也从方程x+1/x=c+1/c的解法谈起

本刊今年第6期《从方程x+1/x=c+1/c的解法谈起》一文中,将初中《代数》课本第三册中的一道练习题“解关于x的方程x+1/x=c+1/c”作了两次推广: 推广一:关于x的方程x+b/x=c+b/c的解为x_1=c,x_2=b/c(c≠0)。 推广二:关于x的方程x~(1/n)+1/(x~(1/n))=c+1/c的解为x_1=c~n,x_2:=1/(c~n)。     

一道值得注意的习题

通过解答初中代数第三册(以下简称“课本”)117页练习3第(1)题得到了一个极为简单、易记的[性质]: 方程x+1/x=c+1/c的两根互为倒数,且为x_1=c,x_2=1/c。应用这个性质、运用观察法可简捷地解答一类方程(组),现仅就课本、参考书中一些习题为例说明如下:     

关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。     

多元方程的巧解

关于多元方程整数解的求法在不少书中已作研究,这里通过几例,介绍某些特殊多元方程一般解的几种求法。 (一) 利用“实数的偶次幂为非负数”的结论 [例1] 求方程x+3~(1/a)+y-1/2~(1/2)+z~(1/2)-7 =x+y+z的实数解解:原方程可变形为 (x+3~(1/2)-2)~2+(y-1/2~(1/2)-1/2)+(z~(1/2)+1/2)~2=0 可得     

六年制重点中学高中《解析几何》课本一例浅议

在六年制重点中学高中《解析几何》课本的116页有这样一道例题:“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。”课本的证法是: 先解椭圆和双曲线方程所组成的方程组,求得四个交点 P_1((5(15)~(1/2))/4,3/4);P_2(-(5(15)~(1/2))/4,3/4);P_3((5(15)~(1/2))/4,-(3/4));P_4(-(5(15)~(1/2))/4,-3/4)。再分别求出椭圆、双曲线在点P_1处的切线方程,     

对“根据旋转角画新轴”的改进

六年制重点中学高中数学课本《解析几何》第140页例1为: “利用坐标轴的旋转化简方程2x~2+4xy+5y~2-22=0,并画出它的图形。”当运用转轴公式将原方程化简为x'~2/11/3+y'~2/22=1后,接着就要画出新坐标轴,并在     

从一道定值问题的解法谈起

[题] 从椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1的中心作三条两两互成2π/3角的半径r_1,r_2,r3,求证:1/r_1~2+1/r_2~2+1/r_3~2定值。证:将椭圆方程化为极坐标方程得ρ~(2)cos~(2)θ/a~(2)+ρ~(2)sin~(2)θ/b~(2)=1→1/ρ~(2)     

一道课本习题的启发

<正>课本习题(《普通高中课程标准实验教科书》必修2第88页"探究·拓展"15)已知两条直线a_1x+b_1y+1=0和a_2x+b_2y+1=0都过点A(1,2),求过两点P_1(a_1,b_1),P2(a_2,b_2)的直线的方程.解因为直线a_1x+b_1y+1=0,a_2x+b_2y+1=0都过点A(1,2),所以a_1+2b_1+1=0,a_2+2b_2+1=0.由于P_1(a1,b1),P_2(a_2,b_2)均适合方程x+2y+1=0,且两点确定一条直     

圆锥曲线中的数学思想

1.函数与方程的思想例1过点P(-3^1/2,0)作直线l与椭圆（x²/4）+（y²/3）=1相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积的最大值.分析设l:x=my-3^1/2,代入椭圆方程消去x,得（3m²+4）y²-6 3^1/2my-3=0.     

轨迹的纯粹性不可忽视

《数学通报》88—2《高中数学复习探讨》一文P33例4: 已知椭圆方程x~2/4+y~2=1,过P(4,-2)作一直线l交椭圆于M、N两点,又Q点在直线l上,并且满足2/|PQ|=1/|PM|+1/|PN|。求Q点的轨迹方程。解:设过P点的直线方程为 {x =4+tcosθ y=-2+tsinθ(t为参数)代入椭圆方程得(cos~2θ+4sin~2θ)t~2+(8cosθ-16sinθ)t+28=0由2/|t|=1/t_1+1/t_2得Q点轨迹方程为:     

直线方程的一种新求法及应用

本文介绍直线方程的一种/另类0求法及解题中的广泛应用.如果P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标满足:Ax1+By 1+C=0,A x 2+By 2+C=0,说明P(x1,y1),Q(x2,y2)两点都在直线A x+By+C=0上,因为两点确定一条直线,所以直线PQ的方程为:Ax+By+C=0,这给出了求直线方程的一种新方法,应用这种方法,能使许多棘手的解析几何问题得到简捷地解决,下面举例说明.例1过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为4 2.     

巧用方程根的定义解题

本文介绍怎样利用方程根的定义构造方程,巧解一类数学题. 例1 已知:ab≠1,且有5a2+2002a+8=0及8b2+2002b+5=0,求a/b的值. 分析:第二个方程可变形为: 5(1/b)+2002(1/b)1+8=0,     

特殊代数方程的几种解法

一、换元法例1 解方程2x4+3x3-16x2+3x+2= 0. 解析:这是一个一元高次方程,观察方程各项系数的特点,可发现方程中各项系数关于中间项是对称的,且x≠0,因此,给方程两边同除以x2,得2(x2+1/x2)+3(x+1/x)-16=0. 令x+1/x=y,,则x2+1/x2=y2,即得2y2+3y-20=0, 解得:y1=5/2,y2=-4. 代入令式得:x1=2,x2=1/2,     

关于伯努利方程的进一步讨论

流体力学中的伯努利方程:P 1/2pv~2 pSh=恒量 (1) 是以理想流体在惯性系中作稳定流动时根据功能原理推导出来的。因此一般的力学课本中都指明该方程只适用于理想流体在惯性系中作稳定流动的情况。而在一般的直线加速参照系中伯努利方程具有什么样的形式,这在一般的教科书和参考书中并未提及,笔者在此对该方程作进一步的讨论。     

一元二次方程中的数学思想

一、换元的思想方法 换元法的基本思路是通过设辅助未知数,使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程. 例1 用换元法解方程(x+2/x)2-(x+2/x)=1,设y=x+2/x,则原方程可化为(). A.y2-y-1 =0 B.y2 +y+1 =0 C.y2 +y-1 =0 D.y2-y+1 =0 分析:若把原方程展开再解,项数增加、次数增高,解答起来会很复杂,设y=x+2/x,通过换元将原方程化为整式方程y2-y-1=0再解,方便多了.故选A.     

数学问答

85.问:命题p:方程(x+2)(x-1)=0的根是-2,命题q:方程(x+2)(x-1)=0的根是1. 很明显,p和q都是假命题.但p或q形式的复合命题:“(x+2)(x-1)=0的根是-2或1”是真命题.而课本第27页:“当p、q都为假时,p或q为假”,那么,上述的“怪题”怎样解释呢? (广州仲元中学一(10)班谭映荷)     

热学计算中的三个方程

在我们进行中考复习的过程中,我们一定要善于对课本内容进行总结、归纳和提炼,这样才能在有限的时间里抓住课本的重要内容,将课本浓缩,所谓把书本由厚变薄,以此来提高复习的效益,获得最好的成绩.本文着重对热学这一块的有关计算进行总结.热学计算时常常要使用方程或方程组进行求解,而我们通过平时的训练题可以发现,热学的方程主要有三种形式.我们分别通过三个例题来熟悉一下这三种方程的具体运用.方程一:Q吸=Q放或Q1吸+Q2吸+Q3吸+……=Q1放+Q2放+Q3放+……例1三种质量和比热都不同的液体甲、乙、丙,它们的温度分别是20℃、40℃、80℃,已…     

Schrodinger方程的一个高精度差分格式

用含参数的差分方程逼近微分方程的方法,构造了Schrodinger方程的一个三层高精度隐式差分格式:1/12τ(3/2un+1j+1-2unj+1+1/2un-1j+1)+5/6τ(3/2un+1j-2unj+1/2un-1j)+1/12τ(3/2un+1j-1-2unj-1+1/2un-1j-1)＝iun+1j+1-2un+1j+un+1j-1/h2,其截断误差阶可达到O(τ2+h4).并用Miller定理证明了其稳定性,数值例子表明该格式是有效的.     

方程与不等式思想在“数与代数”问题中的应用——以2021年中考题为例

<正>本文从概念、性质、图形或图象、实际应用四个方面探究方程与不等式思想在中考中的应用.一、由概念产生方程与不等式例1 (2021年聊城中考题)关于x的方程x²+4kx+2k²=4的一个解是-2,则k的值为( )(A)2或4(B)0或4(C)-2或0 (D)-2或2解析 此题考查了方程的解的概念.把x=-2代入方程x²+4kx+2k²=4,得4-8k+2k²=4,解得k₁=0,k₂=4.故选B.     

简化解析几何运算的几种常用方法技巧

<正>1.巧设巧求例1求以坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2)和B(1/2,3(1/2))的椭圆的标准方程.解:设所求椭圆的方程为x2/m+y2/n=1(m>0,n>0).∵椭圆过A(0,2)、B(1/2,3(1/2)),∵{0/m+4/n=1,1/4m+3/n=1,解得{m=1