如何处理解析几何问题中的判别式

在解析几何中 ,解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题时常常碰到判别式 .怎样处理判别式才能使运算简便 ?是否一定要解不等式Δ >0 ?这是一个值得注意的问题 .本文结合高考试题介绍对判别式的处理方法 ,供学习中参考 .一、验而不解例 1　 ( 1981年高考题 )给定双曲线x2 -y22 =1.过点B( 1,1)能否作直线m ,使m与所给双曲线交于两点Q1 及Q2 ,且点B是线段Q1 Q2 的中点 ?这样的直线m如果存在 ,求出它的方程 ;如果不存在 ,说明理由 .解　根据题意可设直线m的方程为y=k(x -1) +1,代入双曲线方程 2x2 -y2 =2 ,整理得( 2 -k2 )x2 +( 2k2 -2k)x -k…     

直线与圆锥曲线的位置关系例解

直线和圆锥曲线位置关系中的综合问题能有效地考查同学们的思维品质和创新能力,因此成为高考解析几何问题重点考查的热点内容,既常考不衰,又创新不断.1代点作差通性通法例1过M(1,1)的直线交双曲线x42-y22=1于A、B2点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程.解法1显然直线AB不垂直于x轴,设其斜率为k,则其方程为y-1=k(x-1).由x24-y22=1,y-1=k(x-1)消去y得(1-2k2)x2-4k(1-k)x-2k2 4k-6=0.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的2个根,又由于M为弦AB的中点,所以x12 x2=2k(1-k)1-2k2=1,所以k=21.经检验,当k=21时方程①的判别式大于零,所以直线…     

探究圆锥曲线的中点弦的解法

在解析几何中“求以圆锥曲线中的定点为中点的弦的方程”是直线与圆锥曲线位置关系中重要考点之一,高考中也多次出现.题目:设A、B两点是双曲线C:2x2-y2=2上两点,点N(1,2)是线段AB中点,求直线AB方程.解法1(巧用韦达定理,整体替换):要求过定点N(1,2)的直线AB的方程,关键是求斜率k.设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由中点公式知:x1+x2=2,y1+y2=4,再利用韦达定理整体替换构造关于k的方程,求k的值.设直线AB方程为:y=k(x-1)+2,代入双曲线C的方程整理得:(2-k2)x2+2k(k-2)x-k2+4k-6=0.当2-k2≠0时,则Δ=4k2(k-2)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)>0,解得k<23且k≠…     

直线与圆锥曲线位置关系常见题型

一、直线与圆锥曲线位置关系问题这种问题实际上是讨论直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组是否有实解的问题.通过消元最终归结为讨论一元二次方程ax2+bx+c=0的解的个数问题.要注意a≠0与a=0两种情形,同时要特别重视判别式的作用.例1直线y=kx-1与抛物线(y+1)2=4(x-2)只有一个公共点,则k的值为.解(1)若k=0,y=-1,显然直线与(y+1)2=4(x-2)只有一个公共点.(2)若k≠0,由y=kx-1,(y+1)2=4(x-2),得k2x2-4x+8=0.∴驻=16-4k2×8=0,即k=±姨22.故k的值可能为0,-姨22,姨22.二、弦长问题若直线l与圆锥曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由AB=(x2-x1)2+(y2-…     

对直线与有心圆锥曲线位置关系判定的探究

在高中解析几何的学习中,我们知道判断直线与有心圆锥曲线位置关系的方法是判别式法(代数法),即把直线方程与有心圆锥曲线的方程联立,消去y(或x),得到一个关于x(或y)的一元二次方程,再计算判别式Δ.这样做会遇到一个运算复杂的问题,能否加以改进,使判定方法变得简单呢?我们先来重温判定直线l:Ax+By+C=0(B≠0)与椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)位置关系的判别式法.     

圆锥曲线中点弦问题的解题策略

直线和圆锥曲线的位置关系中,涉及弦的问题特别多,其中以弦的中点问题最为丰富多彩.中点弦问题是中学数学的一类重要问题,解决圆锥曲线的中点弦问题,有以下几种策略.1“设而不求”的策略例1已知P(1,1)为椭圆22194x+y=内一定点,过点P的弦AB被点P平分,求弦AB所在直线的方程.分析常规思路设直线AB的斜率为k由方程组求A、B的坐标,由AB的中点坐标建立k的方程求k,但注意到弦的中点坐标公式x=12(x1+x2),y=12(y1+y2),故可用韦达定理,绕过求交点的步骤.设所求直线的方程y=k(x?1)+1,并过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由方程组:22(1)1,1,94y k xx y????…     

小技巧 大作用

<正>在研究直线与圆锥曲线位置关系时,过定点的直线系通常设成y-y1=k(x- x1)或y=kx+b,这里k为斜率．因为这种形式的直线系方程不能包括与x轴垂直(即斜率不存在)的直线,所以在一般情况下,要先讨论斜率不存在时直线与圆锥曲线的关系,然后再计算斜率存在时的情况．     

圆锥曲线中的对称问题

<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y²=x与直线l:     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

两种直线方程的特征及应用比较

<正>一、直线方程x=my+n的特征(1)过x轴上一点(n,0);(2)若直线的斜率为k(k≠0),则k=1/m(m≠0);若直线的倾斜角为α(α≠0),则m=1/tanα;若m=0,直线方程为x=n,此时直线的斜率不存在;(3)应用范围:能表示与x轴垂直的直线(即斜率不存在),不能表示与x轴平行的直线(即斜率为0).二、直线方程y=k(x-x_0)+y_0的特征     

妙用过坐标原点的两条直线统一方程解题例说

二元二次齐方程Ax2 Bxy Cy2=0,当B2-4AC＞0时所表示的曲线是过坐标原点的两条直线.此统一方程在求解直线与圆锥曲线的有关问题时有着巧妙的用途,其思想方法如下:若把圆锥曲线的弦所在直线方程ax by=1代入圆锥曲线方程,将其转化为关于x、y的二次齐次方程Ax2 Bxy Cy2=0,再化成C(y/x)2 B(y/x) A=0的形式,则弦的两个端点A(x1,y1)、B(x2,y2)与原点的两条连线的斜率k1=y1/x1,k2=y2/x2为其两根,从而利用韦达定理可使相关问题获解.下面举例加以说明.     

再议“点差法”

在解答平面解析几何中直线与圆锥曲线位置关系时,若设直线F（x,y）=0与圆锥曲线G（x,y）=0的交点A、B（弦的端点）坐标为（x1,y1）、（x2,y2）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为＂点差法＂.     

首先要想圆锥曲线定义(高二)

圆锥曲线定义是推导圆锥曲线方程的依据,也足解题的方法.面对一个解析几何题首先要想:“可否用圆锥曲线定义?”由此,往往町以发现快捷的通道.例1 点M与点F(0,5)的距离比它到直线y+6=0的距离小1,求点M的轨迹方程.解由题意知,点M到点F(0,5)的距离与它到直线y+5=0的距离相等,故点M的轨迹为抛物线,焦点为(0,5),准线为直线y+5=0,其方程为x2=20y.     

引入参数解二次曲线疑难问题

直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的一个重点内容,也是命题的热点,对于涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题,通过引入参数、利用多数方程把动点坐标(x、y)转化成参数t(或角)的解析式,可将问题化难为易,获得简捷解法     

与圆锥曲线“准点”相关的又几个性质

文[1]给出圆锥曲线“准点弦”的几个性质,文[2]给出了圆锥曲线“准点”的又几个性质.本文对此作进一步的探究,给出与圆锥曲线“准点”相关的又几个性质.定理1F是横向型圆锥曲线的焦点,E是与焦点F相应的准线和对称轴的交点,经过E且斜率为k的直线交圆锥曲线于A、B两点,e是圆锥曲线的离心率,若记F与A、B连线的斜率分别为k1,k2,则有分别k1+k2=0,且k1k2=(1?e2k?2)?1(其中k相似文献   

直线寻根：由2点确定直线说起

直线是数学家最早研究的几何图形之一,但直到17世纪前半叶,由于法国数学家笛卡儿和费马的解析几何学的创立,其性质才为人们逐渐认识,这些性质往往隐藏在直线的方程中,由其位置特征数来反映.根源———直线的位置特征数及与其方程的关系揭示直线本质属性的公理是:经过2个不同点的直线有且仅有1条.由此可知,在平面直角坐标系中,表示直线位置的特征数是直线上的点坐标(特殊坐标是横、纵截距)和直线的倾斜角、斜率、方向向量、法向量.它们的关系是:若点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则当x1≠x2时,直线P1P2的倾斜角为α、斜率k=tanα=yx11--yx22,α∈0…     

达“套路”遭遇“卡壳”的破解策略——以一道椭圆求斜率比值为定值问题为例

<正>在解析几何解题教学中,直线与圆锥曲线联立时,韦达定理套路策略高频出现,但也常常遭遇“卡壳”.通过剖析一道圆锥曲线综合试题“套路卡壳”原因,以探索为契机,达到解决这类问题的“新套路”目的.高三模拟试题中出现一道看似常规的解析几何综合试题,题目设直线方程为x=ty+1时,发现部分学生不能套用韦达定理而“卡壳”;有学生提出如设直线方程为y=k(x-1)时,是否可以避免出现非对称韦达,认为是题目设置直线方程有“诱导”之嫌,但动手去做时,却再次被“卡壳”,说明出题者在两条道路上都设置“关卡”,     

一类直线与圆锥曲线相交问题的解法

直线与圆锥曲线的位置关系问题涉及到解析几何主要研究对象 ,所用到的知识点较多 ,综合性强 .这里介绍的是一类直线与圆锥曲线相交问题的处理方法 .例 1　已知椭圆Ｃ中心在坐标原点 ,与双曲线ｘ2 -3ｙ2 =1有相同的焦点 ,直线ｙ =ｘ+1与椭圆Ｃ相交于Ｐ、Ｑ两点 ,且ＯＰ⊥ＯＱ ,求椭圆Ｃ的方程 .分析　本题是有关直线与椭圆的交点问题 ,一般方法是将直线方程代入到椭圆方程 ,消元得ｘ(或ｙ)的一元二次方程 ,利用韦达定理和已知条件 (本题是ＯＰ ⊥ＯＱ) ,结合椭圆Ｃ与双曲线的焦点之间的关系求出椭圆方程 ,这是解决有关直线与圆锥曲线相交问题…     

用代换法求轴对称

求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m)     

跳出两直线位置关系解题中的陷阱

与两直线位置关系有关的试题在高考中一般以选择题的形式出现,难度中等,但有一些陷阱,稍不留意,就会陷入.一、忽视概念例1已知直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0平行,则m的值为()A.3或-1B.-1C.3D.-3或1错解由已知得l1∥l2,m≠0,m-2≠0,且-m1=-m3-2,解得m=3或m=-1.选A.剖析两直线平行指的是两条不重合的直线平行,要跳出陷阱,可在解题后进行验证.当m=-1时,两条直线是重合的,故舍去.应选C.二、忽视斜率不存在例2经过点(1,0)且与直线y=-x+3成45°角的直线方程是()A.y=0B.x=0C.x=1D.y=0或x=1错解设所求方程为y=k(x-1),由1k+k-·(-(1-1))=ta…