2004年全国高中数学联赛加试题另解

第一题　在锐角△ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC =2 5,BD =2 0 ,BE =7.求AK的长 .解法 1 :易得CD =1 5,CE =2 4 .又易知B、C、D、E四点共圆 .由托勒密定理知CE·BD =DE·BC CD·BE .代入数据解得DE     

2004年全国高中数学联赛加试第一题解法探讨

例在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K.已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

2004年全国高中数学联赛平面几何题的几种解法

题目在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

2004年联赛加试平面几何题的解法讨论

2004年全国高中数学联赛加试第一大题为：在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB，AC于F，G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．     

30分钟智力冲浪

1 .如图 1 ,已知圆环内直径为acm ,外直径为bcm ,将 60个这样的圆环一个接着一个环套着环地连成一条锁链 ,那么这条锁链拉直后的长度为　　　　cm .图 1　　　　　　 图 22 .如图 2 ,已知△ABC中 ,AB=BC =CA ,点D ,E分别在边AB ,AC上 ,且AD =CE .若BE ,CD交于F ,则∠BFC =图 3图 4　　　　度 ,为什么 ?3 .如图 3 ,已知点M是△ABC底边BC的中点 ,过M点的两直线MD⊥ME且分别与AB ,AC交于点D ,E .试说明BD +CE >DE .　4.△ABC的三条高交于点H ,若∠A =70°,且H点不与点B ,C重合 .试说明∠BHC的度数是多少 ?5.说明 :如…     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

“所有三角形都是等腰的”

命题所有三角形都是等腰的. 显然,这是一个荒谬的命题.但有人“证明”它是成立的. 证明在△ABC中,如果AB=AC,则命题得证.如果AB≠ AC,作△ABc的∠A的平分线与BC边的垂直平分线交于E点(∵AB≠AC,∴DE与AE不平行).自E点作EF⊥AC于F点,EG⊥AB于G点.连结EC和EB.     

一道IMO预选题的探究

文[1]：在△ABC中,DE过A点且与BC平行,∠C、∠B的平分线分别交AB、AC于F、G;交DE分别于D、E,若DF=EG,求证：AB=AC．     

从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

利用三角形全等证明有关问题

利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证…     

垂心破解联赛加试题(高一、高二、高三)

题 在锐角三角形ABC中,AB边上的高CE与AC边上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长. 分析 用平面几何证法不易着手,观察图形,垂心是本图的一个特殊点,许多性质由垂心衍生出来.抓住垂心,可快速破解此题,可谓牵一发动全身.建立如图所示的直角坐标系.由已知B(7,0),C(0,24),     

2014年联赛加试平面几何题的证法探究

2014年全国高中数学联赛加试第二题为如图1，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作△ABC外接圆的切线BD、CE，且满足BD=CE=BC。直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G。设CF与BD交于点M，BG与CE交于点N，证明：AM=AN。     

以点带面 巧思转化——一道数学中考压轴题的分析与思考

<正>一、试题呈现（2022年徐州市数学中考第28题）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12，点P在边AB上，D,E分别为BC,PC的中点，连结DE．过点E作BC的垂线，与BC,AC分别交于点F,G两点．连结DG，交PC于点H.     

补形解证题

例1已知:AO是△ABC的∠A的平分线,BD垂直于AO的延长线,D是垂足.E是BC中点. 求证:DE=1/2(AB-AC). 略证:延长AC交BD的延长线于F.∵AD平分∠BAF,AD上BD,∴D为BF的中点,由E是BC中的点,得-AC=AB-AC,∴DE=1/2(AB—AC).     

一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

一个相似模型的应用

模型：如图1，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以D为项点作∠EDF，使∠EDF=∠B，并且∠EDF的一边与AB交于E点。另一边与AC（或延长线）交于F点，则有△BDE∽△CFD。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初299如图1,已知△ABC的内角平分线AD与BC交于点D,点E在AB上,且AE=AC,点,在AC的延长线上,且AF=AB,过点E、F分别垂直于AB、AC的直线与过点D垂直于AD的直线分别交于点P、Q,PG⊥BC于点G,QH⊥BC于点H.求证：BG=CH．     

探究一题多解 凸显思维过程——一道填空题的解法探究

<正>等边三角形是初中几何中重要的基本图形之一.本文通过对一道填空题多种解法的探究,深入讨论此类基本图形在解题中的重要作用.题目如图1,△ABC是等边三角形,点D是AB的三等分点,且BD/AB=1/3,点E是AC的中点,BE、CD交于点F,则∠EFC的正切值为.解决本题的关键是,利用已知E是AC的中点,由等边三角形三线合一性质得BE⊥AC,则∠FEC=90°.     

一道中考题的启示——2020年大连中考数学卷第25题第(2)问解析

<正>考题再现例1 (2020·辽宁·大连)如图1,△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,BE=CE,点G在线段CD上,CG=CA,GF=DE,∠AFG=∠CDE.(1)填空：与∠CAG相等的角是_____;(2)用等式表示线段AD与BD的数量关系,并证明;(3)若∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACD(如图2),求AC/AB的值.     

洞察结构明来路 回归本源知去路

<正>几何综合题是各地中考热点问题之一.下面举例介绍常见的解题策略.一、原题重现如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E分别在AB,AC的延长线上,点F在DE上,AF与BC相交于点G,FA=FD,连接BE,∠AFD=2∠ABE.