不等式的证明技巧——妙用“1”构造平均值不等式

不等式是高中数学的重要内容之一,利用平均值不等式证明不等式是重中之重,综观近几年全国及各省市的高考试题与竞赛试题,笔者发现平均值不等式中与“1”有关的证明题目出现的频率较高,为此,笔者就平均值不等式证明中“1”的妙用进行初步的探讨,主要有以下几种。     

谈谈如何“用活”平均值不等式

平均值不等式是“不等式”一章的重要公式，它是证明不等式的有力工具，而要学好平均值不等式显然应重在“用活”。     

浅谈不等式证明中的几个常用技巧

不等式的征明，是不等式理论应用的重点，它题型广泛，证法各异，技巧灵活。对于较复杂的不等式，有时单单使用不等式的性质是不够的，常常需交替使用各种方法技巧。本文拟通过几个例题对不等式证明中儿种常用技巧加以介绍。     

不等式证明的常用技巧

证明不等式的方法很多,技巧性强。纵观不等式的证明,证明的技巧又有一定的规律性,下面作简要归纳。一对两个数、两个量、两个式的值的大小关系的"确定",宜选用比较法、分析法、综合法这三种基本方法     

不等式证明的常用方法与技巧

结合知识的横向应用,本文综合了实现不等式证明的常用方法与若干技巧,并通过大量实例加以说明.     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

初等数学中的平均值不等式

主要讨论调合平均值、几何平均值、算术平均值、平方根平均值、调合平方根平均值的意义、证明及平均值不等式的意义、证明和推广,使读者对平均值及不等关系有一个全面的理解和认识.     

不等式的证明

本文给出不等式证明的三种方法,一是利用拉格朗日中值定理,二是利用函数的增减性,三是利用函数的凸凹性。     

矩阵秩的不等式的证明

将分块矩阵与初等变换结合证明出了有关矩阵秩的一些不等式,与其它方法相比,这种方法较为简单,并举例说明了这种方法的简洁性.     

用导数证明不等式

利用高等数学典型题精解中的一个例题的推广来证明几个常见不等式,通过这一方法,可以比较简洁、快速地解决一些不等式的证明问题,而且能充分体现数学美的原则.     

一个猜想不等式的证明

本文用多元函数微分法证明了不等式 ∑ xx +ty+z/2 ≤ 3t +32(0≤t≤ 98) (1 )并给出了 (1 )的几个等价不等式。     

Jordan不等式的又一证明

该文利用函数的一致连续性及单调性,给出Jordan不等式的又一证明,丰富了已有的一些结果,同时给出它的应用.     

导数在不等式证明中的应用

本文探讨了利用拉格朗日中值定理、函数的单调性、极值、凹凸性进行不等式证明的具体方法,给出了各种方法的适用范围.结合实际例题总结了综合应用各种方法进行证明的基本思路.     

组合恒等式的证明技巧

利用多种方法，巧妙证明了一些有用的组合恒等式．通过证明，展现了数学的优美特性，探究了数学分析方法的广泛应用．     

三角形三边非齐次不等式的证明

巧用"三角形两边之和大于第三边",不难发现如下一个漂亮的条件不等式:     

一个不等式的简洁证明

近日,笔者拜读了《中等数学》2011年第3期单蹲老师的《一个函数的最小值》一文,受益匪浅．但发现文[1]中对当0≤a、b、c≤1时,a/1＋b＋c＋b/1＋ca＋c/1＋a＋b＋（1-a）（1-b）（1-c）≥7/8 ①的证明甚长。本文给出一个简洁的证明。事实上,     

Walther Janous-Shandun不等式的又一个证明

将Walther Janous—Shandun不等式转化为了条件不等式，利用Lagrange乘数法得到了一个较简捷的证明．