编制勾股数组的四种方法

在自然数范围内,我们把满足方程a~2 b~2=c~2的三个数(a,b,c)称为一组勾股数。如何编制勾股数组呢?下面介绍四种方法。一、任取两个互质数m和n,即(m,n)=1,其中一个是偶数,另一个是奇效,当m>n时,则编制成的勾股数组为(m~2-n~2,2mn,m~2 n~2)(1)公式(1)不是方程a~2 b~2=c~2的一般解,因为不是每一组勾股数a、b、c都能满足公式(1)。例如,公式(1)就没有给出勾股数组(9,12,15)。但是,如果这组勾股数约去公因数,得到的勾股数组(3,4,5)则可由公式(1)在m=2,n=1时直接给出。     

灵活记忆勾股数解题

<正>勾股定理是初中阶段所学的一条重要定理,它的运用广泛,适当记忆一些勾股数对于迅速地运用勾股定理及逆定理解题会带来很大方便,怎样灵活地记忆勾股数呢?以下介绍几种方法。 1、由勾股定理表达式a~2+b~2=c~2 移项得a~2=c~2-b~2 由平方差公式得a~2=(c+b)(c-b) 令a,b,c都是正整数,且左边a是奇数,则a~2也是奇数,任一个奇数总可以分成两个连续正整数的和,而两个连续正整数的差是1,因而右边b,c恰好可看作两连续正整数(c>b)。     

勾股不等式的应用

本文介绍的勾股不等式的证明很简单,它在应用中却很方便。命题若a≥0,b≥0,c≥0,且a~2+b~2=c~2,则 a+b≤2~(1/2)c (1) 当且仅当a=b时取等号。证明据题设,利用a~2+b~2≥2ab,得 (a+b)~2=a~2+b~2+2ab≤2(a~2+b~2)=2c~2 ∴ a+b≤2~(1/2)c 显然,当且仅当a=b时等号成立。(证毕) 当a,b,c均为正实数时,由a~2+b~2=c~2知a,b,c组成一个直角三角形的三边,故称(1)为勾股不等式。     

勾股数的基本组及其性质

本文给出勾股数基本组的某些性质,并由此得出排列勾股数基本组的一个方法。定义1 如果正整数a,b,c能满足不定方程 a~2+b~2=c~2,(1)则它们叫一组勾股数,用[a,b,c]表示。定义2 如果[a,b,c]为一勾股数组,且(a,b)=1,则[a,b,c]叫一个勾股数的基本组;全体勾股数的基本组用集合A表示。     

IMO-36第二题的四种证法

第三十六届国际奥林匹克数学竞赛第二题: 设a、b、c为正实数,且满足a·b·c=1,试证:1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥3/2(1)。(俄罗斯提供) 证法一 由已知条件a·b·c=1,(1)与下面(2),等价:b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥3/2(2),现用含参数基本不等式:a~2 (λb)~2≥2abλ(λ为参数)的变形:a~2/b≥2λa-λ~2b。因而     

Weitjenbok不等式简记八法

设△ABC的边和面积分别为a,b,c和△,则a~2 b~2 c~2≥3~(1/4)△. 证1 比较法.a~2 b~2 c~2-3~(1/4)△=2(b~2 c~2)-4bcosin(A 30°)≥2(b-C)~2≥0. 证2 (a~ b~2 c~2)-(3~(1/4)△)~2=(a~2 b~2 c~2)-3(a b c)(a b-C)·(b c-a)·(C d-b)=2[(a~2-b~2)~2 (b~2-c~2)`2 (c~2-a~2)~2]≥0.     

勾股数杂谈

如果一个直角三角形的三边长正好都是正整数,那么这三个正整数叫做勾股数(也叫勾股数组).一般地,如果正整数a、b、c能满足a~2 b~2=c~2,则它们叫做勾股数.按我国古代的叫法,如果勾股数的关系为a相似文献   

等比数列的性质

性质1 如果a,b,c三个数成等比数列,则a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3)=a~3 b~3 c~3证明: ∵a,b,c成等比数列 ∴b/a=c/b 左端=a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3) =b~2c~21/a a~2c~21/b a~2b~21/c =a~3 b~3 c~3=右端性质2 如果a,b,c,d四个数成等比数列,则     

勾股数组知多少?

我们知道,满足a~2 b~2=c~2的自然数a、b、c称为勾股弦数组.那么,以21为勾数或股数的勾股弦数组共有多少组呢?本文就给出解决这类问题的一般方法. 定理 若x~2可分解为x~2=a_1b_1=a_2b_2=…a_nb_n,其中a_i与b_i(a_i>b_i∈N,i=1、2、…、n)的奇偶性相同的所有因数组只有这n组,则以自然数x为勾数或股数的所有勾股弦数组只有以下n组     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3     

IMO-36第二试题的推广

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,     

一组猜想不等式的统一证明

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).     

判断勾股数五法

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a~2+b~2=c~2.能够成为直角三角形三条边的长的三个正整数,称为勾股数,如3,4,5.给出三个正整数a,b,c(假定其中a相似文献   

勾股数的另一些有趣特点

大家都知道,在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边平方的和。这是有名的勾股定理。我们通常把斜边设作 c,两直角边分别设为 a、b,那么,根据定理得:c~2=a~2+b~2,也就是弦~2=勾~2+股~2。而 a、b、c(勾、股、弦)这一组勾股数的正整数组必定满足上列等式。经常提到的勾3、股4、弦5就是勾股数中最小的一组。这里介绍勾股数的另一些有趣特点。     

“互叠法”证不等式的两个定理

定理1 欲证 P≥Q,只需证 P Q≥2Q.例1 (《数学通报》数学问题解答1602)已知 a,b,c∈R_ ,求证:((a b)/(a c))a~2 ((b c)/(b a))b~2 ((c a)/(c b))c~2≥a~2 b~2 c~2 .证明:不等式可化为P=a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2≥a~2b~2c ab~2c~2 a~2bc~2≥Q.P Q=(a~3b~2 ab~2c~2) (b~3c~2 a~2bc~2) (c~3a~2     

含两个质数的勾股数组的一个性质

命题 对含两个质数的勾股数组a、b、c,且a相似文献   

一道东南数学奥林匹克试题的进一步推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题)求最小的实数m,使不等式m(a~3 b~3 c~3)≥6(a~2 b~2 c~2) 1对于满足a b c=1的任意实数a,b,c恒成立.文[1]对此题作了以下推广1设a_i>0,i=1,2,…,n,n≥2,sum from i=1 to n a_i=1,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m sum from i=1 to n a_i~3≥A sum from i=1 to n a_i~2 B恒成立.     

一个公式的巧用

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)     

等与不等的转化

1.已知a、b、c为正整数,且a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c,求(1/a+1/b+1/c)~(abc)的值.解:由a、b、c为正整数,得a~2+b~2+c~2+48和4a+6b+12c均为正整数,则不等式a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c与不等式a~2+b~2+c~2+48+1≤4a+6b+12c等价.     

第40届IMO预选题解答(上)

数论部分 1.本届IMO第4题. 2.证明:每个正有理数都能被表示成(a~3 b~3)/(c~3 d~3)的形式,其中a、b、c、d是正整数。 证明:对于区间(1,2)内的有理数m/n,其中m、n是自然数,我们选择正整数a、b、d,使b≠d,且a~2-ab b~2=a~2-ad d~2,即b d=a,则