一类函数项级数的和函数及其分析性质之研究

本文对形如■这一类特殊的函数项级数的收敛域进行研讨，并研究和推导出其在收敛域上的和函数及其分析性质，得出十条重要公式。1函数级数的收敛域及其和函数显然函数级数的通项un（x）=[a＋（n－1）]xn－1是由等差数列通项a＋（n一1）d与等比级数通项xn－1之积所组成，那么，函数级数的前n项和Sn（x）的公式则为：在这里，主要运用了拆项分组构成等比数列，然后使用等比数列前”项求和公式。下面讨论函数级数的收敛域（1）当x=1时，原级数成为等差级数。由于，故原级数发散；（2）当|x|=1时，由公式（I）知．故原级数发散；故收敛归纳以上…     

一道高考概率题的思考历程

2014年江西省数学高考理科第21题如下： 题目随机将1，2，…，2n（其中n∈N^＋，n≥2）这2n个正整数分成A组和B组，每组n个数，A组最大数为a1，最小数为a2；B组最大数为b1，最小数为b2，记ξ=a1-a2，η=b1-b2．     

谈学生解不定方程容易出现的几种错误

解二元一次不定方程，我们有如下定理：设不定方程ax＋by＝c（a、b、c为整数且（a、b）＝1）有一个整数解x0，y0，则它的全部整数解可以表示成（，其中t为任意整数。学生在运用定理时，往往忽略定理的前提条件而盲目套用以上通解公式而造成错误。解题中学生容易出现的错误主要表现在：（1）忽略a、b、c是整数的条件病例：不定方程0．b－O．4y一2的一个整数解是X。一0，儿—－5，代入通解公式得该不定方dX一0．4t程的全部整数解为（t是整数。Iy＝5＋O．st（一0．4检查：显然，当t—1时，得（就不是原不定方程的整数解。这是由于没有把方程…     

碱基互补配对的一个"万能公式"

知识点“碱基互补配对原则”在“DNA分子结构与复制”一节中是一个重点，相关计算是一个难点，不少学生由于方法不当经常出现错误。众多教辅材料中有下列“公式”：①Aα=Tβ，Aβ=Tα；②Gα=Gβ，Gβ=Ga；③若α链中：（A＋G）／（T＋C）=m，则β链中（T＋C）／（A＋G）=m，（A＋G）／（T＋C）=1／m；④若α链中：A＋T=n％，则整个DNA分子中，A＋T=n％，C＋C=1-n％。     

应用乘法公式错例分析

乘法公式作为初中代数的重要基础知识之一，我们不仅要准确掌握，熟练记忆，还要会运用这些公式．初学乘法公式，有些同学由于对公式的理解不深，在运用公式时，稍不注意，就容易出错，现将几种典型错误举例归纳如下：例1计算：（1）（a＋2b）2；（2）（a－2b）2错解（1）（a＋2b）2＝a2＋4b2；（2）（a－2b）2＝a2－4b2．错误分析上述解法错误是由于对完全平方公式没有掌握好，（a±b）2展开后共有三项：a2±2ab＋b2，这里共有两项，缺少了乘积项．错误分析（m＋2n）（m2＋2mn＋4m2）的2mn项的符号为正片（“＋”），（m＋2n）（m2－4mn＋4…     

利用函数的定义解题

纵观近几年各省市中考试题．经常出现‘可而放走又何关的题n．解这类题目的关维是周g解和掌握各类闭数的定义：！．函数。，人。为J巴比例函数的条件是：勾（1）自变量。的指数是1；（2）比门东按k＋《I．2．函数＿、－一人。T人为～次m数的汗门’是：（1）e变盈。的指数是1；（2）比例系数A卞（》；（3）人为任意常数．。。k。。，、，，。，，，。、，－’。，3．函数、，一二二为反比例函数的条件是：（且咱变量。的指数是一1；（2）！七例系数A＋0．1．函数）一。l’－）l＋。为二次函数的条例。是：（l）系数a、0；（2）！〕变量。的…     

高等数学在解决初等问题中的应用

用高等数学知识来解决初等教学的有些问题很方便。比如：判断函数的单调性及利用函数单调性来证明不等式。例1判断函数f（x）＝Zx＋slllx的单调性。解：对f（亚球导数f,（x）＝2＋。＜0,故f（x浓卜co＋co）上是单调递增的。例。…加）＝＞的…””乙””—’——“’“’J＋十广“—”q—解：对人x）求导数f,（x）＝＝＝＝＝。。”＋“”－’”””“““”－”（f＋X＋l）2因（／＋X＋l）“＞0所以当X＞一步时f’（）＜0,当X＞一步时1（X）＞0””——”””～”‘——”一2—”“”～”””’”一2—““”～”—一故函数人J在（…     

是强调方程思想，还是突出向量方法？——谈“点到直线的距离”处理两难的教学设计

一、对教材的分析与思考 “点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容．作为直线方程和向量方法的应用，在上海教材中，点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C=0的距离公式的推导经过了以下过程：（1）作出点P到直线l的距离PQ；（2）利用向量的数量积以及｜PQ→｜=｜PQ→·n→｜/｜n→｜（其中｜n→｜是直线l的法向量），再利用Q点坐标满足直线l的方程，求出｜PQ→｜，得到公式d=｜ax0＋by0＋c/√a^2＋b^2｜．推导中有两个要点：一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换．     

完全平方公式变式的应用

完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，（a－b2=a2－2ab＋b2是《整式的乘除》一章的两个重要公式，除了直接用于计算两数和的平方，两数差的平方外，如果将它们适当加以变形，其用途更广泛，作用更大．下面将这两个公式的几种变式及其应用举例说明，借以开拓初一同学的解题思路，提高灵活运用知识解题的能力．变式1：a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a2＋b2=（a—b）2＋2ab．例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2＋b2，n=c2＋d2，则mn也可表示成两个整数的平方和，其形式是mn=________．（1986年全国初中数学联赛试题）（1992年“给云杯”初中数学邀请赛…     

初二(上)代数期考复习训练题

一、填空题：1·把一个多项式化为几个、的形式，叫做这个多项式的因式分解．2．3．4．分解回式a’一4ah＋4b’－c’可先分组为（）－（）；然后用公式，再用公式分解．5·若12X‘十户X－7一（X＋I）门ZX－7），则户一6．当X一时，分式一一一一一没有意义；当。一“—－”””“””We4”’“““””””—”一时，分式一7－－－一有意义．——－“”””—”ZH3’“”“”—～7．当X时，分式．1－－－，一的值是一1．—”——””““一ie＋2”“““不当一时，分式＿的值为零．———～——”’“”～N‘WZN7—““”””———一…     

(五)方程(组)与不等式(组)测试卷(A卷)

一、填空题（每空3分，共54分）；1．方程x2＝5x的解是；2方程x2-2x－4＝0的解是；3．方程x4－5x2－6＝0的解是；4方程的解是；5方程“’”“一【十3，’－2“””“—儿，s．方程xtwsx＋／7河南一ti的解是、；6方程X’一2人一8一0的解是、；7不等式K一2。＞3的解集是；8．不等式X’一4x－12＜0的解集是9．不等式军二＜l冬的非负整数解是；”“一3～3”“”「”“”’”“”10．若关于工的方程m’x’＋（Zm＋l）x＋l—0有两个不等实根，则m的取值范围是；11．已知方程（m－1）x’＋2（m－l）x＋2（。＋3）一0，当m一时，方程有两个相等实…     

活用导数意义求极限 巧破分离参数之难关

《中学数学教学参考》（上旬刊）2009年第1-2期高考频道栏目“2009年高考：我的优质训练题”征文选登中有这样一道题目： 题目 已知函数f（x）=x^2＋2z＋alnx． （1）若函数f（x）在区间（0，1）上恒为单调函数，求实数a的取值范围；     

初二(上)代数段考模拟试题

一、填空题（每空3分，共36分）：1.把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式因式分解2．因式分解的一般思考步骤是：（1）；（2）；（3）；（4）3.因式分解与整式乘法的关系是二、判断题（正确的打“”，错误的打“×”；每小题2分，共10分）：1．（x－3）（x－2）＝x2－5x＋6是因式分解．2．a2－6ab＋9b2＝（a－3b）2是整式乘法．3．把a2＋ab＋bc＋ca因式分解，得a2＋ab＋bc＋ca＝a（a＋b）＋c（a＋b）．4．把x4＋x2－20因式分解，得5．把ax2＋10axy＋25ay2因式分解，应先提公因式，然后应用公式法．三、把下列各式分解因式（每小题5分…     

“代数基本定理”的一个初等证明

1预备知识引理1实二次多项式有复根证：设f（x）ax2＋bx＋c为实二次多项式引理2设f（x）是闭区间[a，b]上的实连续函数，f（a）f（b）＜0，则f（x）在[a，b]中必有一个零点。推论1任一奇次实系数多项式都有一个实根。为了证明推论1，还必须引入两个引理。引理3设f（x）=a0x＋a1x-1＋…＋a．是一个实系数n次多项式，那末存在一个正实数N，使得对于满足条件c||＞N的实数C来说，以下不等式成立：证：设“是肝。肝卜。卜’”’，…冲最大数，我们取“”－’＋n，这个“’满足引理‘的要求。事实上，设c是一个满足条件k＞N的实数，那么…D·（…     

应用初一知识解竞赛题

下面这组竞赛题可以用初一上学期学过的知识来解．初一的同学们，请你开动脑筋．认真仔细地做一遍，然后对照后面的解答，看你能做对几道题，你的解法与这些解法一样吗？1．计算：（1992年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）2．计算：（1990－1991学年度武汉、重庆、广州、洛阳、福州初中数学联赛试题）3．化简：．（1991年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）5．若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a＋b=c，b＋c=d．c＋d=a，那么a＋b＋c＋d的最大值是（）（A）－1；（B）-5；…     

(六)方程(组)与不等式(组)测试卷(B)卷

一、填空题（每空4分，共40分）：1.方程的解是；2．若（X＋y－1）2＝0，则y一，／；＿＿＿，、＿、20‘，，＿＿3．方程（X’十打）一一一一一一8的解是——”———一H‘＋3H—”“‘”“’4不等式卜一4入＜9的整数解的和是＿＿；5若X；、X。是方程X’－6X＋4—O的响个根，则卜；－X；］一，X；’－X。’、；6．若一个一元二次方程的两个根分别是方程X’一SX＋13一0的两个根的3倍，则这个一元二次方程是；7．若方程x’＋x－6一O和方程x’一sx＋m一0有一个公共根，则m一二、单项选择题（每小题5分，共20分）：1．若方程kX’－4x＋2…     

(二)实数测试卷(B卷)

一、填空题（每空2分，共40分）：1．绝对值不大于ZH的整数共有．个，负整数共有．个，非负整数共有个；2．若一个数的相反数的倒数是2＋／i，则这个数是3．4－2N的平方根是，，／永正的平方根是，（－7）’的算术平方根是；｛一人与一1．732的大小关系是5．在实数Sin30”，C0545”，ig60o，Ctg45”，（ig45”＋28ill60o）（Siflgoo一ZC。S3O”），（－N）’，／天中，属于整数集会的数是属于有理数集合的数是，属于无理数集合的数是已用科学记数法表示199400，应为7．倒数是它自身的数是，相反数是它自身的数是，绝对值是它自身的数是…     

应用函数的定义解题

应用数学概念的定义解题，这是数学解题的方法之一．初三同学学习《函数及其图象》时，应学会应用国数的定义解题．在此，关键是理解和掌握各种函数定义的条件．1．函数y＝kxＣ为正比例函数的条件是：（1）自变量x的指数为1；（2）比例系数k≠0.2．函数y＝kx＋b为一次函数的条件是：（1）自变量x的指数为1；（2）系数k≠0，b可为任意常数．3．函数反比例函数的条件是：（1）自变量x的指数为-1；（2）比例系数k≠0.4．函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数的条件是：（1）系数a≠0;（2）自变量x的最高次数是2；（3）b、c可为任意常数．下面以近两年的…     

函数观点看数列

数列可以看成是一种特殊的函数,数列的通项公式an=f（n）和前n项和公式Sn=f（n）都可以看成n的函数,如：等差数列的通项公式an=a1＋（n-1）d=dn＋（a1-d）可以看成是n的一次函数,     

《有理数》自测题及自测指导

自测题（时间60分钟满分100分）1．判断（每小题3分，共18分）：（1）若a为有理数，则-a是负数．（）（2任何有理数的绝对值都大于零．（）（3）绝对值等于本身的数是正数．（）（4）若a是有理数，则a2＋1＞1．（）（5）任何有理数都有倒数．（）（6）若a＜0，a＞b，则．（6）若a＜0，b＜0，a＞b，则（）2．填空（每小题3分，共30分）：（1）－2．5的相反数是，倒数是，绝对值是．（2）绝对值小于5的负整数有个，整数有个．（3）数轴的三要素是（4）与的大小关系是（4）瞩）一号与一号的大小英条是一号一：．6“7”““””“—”””～6—…