例谈参数方程在解析几何中的应用

用代数的方法解决几何问题是解析几何的基本思想。在高职高考中,涉及解析几何动点问题的题目难度较大,在方法选择上,学生常用普通方程进行解答,运算量大,影响解题速度,而灵活运用参数方程将大大降低运算量。文中通过一些例子,介绍了参数方程在解析几何中的应用,以供读者参考。     

有心圆锥曲线中一类焦点弦问题的探究

在近两年高考数学试卷中,多次出现以向量等式为条件的有心圆锥曲线焦点弦问题,若用第二定义进行转化则容易解决,但新课标中不要求掌握第二定义的应用．极坐标方程、参数方程的方法虽然运算量小,但学生掌握起来比较困难。况且新课程又将此部分内容放在选修课程里面进行讲解．另外用直线方程和圆锥陆线方程联立运算量大．令很多学生望而却步．笔者经过研究,发现可以用余弦定理来解决此类问题．     

用平面几何知识解决解析几何问题

<正>解答平面解析几何题往往运算量较大,而有时用平面几何知识却能减少运算量.下面举例说明这一解题方法.例1 设直线l_1:a_1(x+1)+b_1y=0,l_2:a_2(x-1)+b_2y=0,满足a_1a_2+b_1b_2=0,求l_1与l_2交点P的轨迹方程.分析本题中有四个参数,若直接求出交点P的坐标,再消去参数得出所求轨迹方程,技巧强,运算量大.而充分挖掘题目的隐含条件,运用平面几何知识,可获得简解.解由条件可知,直线l_1、l_2分别过定点A(     

对一道常见零点题的误解,正解,巧解

求函数零点的通法是把问题转化为求方程根问题虽思路比较清晰但运算量较大。如果转化为求两个函数交点的问题,或利用数形结合、参数法则使的题目的运算量减少。     

教材寻法 巧解真题——以2023年高考圆锥曲线题为例

<正>圆锥曲线问题是考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养的重要抓手之一,在近几年高考及各地模拟考试中,此类问题因在求解过程中含多个变量,往往具有较大且复杂的运算量,让学生束手无策、望而生畏,是学生解题过程中的一个“痛”点.对于高考中的这一热点和难点,如果能根据已知条件,选择合适的直线参数方程,将会使得解题过程更为简洁、高效.本文先介绍直线参数方程的相关概念,再以2023年圆锥曲线高考题为例,运用直线参数方程对其进行探究,回归教材寻求突破之法.     

简化不等式求解的思维策略

对于不等式求解问题，特别是含参数的不等式，按常规解法需分类讨论，导致过程繁复，运算量大．若能注意挖掘出题目中的隐含条件，采用恰当的解题策略，常可简化或回避分类讨论，优化解题过程．[第一段]     

妙用曲线系 巧破解几题

<正>解析几何作为高中数学学习的重要内容,在高考中占据着重要的地位,全国各地每年的高考试题中,都会出现解析几何的解答题,且通常出现在压轴题的位置.其运算量之大,常令许多考生陷入困境,尤其是在比较复杂的、涉及多条直线时,求交点、求方程往往使考生望而却步.本文从曲线系方程的思路出发,研究几类解析几何题的曲线系方程的解法,旨在减少相关问题的运算量.1.二次曲线系方程的介绍曲线系是指具有某种共同性质的所有曲线的集合,并用含有一个参数的方程来表示,参数取不同的值,得到不同的曲线.     

用特殊性巧解定点定角定值问题

<正>解析几何中的定点、定角、定值问题,是高考考查的核心题型之一,是多年高考经久不衰的热点.这类问题常常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心需要,综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法求解.一般来说解法都比较单一,虽然有通法可循,但运算量大且过程繁琐是它最明显的特征.如何化繁为简,减少运算量、有效突破这一人人都颇感棘手的问题,     

简化参数讨论的方法

参数讨论是高中数学的重要内容,对参数讨论简化能大大减少运算量,对含参问题选择正确的算理是解决问题的关键,以下略举数例给予说明.一、对含有底为参数的对数式可用换底公式消去参数,简化讨论参数     

圆系方程的合理性证明及应用

<正>课标课程教材中并没有"圆系方程"这个概念,但高考数学《考试大纲》却要求掌握圆的标准方程和一般方程,理解圆的参数方程;在能力上能根据所给条件选取适当的方程形式,利用待定系数法求出圆的方程,结合圆的几何性质解决与圆有关的问题。因此,学生无法理解其合理性。已知:圆C方程为:x²+y2+y²+Dx+Ey+     

用平面几何知识帮助解答平面解析几何题

<正>解答平面解析几何题往往运算量较大,而有时用平面几何知识却能减少运算量,下面举例说明这一解题方法.例1设直线l_1:a_1(x+1)+b_1y=0,l_2:a_2(x-1)+b_2y=0满足a_1a_2+b_1b_2=0,求l_1与l_2的交点P的轨迹方程.分析本题中有四个参数a_1,a_2,b_1,b_2,若直接求解,求出交点P的坐标后,再消去这四个参数,得出所求轨迹方程,消元技巧强,运算量大.而充分挖掘题     

含参数方程的有解条件及其应用

讨论含参数方程的有解问题,是学生难于掌握的问题,这类问题,综合性强,灵活性大。 本文一方面说明在含参数的方程中,当参数取什么值时,方程有解?另一方面,作为其应用,将函数y=f(x)中的y看作参数,     

分类讨论思想及其应用

在解决综合问题或复杂问题时,可将所研究对象的集合按照一定的标准,划分为若干个部分去分析研究,再把分析研究的结果综合起来,从而使原问题在总体上得以解决．这就是分类讨论的思想．运用这种思想解题,可将对问题的宏观研究转化为对问题的局部分析,起到化整为零、分而治之的目的,特别是在求解头绪繁多、易重易漏问题时,有独特功效． 1．求解方程问题涉及到参数范围与方程解集有关问题时,因其参数取值不同而导致方程分类变化和方程根的范围差异时,常会引发分类讨论问题,求解时应根据方程种类变化去确定分类标准．     

有效回避分类讨论的几点注意

分类讨论思想是高中数学四大数学思想之一,在高考中常考不衰．运用分类讨论思想解题中,由于分类标准的确定、分类计算的运算量等原因,给考生带来了不少麻烦．其实有些问题如果仔细研究已知条件或结论,就会发现它的讨论是可以简化,有的甚至可以回避的．下面笔者针对解题中可以避免讨论的问题举例分析,并提出相应的解题策略．     

浅谈含有参数的方程

一、含有参数的方程的解的讨论: 含有参数的方程的解的情况,依赖于参数的取值范围。因此,在解方程过程中,要考虑方程变形对参数取值有什么要求,进行讨论。     

参数在2016年高考中应用例析

参数可以最大程度地利用变量之间的内在关系,从而减少运算量,特别是对一些与代数式相关的复杂运算,更加有用.参数运用得当,可以有效减少思维量,节约时间,使不少问题的处理更加程式化,从而享受到数学的统一美、简约美.这里所讨论的不是选讲部分的参数与极坐标问题,而是利用参数或其思想来处理必考部分的数学问题.     

构造齐次方程探究定点问题

二次曲线中有关直线过定点问题,可以用多种常规方法来处理,但运算量都较大,本文将在斜率表达式为常数的8个相关定点问题的探究过程中,通过构造齐次方程来简化运算量,方便地获得了相应的探究结果．通过坐标系的平移,过任意点的直线斜率问题均可转化为过原点的斜率问题,本文主要用构造齐次方程的方法来解决讨论二次曲线中过定点的两条（三条）直线的斜率之积、和、倒数和为常数时,有关直线过定点的问题．     

高考复习《圆锥曲线方程》专题系列讲座

要点解读复习本专题我们应做到:(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程;(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质;(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质;(4)了解圆锥曲线的初步应用.平面解析几何作为中学数学中几何代数化的典型代表,历来是高考的重头戏,它体现了重视能力立意,强调思维空间,是用“活题”考“死知识”的典范.具有涉及面广、综合性强、运算量大,题目新颖、灵活多样、能力要求高等特点,难度中等偏高.基本以圆锥曲线为背景,全面考查三基和能力,重点考查等价转化、数…     

一类解析几何典型题的解答与拓展运用

解析几何是高考数学重点考查内容之一,解析几何问题的本质是直线与圆锥曲线联立后方程组的根,而求解时往往伴随参数,不易直接求出点的坐标,且运算量大.利用方程同解,不仅将点的坐标完美避开,还绕开韦达定理,大大减少了运算量,提升了解题效率.研究解析几何典型问题解法,可以开阔学生视野,提高学生的解题能力.     

一道课本习题解答引起的联想

<正>利用直线与圆、圆与圆的位置关系求解圆的方程问题,是一类很常规的问题.其思路是先设圆方程,然后通过构建方程组求待定参数的办法使问题获解.但这样处理大多数时候运算量都非常大,对学生数据处理能力的要求非常高.尤其是有关切点的问题,解方程组更是举步维艰.本文从一道课本习题的解答入手,通过联想探索,给出一种简便策略,试以抛砖引玉.问题1 求经过点M(3,-1)且与圆C:x~2+y~2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程.(问题来