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陶健钧 《数学大世界(高中辅导)》2006,(10)
借助空间向量,很容易推导出二面角有以下两个计算公式.(1)如图1,AB、AC、AD是空间自A引出的三条射线,所成角分别为θ1,θ2和θ,可求得二面角B-AC-D的大小(用θ1,θ2和θ的三角函数表示)解:作BC⊥AC于C,DE⊥AC于E,图1则BC和DE夹角度数即为二面角B-AC-D度数.设AB=a,AD=b.BC=BA AC,DE=DA AE,∴BC·DE=(BA AC)·(DA AE).asinθ1bsinθ2cos(BC·DE)=abcosθ abcosθ2cos(π-θ1) acosθ1bcos(π-θ2) acosθ1bcosθ2=abcosθ-abcosθ2cosθ1-acosθ1bcosθ2 acosθ1bcosθ2∴cos(BC,DE)=cosθsi-ncθo1ssiθn1θc2osθ… 相似文献
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椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1(a>b>0){x=acosθ,y=bsinθ(其中θ是参数,θ∈[0,2π)),故椭圆上的任一点都可以写成P(acosθ,bsinθ),θ∈[0,2π]的形式,下面就其在解题中的主要应用作些归纳,供参考。 相似文献
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1 椭心角的概念
如图1,设A(acosθ1,bsinθ),B(acosθ2,bsinθ2)(0≤θ1,θ2≤2π)为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)上不同的两点,角α称为椭圆上的弧AB所对椭心角.若θ2-θ1〉0,则α=θ2-θ1;若θ2-θ1〈0,则α=2π-(θ2-θ1). 相似文献
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1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y), 相似文献
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椭圆两弦端点处切线的两个有趣性质 总被引:1,自引:0,他引:1
文[1]给出了椭圆焦点弦的一个优美结论,受其启发并结合文[2],笔者将两焦点替换为两对称点进行探究,发现椭圆两条弦端点处的切线存在着如下两个十分有趣的性质.图1定理1如图1,设P是椭圆x2a2 y2b2=1上任一点,弦P P1,P P2(或其延长线)分别过点M1(-m,0),M2(m,0)(m≠a),P1,P2处的切线交于点P,′则xP xP′=0.证明设P(acos,θbsinθ),P1(a·cos1φ,bsin1φ),P2(acos2φ,bsin2φ),则点P1,P2处的切线分别为bcos1φ·x asin1φ·y=ab,bcos2φ·x asin2φ·y=ab.两切线的交点P′的横坐标xP′=a(sin2φ-sin1φ)sin(2φ-1φ)=acos2φ 1φ2cos2φ-… 相似文献
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最近读到本刊的2010年高中版第5期的"加速度不能套用速度分解的模式"一文,笔者觉得此文有错误之处,分述如下.
文中第(11)式am=acosθ-(-vt dθ/dt)=acosθ+vt dθ/dt有误,应该改成
am=acosθ-vt dθ/dt. 相似文献
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我们把椭圆x2/a2+y2/b2=1的参数方程{x=acosθ y=bsinθ意一点P(acosθ,bsinθ)的离心角.本文介绍与椭圆的离心角相关的两个有趣性质供读者参考.
性质1 椭圆(或圆)x2/a2+y2/b2=1(a>0,b>0)的两条相交弦AB,CD的四个端点共圆的充要条件是这四个端点的离心角之和为周角的整数倍. 相似文献
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赵大坤 《新乡师范高等专科学校学报》1994,(2)
<正>在多年的数学教学实践中,为了激发学生的积极性,引导学生探讨一些习题的不同解法,这对培养学生的能力,开发学生的智力都起着十分重要的作用.例如 对弧长的曲线积分:(?)l (x~2+y~2)~(1/2)ds其中l为园周x~2+y~2=ax解法如下:法一 令 x=rcosθ y=rsinθ则园周x~2+y~2=ax可变为r=acosθ且-(π/2)≤θ≤(π/2),如图一∵ds=(r~2+r~(12)~(1/2)dθ=adθ 且(x~2+y~2)~(1/2)=r=acosθ∴(?)l(x~2+y~2)~(1/2)ds法二取θ为参数,如图二∵OA=acosθ -π/2≤θ≤π/2 相似文献
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新教材利用向量数量积 ,分别用不同方法推导出正弦定理和余弦定理 ,其技巧不易想到 .我们尝试用向量的坐标表示及其运算 ,引导学生推导 ,结果事半功倍 ,“一箭三雕”.图 1如图 1,在△ABC中 ,|AB|=c,|BC |=a,|AC|=b,则 AB=(c,0 ) ,BC=(acos(π- B) ,asin(π-B) ) =(- acos B,asin B) ,AC=(bcos A,bsin A) .∵ AC=AB+BC,∴ (bcos A,bsin A)=(c,0 ) +(- acos B,asin B)=(c- acos B,asin B) .∴ bcos A=c- acos B,bsin A=asin B,(bcos A) 2 +(bsin A) 2 =(c- acos B) 2 +(asin B) 2 ,∴ acos B+bcos A=c(射影定理 ) ,asin A=b… 相似文献
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椭圆是一个完美的几何图形 ,笔者在最近的教学研究中 ,得到了三个与之有关的有趣的轨迹 ,现整理如下 ,供同行人士参考 . 图 1定理 1 (焦点三角形重心轨迹 )设A是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b >0 )上一点 ,F1(-c ,0 )、F2 (c ,0 )分别是左、右焦点 ,则△AF1F2 的重心轨迹是椭圆 x2(a/ 3) 2 + y2(b/ 3) 2=1,其离心率与原椭圆离心率相等 .证明 设点G(x ,y)是△AF1F2 重心 ,如图 1.因为点A在椭圆上 ,则A(acosθ ,bsinθ) .由三角形重心坐标公式x=-c+c+acosθ3=acosθ3,y =0 + 0 +bsinθ3=bsinθ3,消去θ整理得 x2(a/ 3) … 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(5)
有这样一个命题:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)短轴为 AB,M 为椭圆上非 A、B 的点,MA、MB 与 x 轴交于点 E、F,则 OE·OF=a~2.此命题看似平凡,却"来头"不小,值得研究.推广1:把短轴 AB,长轴 CD 换成一般的共轭直径,得到如下性质:定理1 AB、CD 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的共轭直径,M 为椭圆上非 A、B 的点,直线 MA、MB 分别交 CD 所在直线于点 E、F,则 E、F 在点 O 的同侧,且 OE·OF=OD~2(图1).证明:设 A(acos α,bsin α),则 B(-acos α,-bsin α),M(acos β,bsin β).由 AB、CD 共轭,知 k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2),又 k_(AB)=bsin α/acos α, 相似文献
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2003年中国数学奥林匹克(CMO)第3题:给定正整数n,求最小的正数λ,使得对任何θi∈(0,(π/2)(i=1,2,…,n),只要tan θ1·tan θ2·...·tan θn=2(n/2),就有cosθ1 cosθ2 ... cosθn不大于λ. 相似文献
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一、旋转式椭圆规的数学原理我们从椭圆轨迹上的点P(x,y)到椭圆中心的距离谈起: 设椭圆轨迹上一动点P(x,y)的轨迹方程为 x=acosθ, y=bsinθ,则动点P(x,y)到椭圆中心O(0,0)的距离d满足 d~2=(acosθ)~2 (bsinθ)~2.因a~2cos~2θ b~2sin~2θ=(a~2-b~2)cos~2θ b~2 相似文献
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本文从不等式acosθ+bsinθ≤a2+b2(1/2)(a,b,θ∈R,ab≠0)(或其等价形式)的结构出发,联想代数或几何模型,得到了该不等式的六种证法. 相似文献
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文[1] 给出有关椭圆的两个性质 ,对于这两个性质本文给以引申和证明 . 图 1推论 1 如图1所示 ,椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )过切点M的切线l与以椭圆长轴为直径的圆O从左至右依次交于A、B两点 ,则以线段MF1、MF2 为直径的圆与圆O分别内切于A、B两点 (其中F1、F2为双曲线的左右焦点 ) .证明 设M (acosθ ,bsinθ) ,F1(-c,0 ) ,F2 (c,0 ) ,由文 [1]定理 1证明 ,可知A(ab2 cosθ -a2 csin2 θa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ,a2 bsinθ +abcsinθcosθa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ) ,B(ab2 cosθ+a2 csin2 θa2 sin2 θ+b2… 相似文献
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在平面解析几何中,有关圆锥曲线方程的一些应用题,解法是比较复杂的,为了避开繁琐的运算,可应用参数方程解题,把代数运算转化为三角运算。例1.设TT′是椭圆的任一切线介于长轴两端切线AT、A′T′间的线段,则以TT′为直径的圆必过焦点F、F′。证:设椭圆在直角坐标系中的参数方程为x=acosθ y=bsinθ,过椭圆上任一点(acosθ,bsinθ)的切线方程为xcosθ/a+ysinθ/b=1; 因为长轴两端的切线方程为x~2-a~2=0 相似文献
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于先金 《中学数学教学参考》2006,(15)
定理如图,给定椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1.PP′、QQ′是椭圆一对共轭直径.弦 BB′//QQ′,直线 l//PP′,M 是椭圆上异于 B、B′的任一点.直线QQ′、B′M、BM 分别交 l 于点O′、N、K.记 m=|QQ′|=r|OQ|,P(acos,bsin),B(acos α,bsin α),M(acos β,bsin β),则O′N·O′K=(a~2cos~2+b~2sin~2)/(cos(α-)+cos(β-){r~2[cos(α--cos(β-)]-2rcos(α-)cos(β-)+[cos(α-)+cos(β-)]}.(*) 相似文献