用非三角变换解三角题的若干策略

运用三角变换固然是解三角题的基本方法 ,但由于三角中的诱导公式较多 ,因此就形成了丰富多彩的变换技巧 .本文试图通过挖掘知识间的横向联系 ,针对题目的特点 ,另辟蹊径 ,实施非三角变换 .这对于发展智力、活跃思维、提高能力大有裨益 .1 代数化策略将三角函数用字母代换 ,转化成代数问题求解 .例 1　已知ｓｉｎα-ｃｏｓα =12 ,求ｓｉｎ4α ｃｏｓ4α-ｓｉｎ2 αｃｏｓ2 α的值 .解 :设ｓｉｎα =ａ ,ｃｏｓα=ｂ ,则ａ2 ｂ2 =1ａ-ｂ=12,从而解得 ,ａｂ=38.∴ｓｉｎ4α ｃｏｓ4α -ｓｉｎ2 αｃｏｓ2 α =(ａ2 ｂ2 ) 2-3ａ2 ｂ2 =1 -…     

构造等式利用三角代换证不等式

在不等式证明中 ,一些不等式表面上看并未显露出三角化的可能 ,如果我们深入挖掘其隐含条件 ,构造等式 ,引进三角代换 ,利用三角知识常能使问题简捷获解例 1　已知ａ >ｂ >0 ,求证 :3 ａ - 3 ｂ <3 ａ -ｂ .证明　∵ａ >ｂ >0 ,∴ (ａ -ｂ) ｂ =ａ ,于是可设 ａ -ｂ =ａｃｏｓ2 αｂ =ａｓｉｎ2 α 　 0 <α <π2 .因此原不等式等价于 1- 3 ｓｉｎ2 α <3 ｃｏｓ2 α ,即 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >1.∵　 0 <α <π2 ,∴ 0 <ｓｉｎ2 α ,ｃｏｓ2 α <1,于是有　 3 ｓｉｎ2 α 3 ｃｏｓ2 α >ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1.故　原不等式…     

2002高考(天津)试题别解

题目　已知ｃｏｓ(α π4) =35,2π ≤α <32 π　求ｃｏｓ(2α π4)解法 1　由ｃｏｓ(α π4) =35,可得　ｃｏｓα -ｓｉｎα =3 25… (1)再由ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1,得 :2ｃｏｓ2 α -625ｃｏｓα -72 5=0 ,解得ｃｏｓα =-210 或7210 ,又 π2 ≤α <32 π ,所以ｃｏｓα=-210 ,ｓｉｎα=-7210 ,所以ｃｏｓ2α=ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α=-2 42 5,ｓｉｎ2α =72 5所以ｃｏｓ(2α π4) =22 (ｃｏｓ2α -ｓｉｎ2α)=-3 1250 .解法 2　易知ｃｏｓα=-210 ,记ｘ =ｃｏｓ(2α π4)所以ｃｏｓ π4 ｃｏｓ(α π4) ｃｏｓ(2α π4) =[ｃ…     

三角求值应注意对“角”的挖掘

已知某些条件求三角函数的值或对应角是三角习题中常见题型 .这类习题难度不大 ,但学生在处理此类习题时常出现漏解、增解现象 .究其原因 ,是对题设中隐含着的角的范围挖掘不够所致 .本文结合具体例子谈谈这类习题中应注意挖掘的几个方面 .1.注意轴线角的挖掘轴线角是指角的终边落在坐标轴 (ｘ轴或ｙ轴 )上的角 ,这些角的三角函数值为特殊值或不存在 .解题时应注意挖掘 .例 1　已知ｓｉｎα =2ｓｉｎβ ,ｔｇα =3ｔｇβ,求ｃｏｓα .误解 :∵ｃｏｓα =ｓｉｎαｔｇα=2ｓｉｎβ3ｔｇβ=23 ｃｏｓβ ,∴ｃｏｓβ =32 ｃｏｓα .又ｓｉｎβ …     

注意变量的取值范围

题目　已知 3ｓｉｎ2 α +2ｓｉｎ2 β =2ｓｉｎα,求ｓｉｎ2 α +ｓｉｎ2 β的取值范围 .错解　∵ 3ｓｉｎ2 α+2ｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα,∴ｓｉｎ2 α+ｓｉｎ2 β　 =ｓｉｎ2 α +12 ( 2ｓｉｎα -3ｓｉｎ2 α)　 =-12 ｓｉｎ2 α+ｓｉｎα　 =-12 (ｓｉｎα-1 ) 2 +12 .∵ｓｉｎα∈ [-1 ,1 ],∴ｓｉｎ2 α +ｓｉｎ2 β∈ -32 ,12 .剖析　在上述求解过程中 ,已注意到ｓｉｎα取值范围 :-1 ≤ｓｉｎα≤ 1 ,但是还没有注意到题设条件对ｓｉｎα的取值限制 .事实上 ,由 3ｓｉｎ2 α+2ｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα ,得ｓｉｎ2 β=12 ( 2ｓｉｎα-3ｓ…     

选用合适的三角函数

在三角函数这一章的学习过程中常遇到已知三角函数值求角度这方面问题 ,此类问题怎样求解较好呢 ?请看下面几例 :例 1　已知α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,求证 :α +β=π4.分析　∵α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,∴ｃｏｓα =1 -ｓｉｎ2 α=1 -15=2 55.　ｃｏｓβ=1 -ｓｉｎ2 β=1 -11 0 =3 1 01 0 .∴ｓｉｎ(α +β) =ｓｉｎαｃｏｓβ+ｃｏｓαｓｉｎβ=55×3 1 01 0 +2 55× 1 01 0 =22 .∴　　　　α+β =π4.这种解法有没有错误呢 ?如果有 ,错误又在什么地方呢 ?∵ 0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,∴ …     

巧变角 速求值

在三角函数的条件求值问题中 ,常需要运用整体观念 ,巧变角 ,沟通条件式和欲求式之间的关系 .现举两例说明 .例 1　已知ｃｏｓα-π3 =1 51 7.,-π2 <α<0 ,求ｃｏｓα的值 .分析　若将条件式ｃｏｓα-π3 直接展开求ｃｏｓα ,虽然思路清晰 ,但无疑有一定的计算量 .若将α-π3 看作整体 ,则ｃｏｓα =ｃｏｓα -π3 +π3=12 ｃｏｓα-π3 -32 ｓｉｎα-π3=1 53 4-32 ｓｉｎα -π3 ,∵ -π2 <α<0 ,∴ -5π6<α -π3 <-π3 ,∴ｓｉｎα -π3 =-81 7,∴ｃｏｓα=1 5+833 4.注　本题通过角的变换α=α-π3 +π3 ,只需求出ｓｉｎα -π3 的值…     

三倍角公式的衍生公式与运用

由正、余弦的三倍角公式ｓｉｎ3θ =3ｓｉｎθ- 4ｓｉｎ3 θ ,ｃｏｓ3θ=4ｃｏｓ3 θ- 3ｃｏｓθ ,可得衍生公式 1ｓｉｎ3 α =14(3ｓｉｎα -ｓｉｎ3α) ,ｃｏｓ3 α =14(3ｃｏｓα +ｃｏｓ3α) .衍生公式 1的优点是 :对正弦、余弦的三次乘方形式可直接降幕 .例 1　 (1994年全国高考题 )求函数ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ(ｓｉｎ3ｘｓｉｎ3 ｘ+ｃｏｓ3ｘｃｏｓ3 ｘ) +ｓｉｎ2ｘ的最小值 .解　由公式 1,原函数变为ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ[ｓｉｎ3ｘ· 14(3ｓｉｎｘ-ｓｉｎ3ｘ)　 +ｃｏｓ3ｘ· 14(ｃｏｓ3ｘ+ 3ｃｏｓｘ) ]+ｓｉｎ2ｘ=1ｃｏｓ2 2ｘ(34ｓｉｎｘｓ…     

三角函数恒等式新发现及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β-γ) ｃｏｓ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =0 . ( 1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β -γ) ｓｉｎ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ-α) ｓｉｎ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α- β) =0 ( 2 )　　证明　沿用文〔1〕、〔2〕的方法 ,构造二元一次方程组ｘｃｏｓ2 α ｙｃｏｓ2 β =ｃｏｓ2 γ , (ａ)ｘｓｉｎ2 α ｙｓｉｎ2 β =ｓｉｎ2 γ . (ｂ)由 (ａ)、(ｂ)两式可得ｘｓｉｎ( β α)ｓ…     

运用整体思想处理三角问题

一、整体代入　解某些涉及若干个量的求值题时要有目标意识 ,将题中一些已知式子视作一个整体代入运算 ,可以避免非必求的量参与运算所带来的困难或麻烦 .例 1　已知ｔａｎαｃｏｔβ =5,求ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β)的值 .解 :∵　ｔａｎαｃｏｔβ =5,∴　ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β) =ｓｉｎ(α+ β)ｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎαｃｏｓβ +ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎαｃｏｓβ -ｃｏｓαｓｉｎβ=ｔａｎαｃｏｔβ + 1ｔａｎαｃｏｔβ - 1=32 .二、整体变形　对于某些问题 ,只是静止地观察整体 ,或许仍然不能取得满意的效果 ,若作整…     

数学问答

58 .问 :已知ｓｅｃα -ｔａｎα =5,求ｓｉｎα. (河南西平县高中一 ( 6 )班　颜　寅 )答 :ｓｅｃα-ｔａｎα=5=5·1=5(ｓｅｃ2 α -ｔａｎ2 α) =5(ｓｅｃα +ｔａｎα) (ｓｅｃα -ｔａｎα) .故ｓｅｃα +ｔａｎα =15.与已知式联立 ,则ｓｅｃα=135,ｔａｎα=- 125.ｓｉｎα =ｔａｎαｃｏｓα =- 1213.(解答　赵振华 )59.问 :若ａ、ｂ、ｃ均是不等于 0的常数 ,求函数ｙ =(ｘ +ａ) 2 +(ｘ +ｂ) 2 +(ｘ +ｃ) 2 的最值 . (浙江天台县平桥中学高三九班　许海燕 )答 :将原函数化为 ｙ =3ｘ2 +2 (ａ +ｂ +ｃ)ｘ +(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) .因 3>0 …     

一道最值问题的多维思考

最值问题是高中数学的重要内容之一 ,也是高考的热点 .本文通过对一道简单的最值问题的多维思考 ,来说明这类最值问题的一些常用求解方法 .题　已知 :ａ +ｂ=1 ,且ａ>0 ,ｂ >0 ,求1ａ +1ｂ 的最小值 .思路 1　由已知ａ+ｂ=1 ,联想到ｓｉｎ2 α+ｃｏｓ2 α =1 ,用三角代换方法求解 .解法 1　设ａ =ｓｉｎ2 α,ｂ =ｃｏｓ2 α 0 <α<π2 ,则1ａ +1ｂ =ｓｅｃ2 α+ｃｓｃ2 α=2 +ｔａｎ2 α+ｃｏｔ2 α≥ 4,当且仅当α=π4,即ａ=ｂ =12 时 ,取得最小值 4.思路 2　由ａ+ｂ =1 ,有 1ａ+1ｂ =1ａｂ,联想到ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,可用基本不等式求解 .解…     

类比联想图化三角问题

类比是依据两个事物所具有的相似性 ,推测它们在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式 ,它虽不一定可靠 ,但却是提出新问题 ,获得新发现的一种重要方法 .本文运用同构类比 ,将三角问题化归为有关图形———几何问题来解决 .1　化归为单位圆由于ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1,所以常常可以把点Ｐ(ｓｉｎα ,ｃｏｓα)或Ｐ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)看成是单位圆上的点 ,通过对单位圆的研究 ,解决三角函数的有关问题 .例 1　已知ｓｉｎＡ ｓｉｎ3Ａ ｓｉｎ5Ａ =ａ ,ｃｏｓＡ ｃｏｓ3Ａ ｃｏｓ5Ａ =ｂ ,求证 :当ｂ≠ 0时 ,ｔｇ3Ａ =ａ/…     

三角求值应注意角的范围

在解决三角求值问题中 ,学生往往出现错解、漏解、增解甚至无从下手 ,原因是对题设条件理解不够深刻 ,不善于分析题设条件与结论中的角的相互关系 ,特别是对角的范围不注意 .本文通过例题说明上述问题 .一、注意考察轴线角这里所说的轴线角是指角的终边落在坐标轴 (ｘ轴或ｙ轴 )上的角 ,这些角的三角函数值为特殊值或不存在 ,解题时要小心 ,避免漏解、增解 .例 1　已知ｃｏｓα =3ｃｏｓ β ,ｃｏｔα =4ｃｏｔβ ,求ｓｉｎα .分析　题中涉及两个角α、β ,但求ｓｉｎα ,故可利用ｓｉｎ2 β+ｃｏｓ2 β=1消去 β角 .由题设条件 ,得ｓｉｎ…     

一道三角习题的解法启示

在三角函数这一章里 ,由于公式多 ,解题方法比较灵活 ,但有时若解法选择不当 ,不仅解起来十分麻烦 ,而且还会出错 .下面分析一例 .例　若ｃｏｓα -ｃｏｓβ=12 ,①ｓｉｎα-ｓｉｎ β=-13 .②求ｓｉｎ(α β) .对于①、②形式出现的三角习题 ,等式两边平方是常见解法 ,学生受其影响 ,产生了下面解法 .解 :①2 ②2 得2 -2ｃｏｓ(α -β) =1 33 6 ,所以有ｃｏｓ(α -β) =5972 ,①2 -②2 得ｃｏｓ 2α ｃｏｓ 2 β -2ｃｏｓ(α β) =53 6 ,即ｃｏｓ(α β)ｃｏｓ(α -β) -2ｃｏｓ(α β) =53 6 ,∴ｃｏｓ(α β) [2ｃｏｓ(α -β) -2 …     

(sinα)~2 (cosα)~2=1的应用

公式ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1反映了同一个锐角α的正弦和余弦之间的关系 .应用这一关系 ,许多较复杂的问题可获得简捷的解答 .例 1　ｓｉｎ53°ｃｏｓ37° ｃｏｓ53°ｓｉｎ37° =.( 1 998年山西省中考题 )解　∵　 53° 37°=90° ,∴　ｃｏｓ37°=ｓｉｎ53° ,ｓｉｎ37°=ｃｏｓ53°.∴　原式 =ｓｉｎ2 53° ｃｏｓ2 53°=1 .例 2　已知ｓｉｎα ｃｏｓα=ｍ ,ｓｉｎα·ｃｏｓα =ｎ ,则ｍ、ｎ的关系是 (　　 ) .(Ａ)ｍ =ｎ　　　 (Ｂ)ｍ =2ｎ 1(Ｃ)ｍ2 =2ｎ 1 (Ｄ)ｍ2 =1 -2ｎ( 1 999年天津市中考题 )解　将ｓｉｎα ｃｏｓα =ｍ…     

考生解题失误心理探由

1 潜在假设潜在假设是指在题设中并未给定的条件或没有通过证明而得到的结论 ,在解题中常按自己的期望或经验不知不觉地予以肯定加以利用 .因此 ,在这个潜在假设的意识支配下 ,会对问题加以限制或对题目的条件视而不见 ,造成解题失误 .例 1　已知 3ｓｉｎ2 α 2ｓｉｎ2 β =2ｓｉｎα ,求ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β的取值范围 .错解 :ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β=ｓｉｎ2 α 2ｓｉｎα -3ｓｉｎ2 α2 =-ｓｉｎ2 α2 ｓｉｎα ,由ｓｉｎα∈ [-1 ,1 ]知ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β的取值范围是[-32 ,12 ].评注 :稍有一点反馈意识的同学就知道答案有误 ,…     

三角函数最值的求法

求三角函数的最值问题是三角函数中较为重要的一个知识点;其题目类型变化多端.解法灵活多变,若能在教学中不断的归纳总结,则可培养学生多向思维的能力.本文就此举例介绍几种常用方法.1　化为Ａｓｉｎ(ｗｘ+φ)+Ｋ的形式例1　求函数ｙ=ｓｉｎ2ｘ+2ｓｉｎｘ·ｃｏｓｘ+3ｃｏｓ2ｘ的最大值解:ｙ=ｓｉｎ2ｘ+2ｓｉｎｘ·ｃｏｓｘ+3ｃｏｓ2ｘ=2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ2ｘ+1=ｓｉｎ2ｘ+ｃｏｓ2ｘ+2=2ｓｉｎ(2ｘ+π4)+2∴当ｓｉｎ(2ｘ+π4)=1时,　ｙｍａｘ=2+22　配方法例2　求函数ｙ=1-5ｓｉｎｘ+2ｃｏｓ2ｘ的最小值解:ｙ=1-5ｓｉｎｘ+2ｃｏｓ2ｘ…     

错在哪里

1　安徽淮南十六中　刘华为　 (邮编 :2 32 0 53)题　已知ｃｏｓαｃｏｓβ =1 /2 ,ｓｉｎαｓｉｎβ =ｍ ,求ｍ的取值范围。解一　∵ｃｏｓαｃｏｓβ ｓｉｎαｓｉｎβ=( 1 /2 ) ｍ ,∴ｃｏｓ(α -β) =( 1 /2 ) ｍ ,∴ -1≤ ( 1 /2 ) ｍ≤ 1 ,∴ -3/2≤ｍ≤ 1 /2。又 -1≤ｓｉｎαｓｉｎβ≤ 1 ,故 -1≤ｍ≤ 1 /2。解二　仿照解法一易得ｃｏｓ(α β) =( 1 /2 ) -ｍ ,综合 -1≤ｃｏｓ(α β)≤ 1 ,得 -1 /2≤ｍ≤ 3/2。又 -1≤ｓｉｎαｓｉｎβ≤ 1 ,故 -1 /2≤ｍ≤ 1。解三　∵ 1 /4 =ｃｏｓ2 αｃｏｓ2 β=( 1 -ｓｉｎ2 α) ( 1 -…     

辅助角公式的应用道不完

我们知道 ,ａｓｉｎα+ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,其中 φ角所在象限由ａ、ｂ的符号确定 ,φ角的值由ｔａｎφ =ｂａ 确定 ,这个公式称为辅助角公式 .该公式在解题中有广泛的应用 .一、求最值例 1　求函数 ｙ =3ｓｉｎ(ｘ +2 0°) +5ｓｉｎ(ｘ +80°)的最大、最小值 .解 :令θ =ｘ +2 0°,则ｙ =3ｓｉｎθ +5ｓｉｎ(θ +6 0°) =3ｓｉｎθ+512 ｓｉｎθ+32 ｃｏｓθ =112 ｓｉｎθ +52 3ｃｏｓθ=7ｓｉｎ(θ +φ) .∴　ｙ的最大、最小值分别为 7、- 7.二、求值例 2　若函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎ2ｘ +ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- …