谈谈几何题的三角证法

初中代数第四册教材中有这样两道题,在△ABC中,AD为角A的平分线,用正弦定理:证明BD/DC=AB/AC。(P89第14题)。设AD是△ABC的中线,利用余弦定理证明:AD~2=1/2(b~2+c~2-a~2/2等)。这表明,用三角法证平几题,对初中学生已有一定的要求。在教学中,有计划地引导学生运用三角知识证明几何命题是非常值得重视的。这不但可以使学生巩固和复习三角知识,而且有利于培养学生综合解题的能力。三角法的实质就是运用公式的计算代替几何的逻辑推理。从而减少几何证题中的一些困难。鉴于初中学生知识面较窄,笔者只从如下三个方面谈谈几何题的三角证法:     

三角不等式的几何证法

有一些三角不等式的证明,依赖如下的一个基本不等式:sinx≤x,x∈[θ,π/2].而这一基本不等式,在中学范围内只能用几何方法证明。一般来说,与其花大力气化不等式为上述基本形式,不如直接利用其几何证法的思想,对不等式赋予相应的几何意义,简便直观地得到证明.     

几何题的间接证法

一个几何命题总是由题设和题断两部分组成的，总可以归结为“若A则B”的形式，若交换题设和题断的位置，或用否定形式来表示它们，总共可有四种形式，     

一道三角题的构图证法

题目:求证tan420°-4√3tan320° 6tan220° 4√3tan20°=3. 该题是<数学通报>1997年第6期刊登的数学问题1 076题,由于恒等式的左边是含同一个角的正切函数值.指数较高,系数复杂,证明有一定的难度,本文给出该题一个构图证法,供参考.     

一道平几题的三角证法

在[1]、[2]文中有这样一道平几题: 设点P为锐角三角形ABC内任意一点,过P点作三条边的垂线,设垂足分别为D、E、F,求证:S_△PEF≤(1/4)S_△ABC。     

两个三角恒等式的几何证法

笔者曾在文[1]建立过如下两个三角恒等式：cosa＋cos（12O”－a）＋cos（12o”＋a）一0,sina－sin（1200－a）＋sin（12O“＋a）一0,其中a为任意角．下面笔者再给出这两个三角恒等式的一个统一的几种证法．形,0（0,O）既是外心又是重心,因此两个三角恒等式的几何证法@田彦武$宁夏固原一中数学教研室!756000 @申笃轩$宁夏隆德中学!7563001田彦武.一个三角恒等式的几何解释及其应用.中学数学月刊,1999,5.     

关于一类三角问题的几何证法

问题1 求证:cot10°-4cos10°=3～(1/3).问题2 求证:cot40°-(3～(1/3)/3)/cos20°=3～(1/3)/3问题3 求证:cot20°-(1/cos10°)=3～(1/3).上述题目,多被当做用构造法证题的典范,但证明往往仍用到正弦定理、倍角公式,证法较繁.笔者现运     

一类反三角恒等式的几何证法

证明反三角恒等式的常用方法是三角法与复数法，然而有许多反三角恒等式蕴含着丰富的几何直观，此时，若能由数思形，数形结合，便可开辟解题新径，现举例如下。     

一道几何题的多种证法

一题多解的目的在于开拓同学们的思路,培养同学们的思维能力,还能促使养成对事物的探索精神,努力运用数学基础知识,找出更多的解题途径,提高解决问题的能力。     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

一道几何题的多种证法

题 如图所示,在矩形ABCD中,A_1E∥AB,AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4D=a,AB_1=B_1B_2=B_2B=3~(1/2)a, 求证:∠B_1A_1E     

一道几何题的多种证法

在正方形ABCD中，P，E分别为BC，DC的中点，连接AP，BE交于点H，连接DH，试证明：AD=HD．     

一道几何题的多种证法

例已知:如图1 △ABC中,AB=AC、PE⊥AB.PF⊥AC,BD⊥AC.求证:BD=PE+PF.一、截取法一条线段等于两条线段的和,可在最长线段上截取一条与其中一条较短的线段相等,再证明剩下的线段与另一条线段相等,     

几个三角不等式的几何证法

例1 在锐角△ABC中,求证:sinA sinB sinC>3~(1/2), 证 如图1所示是一个直径为1的圆。△ABC内接于圆。由于A、B、C都是锐角,则不妨设60°≤C<90°。由图易知:BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC=1,∴sinA=BC,sinB     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…