等式或不等式“恒成立”问题的求解策略

在高中数学中有一类与"恒成立"有关的问题,其一般表现形式为:给出一个等式或不等式,其中有多个(常见的为两个)变量,已知在某一个(些)变量的给定的取值范围内,该等式或不等式总能成立,求另外一个(些)变量的值或取值范围.     

以静制动:用分离参数法确定参数范围

对于含有多个变量的不等式或方程问题大致可以分为两类:(1)已知参数的取值范围,求函数的值域和求不等式或方程的解;(2)求使不等式或方程有解和求不等式或方程恒成立的参数的取值范围.     

反客为主,巧定变量取值范围

我们经常遇到这样的一类问题:系数中含有参数的关于x的一元二次不等式,其参数在某给定的区间上且最高次数为1,求当不等式恒成立时,变量x的取值范围.处理这类问题一种简明而有效的办法是:反客为主,视参数为“主元”,将关于x的“二次”不等式转化为关于参数的“一次”不等式,再利用一次函数的下列性质,直接构建出一个关于变量x的不等式(组),进而求出x的取值范围.     

巧算两次解决多元变量最值问题

函数最值是高中数学的基本概念,也是高考考查的重点。 在每年的高考试题中,求最值、取值范围从不缺席,其中的多元 变量最值问题由于存在两个以上变量,通常我们可以利用等式 消元或整体看待转化为一个变量,也就是单变量问题解决,但 如果所给条件不适合或者不能等式消元,就需要寻找另外一种 转化方式来解决此类问题。可以利用不等式的连续变换,通过 算两次(或多次)逐个消去变量达到求最值的目的。     

解析几何中求解变量范围问题的思路

<正> 求变量的范围是解析几何中的常见题型,也是高考的热点,同时也是学生学习中的难点.解决这类问题的基本方法是先寻找所求变量与其它变量的关系,建立相应的函数、方程或不等式,将问题转化为求函数、方程或不等式中有关变量的取值范围;然后应用函数、方程或不等式方法求出所求变量的取值范围.这类问题综合性强,需通过对实例的剖析、讨论,才能逐步掌握它的处理方法.下面试图通过     

确定不等式（组）中字母取值范围的几种方法

近年来各地中考、竞赛试题中,经常出现已知不等式(组)的解集,确定其中字母的取值范围的问题,下面从三个方面举例说明字母取值范围的确定方法,供同学们学习参考.一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围     

圆锥曲线中如何引入不等式求变量的取值范围

圆锥曲线与不等式交汇题题型主要集中在:以圆锥曲线为依托通过引入不等式求解变量的取值范围.我们通过下面的例题来阐述在圆锥曲线中怎样引入不等式求变量的取值范围.     

浅析参变数问题的求解

如果一个数学问题里含有两个变量,常常要根据其中一个变量的取值范围来确定另一个变量的取值范围,我们常把这种问题叫参变数问题．这种问题一般涉及集合、不等式、函数、导数等知识点,处在知识的交汇处,所以成为历年高考的热点问题,对学生来说难度很大．解决这类问题首先要弄清楚谁是自变量,谁是参变量．一般而言,知道谁的取值范围,谁就是自变量,求谁的取值范围,谁就是参变量,无论题目以何种形式出现,一般都转化为不等式恒成立问题．解决不等式恒成立的问题可以使用以下几种方法求解,下面就通过具体的例子加以说明．     

解析几何与不等式

解析几何问题中,有一类问题与函数和不等式相关。例如求几何变量的取值问题,求某一个几何量的最大或最小值问题就属于这类问题。这类问题的难点集中在:几何性质等价地转化为代数不等式(组)的过程之中。这里,函数的思想方法会起很好的作用。在2000年数学高考试题中,有两道求取值范围的试题。     

怎样解字母系数不等式问题

含字母系数不等式(组)问题是不等式中常见的问题之一,这类问题大多是已知不等式(组)的解集,要求确定字母系数的值或取值范围,解决这类问题的关键是在熟练掌握不等式(组)解法的基础上进行逆向思维,其次注意字母的取值范围是否包括端点的情形?现举例说明其解法.     

解析几何中求解变量范围的几种方法例谈

解析几何中求变量取值范围问题是综合性较强的一类问题,这类问题既是数学教学中的难点,也是高考关注的热点.解决这类问题的基本思路是寻找所求变量与其他变量的关系,从中建立相应的函数、方程或不等式等,将问题转化为求相应函数方程或不等式中有关变量的取值范围.     

例谈隐型线性规划在解题中的应用

<正>通常情况下,我们遇到的线性规划问题,往往是指给出两个变量满足的不等式组,求解相关代数式的最值或取值范围.有时从试题表面看,虽然没有涉及线性规划,但具体分析后会发现试题的求解与线性规划有紧密联系,从而需要灵活运用线性规划知识加以处理.     

一类全称命题与特称命题中的求参数范围问题

对含有多个变量的不等式恒成立求参数取值范围问题大致可分为下面四种类型:(1)对任意x1∈A,存在x2∈B,使不等式F(x1,x2,m)≥0成立,求实数m的取值范围;(2)存在x1∈A,使对任意x2∈B,不等式F(x1,x2,m)≥0恒成立,求实数m的取值范围;(3)存在x1∈A,存在x2∈B,使不等式F(x1,x2,m)≥0成立,求实数m的取值范围;(4)对任意x1∈A,任意x2∈B,不等式F(x1,x2,m)≥0恒成立,求实数m的取值范围.     

恒不等式中参数范围的求法

不等式恒成立时的参数取值范围问题,涉及的变量多,综合性强,对能力的要求较高,是高考的热点之一.本文例说这类问题的解题策略.一、利用一次函数的性质例1 对任意 x∈[1,10]不等式(lgx—1)log_α~2b 6lgx·log_αb lgx 1>0恒成立.求 b 的取值范围.解原不等式化为     

含参不等式的成立问题研究

正含参不等式的成立问题,是给定自变量的取值范围来探求参数的取值范围的一类不等式问题,其解法中往往涉及不等式的恒等变形、函数的单调性和最值,以及对变量或参数的分情况讨论,体现了转化与化归思想、函数思想、分类讨论思想的重要作用,这正是其难点之所在,因此在高考中占有非常重要的地位.通过对近五年高考试题和模拟试题的研究,笔者发现:按变量的逻辑属性,可分为任意性成立问题和存在性成立问题;按变量的个数,可分为单变量问题和双变量问题;而参数大多数情况下只有一个,偶尔也会出现两个.本文通过对几个具体问题的研究,来探索此类问题的一般性求解策略.     

不等式(组)中字母系数的取值范围

已知一元一次不等式(组)的解集,求字母系数的取值范围,这类问题是近年中考试题的新亮点.本文归纳几种常用的解题方法,供同学们参考.一、同向取正法例1如果关于x的不等式(1-a)x>1的解集是x>11-a,则a的取值范围为.析解由题意可知,将(1-a)x的系数“1-a”化为1后,不等号没有改变.根据不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变,可知,1-a>0.即a<1.评注如果化简后的不等式与已知解集的不等号同向,则化简后的不等式系数为正.二、异向取负法例2(2005年广东省初中数学竞赛题)已知关于x的不等式(2009-a)x>3的解集为x<20093-a,则a的取值范围…     

如何由相等关系转化为不等关系

如何揭示题中隐含条件,由相等关系转化为不等关系,从而求得变量的取值范围或变量的最大、最小值,是中学数学教学中的一个重点与难点,本文给出了解决这一类问题的几个方法,并通过举例说明如何运用这些方法解决这类问题,虽挂一漏万,但愿能在平时教学中开发学生智能,提高教学效益而抛砖引玉。从中学数学的内容和要求看,揭示题中隐含条件,由等式转化成不等式的方法最常用的有如下五种: 1.直接揭示法(解出题中某一变量,由此变量的取值范围将等式转化为不等式)。 2.利用正、余弦函数的性质。 3.判别式法。     

含参不等式问题的求解策略

<正>含有参数的不等式问题在高考中频繁出现,它有机地融合函数、数列、不等式、三角、几何等内容,覆盖知识点多,解法灵活多样.本文阐述这类问题中参数范围的几种求解策略,供参考.一、分离参数分离参数法是将不等式中的参数a与变量x分离出来,得到a>f(x)或a相似文献   

巧借临界值确定字母系数的取值范围

<正>根据条件求字母系数的取值范围,历来是高考中的热点题型.此类问题在求解过程中,常常会得到较烦琐的不等式(组),带来不少麻烦.若不等关系有几何意义时,则可避免解较烦琐的不等式,此时可借助图象,先由临界位置关系确定字母系数的临界值,再通过字母系数具有的几何意义及图象的相应变换,就可轻松地得到其取值范围.常见的有下列三种变换图象的策略.     

特值法在不等式恒成立问题中的应用

<正>由不等式恒成立求参数的取值范围问题是导数部分常见的题型,也是高考中的热点问题.对于问题：关于x的不等式f(x)≥0(x∈D,参数a∈P)恒成立,求a的取值范围.有时可以在集合D中取一个特殊的值x0,将其代入不等式得f(x₀)≥0,由此解得a的取值范围为集合A.显然当a∈?PA时, f(x₀)<0,不符题意,因此,如果能够证明当a∈A时不等式f(x)≥0恒成立,那么集合A就是所求的a取值范围,我们称这种解题方法为“特值法”.