一道不够严谨的题解与立体图

一些书刊上有这样的一道题与其解法: 过二面角a—l—β内一点P分别作PA⊥平面a、PB⊥平面β,点A、B为垂足,已知∠APB=60°,PA=a,PB=b,求点P到二面角的棱l的距离。 [解]:如图.过PA、PB作平面γ,设它与二面角的棱l交于Q,连结AQ、BQ和PQ。     

怎样求二面角的大小?

立体几何中求二面角的大小问题是重点和难点内容 ,同学们往往因找不到二面角的平面角或有效避开找二面角的平面角而苦恼 .下面结合典型例题介绍几种常用的解题方法和技巧 .一、定义法依据二面角的平面角的定义 ,只要找到二面角的棱的垂面便可获得二面角的平面角 .图 1例 1　如图 1,二面角α - l-β内一点 P,PA⊥α于 A ,PB⊥β于 B,∠ APB =6 0°,求二面角α - l -β的大小 .解 :设 PA与 PB所确定的平面为γ,设γ∩ l =O,连结 AO,BO,设γ∩α=AO,γ∩β =BO.∵ PA⊥α,l α,∴ PA⊥l;同理 :PB⊥ l,∴ l⊥γ.∵γ∩α =AO,γ∩…     

以三面角为基本结构解题

空间几何体的基本结构是三面角,对于三面角,我们有: 定理:在三面角P-ABC中,若以PB为棱的二面角是直二面角;记∠APB=θ_1,∠BPC=θ_2,∠APC=θ,以PA、PC为棱的二面角分别PA、PC, 则:     

张角公式在竞赛中的应用

一、张角公式 如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α＋β〈180°,那么 A、B、C三点在一直线上的充要条件是sin（α＋β）/PC=sinα/PB＋sinβ/PA.     

2007年全国高中数学联赛试题解答集锦

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.在正四棱锥 P-ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为( ).A.1/7 B.-1/7 C.1/2 D.-1/2基本解法:如图1,过点 A作 AM⊥PB,垂足为点 M,由对称性知,∠AMC 为二面角A-PB-C 的平面角.不妨设 AB=2,则由∠APB=60°,得 PA=AC     

数列求和的几种常用方法

二面角大小是通过二面角的平面角的大小来反映的,在求解二面角的平面角的大小时,要充分运用线与线、线与面、面与面之间的关系,因而它具有综合性强、灵活性大的特点,那么怎样求二面角的平面角呢?笔者给大家介绍5种常见方法.1定义法定义法———即在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,然后在2个半平面内分别作棱的垂线OA、OB,则射线OA、OB所成的角即为所求二面角α-l-β的平面角.例1已知三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,求二面角A-PB-C的余弦值.图1解如图1,在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平面PBA和PBC内分别作QM⊥PB,QN…     

用三弦定理解竞赛题

由笔者提出并命名的三弦定理是:如图1,已知PA、PB、PC 是⊙O 的三条弦,记∠APB=α,∠PBC=β,则 PB·sin(α β)=PC·sinα PA·sinβ.证明:设⊙O 的半径为 R,连结 AB、BC、AC,则 AC=2R·sin(α β),AB=2R·sinα,BC=2R·sinβ.由托勒密定理,得 PB·AC=PC·AB PA·BC.将上面三个等式代入此式,得PB·sin(α β)=PC·sinα PA·sinβ.     

张角定理(高一、高二、高三)

1.定理 如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是 证明 必要性:若A、B、C三点共线,则 S△PAB=S△PAC S△PCB,因此两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式.     

对一道常见题的剖析

题目:从二面角P—MN—Q内点A,分别作AB⊥平面P,AC⊥平面Q(B、C为垂足)知AB=3cm,AC=1cm,∠BAC=60°,求:(1)二面角P—MN-Q的度数;(2)A到棱MN的距离.     

张角公式帮你解几何题

平面几何中有一个与面积关系有关的张角公式,一般不引人注目。但在教学时,却发现张角公式能帮助解决许多几何题,有的还是典型的难题。现分两方面介绍如下,供初中数学教师教学时参考。一、张角公式已知由点P发出的三射线PA、PB、PC;且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是: sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:若A、B、C三点共线, 则△PAB=△PAC △PCB 故 1/2PA·PBsin(α β)=1/2PA·sinα 1/2PB·PCsinβ两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式。反之,若命题中等式成立,则反推可得: △PAB=△PAC △PCB。这说明△ABC=|△PAB-△PAC-△PCB|=0,所以A、B、C三点共线。     

探索用辅助圆解竞赛题

例1 如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,则AD·DC等于（ ）     

2004年全国高考数学(理)20题别解

原题　如图 1 ,已知四棱锥P -ABCD ,PB ⊥AD ,侧面PAD为边长为2的正三角形 ,底面ABCD是菱形 ,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为 1 2 0°.(Ⅰ )求点P到平面ABCD的距离 ;(Ⅱ )求面APB与面CPB所成的二面角的大小 .解　 (Ⅰ )取AD的中点E ,连结BE、PE .因为△PAD是正三角形 ,所以PE⊥AD ,又PB⊥AD ,所以AD⊥平面PBE ,所以BE⊥AD ,∠PEB是二面角P-AD-B的平面角 ,∠PEB=1 2 0再由AD ⊥平面PBE知面PBE ⊥面ABCD于BE .过P作PO ⊥BE交BE的延长线于O ,则PO ⊥平面ABCD ,PO的长度 ,为P到平面ABCD的距离 .在…     

谈二面角平面角的作法

一、根据定义作二面角的平面角例1如图,空间三条直线PA,PB,PC∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,求二面角B-PA-C的大小.     

两个重要公式的推导及应用

正1、如图:已知二面角α-MN-β,A∈MN,AB(?)α,AC(?)β,设∠BAN=θ_1,∠CAN=θ_2,二面角α-MN-β的大小为θ_3,∠BAC=θ,那么cosθ=cosθ_1cosθ_2+sinθ_1sinθ_2cosθ_3证明:如图(一)1°、当θ_1、θ_2均为锐角时,在AB上取一点E(异于点A),在平面α内作EG⊥MN,垂足为G,在平面β内作GF⊥MN     

一道立几试题的解法赏析及变式拓展

<正>一、试题呈现题目如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2BC=2CD=2,P为四边形ABCD所在平面外一动点,且PA=PB,∠APB=90°,设M为PD的中点,则CM的值为____．     

作二面角的平面角常见技巧

求二面角的大小是历届高考的重点内容之一,其关键是要作出二面角的平面角,这恰好是不少同学感到头疼的问题.下面介绍几种作二面角的平面角的常用技巧.1抓住共底的等腰三角形作平面角如果2个共底边的等腰三角形ABC和DBC分别在二面角αlβ的2个半平面上,则可作出BC边的中点E,连结AE、DE,根据等腰三角形的性质可知,∠AED为二面角αlβ的平面角.例1如右图所示,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(1)证明:C1C⊥BD;(2)假定CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角αBDβ的平面…     

一个命题的证明及其应用

命题:如图,设三面角S—ABC中,∠ASB=α,∠BSC=β,∠CSA=γ,二面角A—SC—B为θ,则 COSα=COSβcosγ SinβSinγcosθ(Ⅰ)。 证明:如图,不妨设∠ACB为二面角A—SC—B的平面角,SA=a,SB=b,SC=c.由余弦定理得:     

错在哪里

一、天津市渤海石油公司一中刘元昌、四川安岳中学陈章伦、浙江临海市涌泉中学洪昌强来稿题:如图一,α-EF-β是120°的二面角,从其内一点P,分别向两平面作垂线PA、PB,若PA=3,PB=1,求P点到棱EF的距离。     

空间几何试题精选

1.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面ABCD,且PA=a,底面ABCD是边长为b的菱形,∠ABC=60°。(1)求证:平面PBD丄平面PAC;(2)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角O-PM-D的正切值是2√6,求a:b的值。     

二面角的一题多解

例题△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=2,点P是平面ABC外一点,PA⊥平面ABC,PA=AC,求二面角B—PC—A的平面角的一个三角函数值.