一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束,其中第13题是这样的:如图1,△ABC中,AB=1,AC=2,D是BC的中点,AE平分∠BAC交BC于E,且DF∥AE,求CF的长.在参考解答中.提供了以下的解答方法:解如图2,过E分别作EH⊥AB,交AB于H,EG⊥AC,交AC于点G,因AE平分∠BAC,所以有EH=EG,从而有CBEE=SS△△AACBEE=AACB=21,又由DF∥AE,得CFCA=CCED=21·CBEC·21·BEC+ECE=12BECE+1=2112+1=43.所以CF=43×CA=43×2=23.图1图2在阅卷的过程中,我发现学生还有不同的解答方法:方法1如图3,过点D作DM∥AB交AC…     

一道数学竞赛题的解法

第三届美国数学邀请赛试题中有这样一道题:选取一列整数a_1,a_2,a_3,…,使得每个n≥3都有a_n=a_(n-1)-a_(n-2),若该数列的前1492项之和等于1985,前1985项之和等于1492,那么前2001项之和是多少? 这是一道很好的数列题,它有多种解法,现介绍—种较为巧妙的解法。∵ a_n=a_(n-1)-a_(n-2) ∴ a_n=(a_(n-2)-a_(n-3))-a_(n-2)=-a_(n-3)。(1) 这表明数列中的第一项和第四项、第二项和第五项、第三项和第6项,……互为相反数重复使用(1)可得 a_n=-a_(n-3)=-(-a_(n-6))=a_(n-6)。(2) 这表明这个数列中的各项是以6为周期重复出现的。     

一道数学竞赛题的解法

题目:现有1990堆石头,各堆中石头的块数依次为1,2,…,1990.进行如下操作:每次操作可以选定任意多堆并从其中每堆都拿走同样数目的石块.问要把所有石块都拿走,最少要操作多少次?此题是第24届全苏数学奥林匹克十一年级试题(见本刊1991年第5期).现在给出一种简捷的解法.     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题 :实数x ,y满足 4x2 - 5xy +4 y2 =5,设S =x2 +y2 ,则 1Smax+1Smin的值为 .下面给出这道题的多种解法 .解法 1　由题设易知S =x2 +y2 >0 ,设x =Scosθy =Ssinθθ为参数 ,代入 4x2 - 5xy+4y2 =5,得 4Scos2 θ- 5Ssinθcosθ +4Ssinθ=5,所以sin2θ =8S - 105S ,于是有｜8S - 105S ｜≤ 1,所以1013≤S≤ 103,所以Smax =103,Smin =103,所以 1Smax+1Smin=310 +1310 =85.解法 2　由x ,y为实数可知 :x2 +y2 ≥ 2 ｜xy｜所以 - x2 +y22 ≤xy≤ x2 +y22 .又 4x2 - 5xy +4 y2 =5,得 5xy =4x2 +4 y2 - 5所以4x2 …     

一道数学竞赛题的简明解法

《中学数学》(苏州)1996年第7期第46-47页上刊登了1996年江苏省高中数学竞赛试题及解答,其中第五题的解法比较繁,下面提供一种简明的解法。     

一道数学竞赛题的解法探究

<正>2014年欧洲女子数学奥林匹克试卷中,有如下一道代数题:试求所有实常数t,满足:只要a,b,c是某个三角形的三边长,a²+tbc,b²+tca,c²+tab也是某个三角形的三边长。我们先来探索实数t的取值范围。不妨设a+b>c,根据对称性,猜想:     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题:实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则(1)/(Smax)+(1)/(Smin)的值为.     

一道数学竞赛题的多种解法

解决几何问题时,除少数简易命题外,大多都需添作辅助线。通过添作辅助线把已知关系的图形与要证明的同它有关系的图形聚集一处,使其产生联系。给出了一道竞赛题的10种解法,前6种方法构造正三角形,第7种方法是构造中垂线,第8种方法是利用角平分线,第9、10两种方法是利用对称的性质。     

一道数学竞赛题的多种解法

(1999年山东省初中数学竞赛)如图1,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延长交AC于E,已知AC：AB=R．求AE：EC．分析：由已知AC：AB=R,可求出BD：DC的值．根据Rt△ABD∽Rt△CBA,Rt△CAD∽Rt△CBA,可得AB2=BD·BC,AC~2=DC·BC,从而求得(BD)/(DC)=(AB~2)/(AC~2)=1/R~2,所以(BD)/(BC)=1/(1+R~2),然后再求AE：CE的值．我们知道要求比值,一般需借助于平行线,     

一道数学竞赛题的四种解法

题目已知:如图1:正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1,BC1,CA1为侧面对角线,AB1⊥BC1,求证:AB1⊥A1C.一、利用三垂线定理或逆定理     

一道数学竞赛题的几种解法

1999年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛中有这样一道赛题:在6点时,时针的分针和时针指向相反成一条直线。问最快要在什么时间,分针和时针再次指向相反成一条直线?(要求准确到秒)笔者在现场看学生答卷时发现,尽管“时钟问题”是数学竞赛中的常见问题,但是很多学生仍不能掌握其实质,只能根据直观估计出是7时5分,这当然是不符合要求的。下面为大家提供几种解法,仅供参考。分析:我们知道,时钟问题属于行程问题     

一道数学竞赛题的三种解法

1995年安徽省部分地市初中数学联赛试题中有这样一道填空题:     

一道初中数学竞赛题的新解法

<正> 题目如图1,在(?)ABCD中,P1、P2、…、Pn-1是BD的n等分点,连结AP2并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交CD于点F. (1)求证:EF∥BD; (2)设(?)ABCD的面积是S,若     

一道美国数学竞赛题的旋转解法

本刊1(80),5(81),6(83)讨论了下述一道美国数学竞赛题: 如果空间四边形(四顶点不共面)的两组对边分别相等,则两条对角线的中点连线垂直于两条对角线。反之,如果空间四边形两条对角线的中点连线垂直于两对角线,则四边形的两组对边相等。本文借助于旋转手段证明如下: 证明:1.如图。按题意交换A与C,B与D将得到同一空间四边形。而两四边形又可看作绕某一轴旋转180°得到。由A与C     

一道数学竞赛题的五种解法

<正> 题目已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8和a2+b2+c2+d2+e2=16的实数,试确定e的最大值. 这是美国第七届中学生数学奥式匹克竞赛的一道试题.下面,我给出这道题的五种解法,供各位同行和同学们参考. 解法1 用平均值换元法设a、b、c、d的平均数是k,又设     

一道美国数学竞赛题的多种解法

已知a、b、c、d、e是实数且满足a+b+c+d+e=8,a~2+b~2+c~2+d~2+e~2=16,试确定e的最大值。(美国第七届中学数学竞赛题) 解法一:判别式法 a+b+c+d+e=8 (1) a~2+b~2+c~2+d~2+e~2=16 (2)消去a得2b~2-2(8-c-d-e)b+(8-c-d-e)~2 +c~2+d~2+e~2-16=0因为b∈R,所以 (?)_1=4(8-c-d-e)~2-8[(8-c-d-e)~2 +c~2+d~2+e~2-16]≥0即3c~2-2(8-d-e)c+[(8-d-e)~2 -2(16-d~2-e~2)]≤0由于c∈R,因而关于c的二次函数的图象与x轴相交,所以 (?)=4(8-d-e)~2-12[(8-d-e)~2 -2(16-d~2-e~2)]≥0即4d~2-2(8-e)d+(8-e)~2-3(16-e~2)≤0又因d∈R,故关于d的二次函数图象与x轴相交,所以