构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,简捷地求得问题的解．一、构造“直线模型”例１已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ＝ - ２３,ｓｉｎα -ｓｉｎβ,求ｃｏｓ（α +β）与ｃｏｓα ＋ ｃｏｓβｓｉｎα ＋ ｓｉｎβ 的值．解 :因为点Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ,ｓｉｎβ)在单位圆ｘ２+ｙ２＝１上．所以直线ＡＢ的斜率ＫＡＢ＝ ｓｉｎα－ｓｉｎβｃｏｓα － ｃｏｓβ＝ - ３４．设直线ＡＢ的方程为 ｙ＝ - ３４ｘ+ｂ ,代入ｘ２+ｙ２＝１得 :２５ｘ２-２４…     

关于擂题(45)的对偶命题

《中学数学教学》2 0 0 1年第 4期“擂题 ( 4 5 )的评注”的文后刊出了王扬先生提出的关于擂题 ( 4 5 )对偶命题的一个猜想 :在△ＡＢＣ中 ,设ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 3,则ｓｉｎｎＡ ｓｉｎｎＢ ｓｉｎｎＣ≤ｃｏｓｎ Ａ2 ｃｏｓｎ Ｂ2 ｃｏｓｎ Ｃ2①事实上 ,以Ａ =Ｂ =ε,Ｃ =π -2ε代入①式 ,得2 ｎｓｉｎｎ ε2 ( 1 2 ｎｃｏｓｎε)≤ 2 ,分别令ε→ 0、ε→π/ 2 ,得 0 <ｎ≤ 2。因此 ,猜想不成立。本文提出并证明如下命题 :命题　设λ∈Ｒ ,0 <λ≤ 2 ,则ｓｉｎλＡ ｓｉｎλＢ ｓｉｎλＣ≤ｃｏｓλ Ａ2 ｃｏｓλ Ｂ2 ｃｏｓλ Ｃ2…     

擂台题(45,46)的评注

1　擂题 4 5的评注　　擂题 (4 5 ) (李建潮提供 )　注 :本刊 2 0 0 0年第 5期将本擂题作者姓名误为李建明 ,特此更正 )证明或否定 :在△ＡＢＣ中 ,有ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ ｃｏｓｎＣ≥ｓｉｎｎ Ａ2 ｓｉｎｎ Ｂ2 ｓｉｎｎ Ｃ2(ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 )①本擂题奖金获得者是吴善和 (福建省资源工业学校 ,3 64 0 1 2 )。现刊登吴善和先生的来稿 ,作为本擂题的解答。证明 :　根据待证不等式①关于Ａ、Ｂ、Ｃ的对称性 ,不妨设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,则π/3≤Ａ <π ,0 <Ｃ≤π/3。不等式①等价于ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ -2ｓｉｎｎ Ｃ2 ｃｏｓｎＣ ｓｉｎ…     

三角题解常见错误辨析

三角函数是中学数学重要内容之一 ,在高考命题中占有一定比重 ,就命题难度虽属中档偏下 ,但学生在解题中仍然出现许多错误 .本文收集了学生在三角题中常犯错误 ,加以辨析 ,以期找出错误根源 ,以防学生在解题中再次出现类似错误 ,使学生真正掌握三角函数知识 .1　忽视函数定义域而致误例 1　函数 ｆ(ｘ) =ｃｏｓ3ｘ-ｃｏｓｘｃｏｓｘ 的值域是(　　 ) .Ａ .(- 4 ,0 ]　　　　Ｂ .[- 4 ,0 )Ｃ .[- 4 ,0 ]　 Ｄ .[0 ,4 ].错选　由 ｆ(ｘ) =- 2ｓｉｎ2ｘｓｉｎｘｃｏｓｘ =-4ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｘｃｏｓｘ =- 4ｓｉｎ2 ｘ ,而 0≤ｓｉｎ2 ｘ≤ 1,…     

三角的几种转化策略评注

本文介绍对三角命题进行等价转化的一些常用策略 ,供读者参考 .一、和与积的相互转化例 1　求ｓｉｎ7° ｃｏｓ1 5°ｓｉｎ8°ｃｏｓ7°-ｓｉｎ1 5°ｓｉｎ8°的值 .解 :原式 =ｓｉｎ7° 12 (ｓｉｎ2 3° -ｓｉｎ7°)ｃｏｓ7° 12 (ｃｏｓ2 3° -ｃｏｓ7°)=ｓｉｎ2 3° ｓｉｎ7°ｃｏｓ2 3° ｃｏｓ7°=ｓｉｎ1 5°ｃｏｓ8°ｃｏｓ1 5°ｃｏｓ8°=ｔｇ1 5°=2 -3.例 2　已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足 :Ａ Ｃ =2Ｂ ,1ｃｏｓＡ 1ｃｏｓＣ =-2ｃｏｓＢ,求ｃｏｓＡ-Ｃ2 的值 .解 :由题设条件 ,得Ｂ =60° ,Ａ Ｃ =1 2 0°.　∴ 1…     

高一数学单元测试(两角和与差的三角函数)

一、选择题1 .ｓｉｎ2 π12 -ｃｏｓ2 π12 的值为 (　　 )　 (Ａ) -12 　 (Ｂ) 12 　 (Ｃ) -32 　 (Ｄ) 322 .已知ｃｏｓαｃｏｓ β+ｓｉｎαｓｉｎ β =0 ,那么ｓｉｎαｃｏｓβ-ｃｏｓαｓｉｎ β的值为 (　　 )　 (Ａ) -1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ)± 13 .已知ｆ(ｔａｎｘ) =ｃｏｓ 2ｘ ,则 ｆ -22 等于(　　 )　 (Ａ) -2 23 　 (Ｂ) 0　 (Ｃ) 13 　 (Ｄ) -14.化简1 +ｓｉｎθ-ｃｏｓθ1 +ｓｉｎθ+ｃｏｓθ等于 (　　 )　 (Ａ)ｔａｎθ　　　　 (Ｂ)ｃｏｔθ　 (Ｃ)ｔａｎ θ2 　 (Ｄ)ｃｏｔ θ25 .如果 1 -ｔａｎＡ1 +ｔａｎＡ…     

例说三角形形状的判定

三角形形状的判定 ,在数学竞赛或中考的题目中屡见不鲜 ,由于这类问题思路曲折 ,条件隐藏 ,灵活多变 ,因此 ,解答时 ,需要根据其特征 ,先用适当的方法 ,运用有关方面的知识 ,来确定边与边或角与角之间的关系。本文兹将这类问题的思路分类介绍 ,供同学们学习参考。一、根据非负数的性质例 1在△ＡＢＣ中 ,若 |ｓｉｎＡ - 32 | + |ｃｏｓＢ - 12 | =0 ,则△ＡＢＣ是　(　 )。Ａ、等腰三角形 ;　　　　　　　Ｂ、等边三角形 ;Ｃ、直角三角形 ;　　　　　　　Ｄ、等腰直角三角形。解 :由题设 ,根据非负数的性质 ,得ｓｉｎＡ - 32 =0 ,ｃｏｓＢ -…     

构造直角三角形解题例说

在处理某些数学问题时,根据题目的结构特征构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,常可使问题巧妙获解．本文仅根据解题实践中的积累,粗略地对此进行归纳试探,以做引玉之砖．１　利用锐角三角函数定义构造直角三角形例１　已知α、β、γ均为锐角,β＜γ,ｔｇα＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγｃｏｓβ－ｃｏｓγ,求证：ｔｇβ＝ｓｉｎα·ｓｉｎγｃｏｓα＋ｃｏｓγ．图１证明　根据题设构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使ＡＣ＝ｃｏｓβ－ｃｏｓγ,ＢＣ＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγ,∠Ａ＝α,如图１．∴ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝１－ｃｏｓβ·ｃｏｓγ．∵ｃ…     

这道题有毛病

在高三复习中 ,我们在一本资料上看到如下一道“典型例题” .学习中 ,我们发现该题存在很大毛病 .以下谈谈我们的看法 .原题 :已知外接圆半径为 6的△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,且Ｓ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 (ａ、ｂ、ｃ分别为角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边 ) ,ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 .求ｓｉｎＡ的值及Ｓ的最大值 .原解 :Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 -(ｂ -ｃ) 2 =ａ2-ｂ2 -ｃ2 + 2ｂｃ=2ｂｃ-2ｂｃｃｏｓΑ ,∴ 12 ｓｉｎＡ =2 -2ｃｏｓＡ ,∴ 1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,即ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ =43 ,即 ｂ2Ｒ+ ｃ2Ｒ=43 ,∴ｂ+…     

成果集锦

广义射影定理定理　在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是高 ,ＡＢ =ｃ,ＡＣ =ｂ.(1 )若Ｄ在边ＢＣ上 ,则ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2-ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 -ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ ;(2 )若Ｄ在ＢＣ或ＣＢ的延长线上 ,则ＡＤ2 ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2 ±ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ .证明 :(1 )当Ｄ与Ｂ或Ｃ重合时 ,等式显然成立 .当Ｄ在ＢＣ上时 ,如图 ,记∠ＣＡＤ =α ,∠ＢＡＤ =β ,则ｃｏｓＡ =ｃｏｓ (α β)=ｃｏｓαｃｏｓβ-ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤｂ ·ＡＤｃ -ＣＤｂ ·ＢＤｃ=ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤｂｃ .∴ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ｂｃｃ…     

高师数学中的充分和必要条件

数学教学中充分和必要条件是很重要的,在高师数学教学中应用充分和必要条件可以使一些复杂的定理,概念变得简单直观。虽然书本中没有直接给出充分和必要条件的关系式,但经过归纳总结可得一定规律。这种关系式在泛函分析,常微分方程等学科中,对正确理解和把握概念起作重要的作用。     

防卫过当的必然要件与选择要件

我国应该从防卫人的主观罪过上区分成立防卫过当时"明显超过必要限度"与"造成重大损害"之间的关系."明显超过必要限度"是成立防卫过当的必然要件,"造成重大损害"是成立防卫过当的选择要件.     

国情认识与国情教育关系论要

国情研究与国情教育是互为因果关系的。国情涵义的界定及研究为国情教育研究提供了科学的内容。国情教育也不是完全按照国情研究的成果进行教育,国情教育研究存在着一定程度的独立性,当国情教育内容与国情研究的客观实际不相符合时,国情教育就需要加以改进。国情教育不仅可以提高人们的国情意识,而且可以提高人们对国情分析重要性、自觉性的认识,同时又可以使人们科学地认识国情。国情认识与国情教育的辩证关系,表明国情教育研究的开展必须依靠客观国情的考察,而客观国情的考察则更是要通过国情教育为民众所知。     

最优化理论的Pshenichnii条件和Tuy不适合条件

本文证明了最优化原理的Pshenichii条件和Tuy不适合条件,并改进了Pshenichii条件.     

条件(PA)

对S-系的性质(PA)作出了进一步刻画，给出了循环S—系满足条件(PA)的充要条件。     

条件(P_A)

本文对S-系的性质（PA）作了进一步刻画，给出了循环S-系满足条件（PA）的充要条件．     

酉变换的特征条件

酉空间是复数域上的Euclidean空间，而酉变换是酉空间的一个重要工具，本文利用内积或长度给出了酉空间的变换为酉变换的若干个充要条件，并对教课书中已有的结论做了推广，得到了很有用的判定条件。     

优势条件与wh移位

借鉴Pesetsky的短语移位研究并参照Chomsky和Radford提出的最近吸引经济原则,wh移位可以分解为显性wh短语移位、隐性wh短语移位和wh特征移位。这三种wh移位的互为作用能在句法层面上对多元wh问句中的"优势效应"和"优势违背"现象予以全面的解释。     

Fan 型条件与泛连通性

设G是n(≥5)个顶点的简单图.本文证明了若对G的任意一对距离为2的顶点u,v都有max{d(u),d(v)}≥(n+1)/2成立,则G中任一对顶点x和y之间存在长为6到n-1的路.,Let G be a simple graph with n(≥5) vertices. In this paper, we prove that if G is 3-connected and satisfies that d(u,v)=2 implies max {d(u),d(v)}≥(n+1) /2 for every pair of vertices u and v in G, then for any two vertices x, y of G, there are (x,y)-paths of length from 6 to n-1 in G, and there are (x,y)-paths of length from 5 to n-1 in G unless G[(N)(x)]=G[(N)(y)]≌K4or K5, or G[(N)(x)],G[(N)(y)]are complete and (N)(x)(n)(N)(y)=φ.     

量子化条件与不确定度关系

物理学讨论系统某个物理量的本征态时,因为不确定关系的存在,通常会说与其对应的共轭量在这时将没有意义或完全不确定,但这是不符合物理真实的,量子化条件与不确定度关系的同时存在似乎是矛盾的,但我们认为任何物理系统的某个物理量的不确定度在确定条件下是确定的,量子化条件与海森堡不确定关系的共存提示了我们在有些问题中不仅应该考虑本征问题,同时还应该考虑其不确定性,从而得到更加符合物理真实的图像.