA、EF.求证:PA=EF.简析BD是对称轴,点P在对称轴上,点A、C是对称点,根据轴对称的性质得PA=PC,连接PC,因为PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,所以四边形PECF是矩形,所     

相似在构造直角三角形中的应用

例1 如图1,在梯形ABCD中,AB//CD,＜B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,从点P作PE⊥PA交CD所在直线于点E.设BP=x,CE=y．求y与x的函数关系式．