浅谈数学归纳法的逻辑依据和逻辑结构

数学归纳法是数学里一种基本的、重要的证明方法,了解它的逻辑依据和逻辑结构对于学好这种方法,培养学生观察分析能力,归纳假设能力、逻辑推理能力都有很大的帮助。 我们通常使用两种推理方法,一种是从一般到特殊的推理方法,即演绎法;另一种是从特殊到一般的推理方法,即归纳法。它们是完全不同的两种思维方式。 归纳法又分不完全归纳法和完全归纳法,而完全归纳法要求对每一个对象(所研究的某一类问题)都进行考察。 初等数学中的数学归纳法属于完全归纳法,是证明某些与自然数有关的数学命题的一种重要方法,必须对于任意的自然数都进行考察后才能对命题下结论。 它主要分二步: 第一步:验证当n取第一个值(例如n=1)时命题成立。 第二步:在当n=k时命题成立的假设下,证明n=k+1时命题也成立。 若以上两步均成立,就可下结论:对于任意的自然数,命题都成立。 由于学生很少遇到这类问题,常常怀疑这种证法是否有效,提出:为什么通过这样两步就能实现对一切自然数的验证呢?由于弄不清道理,只好死套格式,发生各种各样的错误。 如:1.用数学归纳法证明     

数学归纳法原理推广及应用举例

众所周知,数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的有效方法,但是我们往往会遇到一些很难运用第一数学归纳法来证明的命题.即用第一数学归纳法证明时,假设n=k时命题成立,很难推出n=k＋1时命题成立,     

关于与自然数有关的命题的两个问题

一、与自然数有关的命题是否都可以用数学归纳法证明? 高中代数(甲)第二册指出:“对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常采用下面的方法来证明它们的正确性,……这种证明方法叫做数学归纳法。”可见与自然数有关的命题并不是都可以用数学归纳法证明的。数学归纳法并非是“万应灵丹”。但是,如果教     

应用数学归纳法证题例举

数学归纳法是数学中一种重要的证题方法,常用来证明与自然数n有关的数学命题。用数学归纳法证明的一般步骤是: 第一步:验证当n取第一个值时,（如n=1或 n=2等）这个命题的结论是正确的。 第二步:假设当n=k（k为自然数时命题的结论正确。在这个基础上证明当n=k 1时,这个命题的结论正确。 数学归纳法中,第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可。 1.证明数列各项和的问题 证明数列各项和的问题时,可在归纳假设的两边,同加上第k 1项,然后用数学公式,对右边进行运算,     

有n未必要猜证

用数学归纳法证明有关自然数n的命题,是比较有效的,就因为这一点,许多同学形成了习惯思维,每当看到有关n的命题,首先想到的是用数学归纳法去猜证.却不知有些命题还可以用其他方法去处理,其他方法有时比用数学归纳法还要简单些.     

数学归纳法的归纳

在与自然数有关的数学命题的论证中,数学归纳法是一种重要的方法.它的依据是自然数的基本性质,即自然数有最小的数,无最大的数,且每个自然数后面都有一个后继数.用数学归纳法证明的步骤如下:(1)证明当n取第一个自然数n_0命题是正确的;(2)假设n取某一个自然数K(K≥n_0)命题正确,证明n=k+1时,命题也是正确的.由(1)与(2)可以断定,这个数学命题,对于任何n≥n_0的自然数,都是正确的.     

数学归纳法受阻时的处理策略

数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的重要方法．用数学归纳法证题的主要困难在于第二步,因由n=k时命题成立去证n=k 1时命题也成立往往需要一些技巧．有些命题用数学归纳法证明受阻时,只是由于我们使用方法不当,若能采取恰当的策略,数学归纳法就能顺利进行．下面以不等式的证明为例,给出数学归纳法受阻时的几种处理策略．     

浅谈数学归纳法及其运用

数学归纳法(也称完全归纳法)是证明与自然数有关命题的一种重要论证方法,也是数学证明中的一个强有力的工具,在研究线性代数以及其他数学分支中都经常要用数学归纳法.一、数学归纳法的陈述形式假设有一个关于自然数n的命题,它当n取第一个值n.(如n_0=1或2等)时,结论正确;又苦假设它当n=k时(k∈N,且K≥n_0)时、结论正确后,可以推出n=k 1时,结论也正确,则该结论对一切自然数都正确.     

运用数学归纳法要注意三个“未必”

数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种方法,在中学数学中占有重要地位.数学归纳法的一般步骤是:第一步,证明当 n=n_0时命题成立;第二步,假设当 n=k (k∈N,k≥n_0)时命题成立,在此基础上证明当 n=k 1时命题也成立.完成了这两步证明,即可断定命题对一切 n≥n_0的自然数均成立.运用数学归纳法     

运用第二数学归纳法经常出现的一个错误

在数学证明中常常要用到第二数学归纳法,它的叙述是第二数学归纳法原理:设有一个与自然数有关的命题.如果1~0当 n=1时命题成立;2~0假设命题对于一切小于 k 的自然数来说成立,则命题对于 k 也成立;那末命题对于一切自然数 n 来说都成立.     

数学归纳法浅谈

数学归纳法是数学证明中的一种重要方法,它适用于可以递推的有关自然数的命题,在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。 数学归纳法是通过如下两个步骤来证明某些与自然数n有关的数学命题的证明方法: (1)验证当n取第一个值(如n=1)时,命题为真; (2)假设当n=k(k∈N)时命题为真,证得当n=k+1时命题也真;     

谈谈数学归纳法的教学

由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常用下面的方法来证明它们的正确性:先证明当 n 取第一个值 n_0(如 n_0=1时,命题成立,然后假设当 n=k(k≥n_0),命题成立,证明n=k 1时命题也成立.就可以断定这个命题对于 n 取第一值及其后的所有的自然数也都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法,是我们数学证题中的一种重要的证题工具.对于数学归纳法,学生往往难以理解它的实质,对它的证题步骤往往是在形式上有所了解,     

数学归纳法教学初探

数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法。是通过有限次的验证、假设和论证，来代替无限次的事例的验证，达到严格证明命题的目的。也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。在教学中，发现有一部分学生不知道在什么情况下用数学归纳法；不会用数学归纳法证明命题；或者在证明过程中不能“自始至终”（即证明步骤不完全）；或者没有用到归纳假设，有的虽然按照数学归纳法的方法和步骤对命题进行了证明，也是照葫芦画瓢，没有真正理解了归纳法原理，对用数学归纳法所证明的…     

数学归纳法的多种“变着”形式

数学归纳法是数学中的重要证明方法之一。它用于证明与自然数有关的数学命题。无论是中学数学教学,还是学习高等数学,它都是培养学生思维、推理能力和创造、探索能力的好课题、好方法。在教学中,我们发现高中学生对教材中数学归纳法的基础知识学习,困难不太大,但对     

数学归纳法题例析

Ⅰ.命题趋势数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,主要有证明不等式、证明恒等式、求数列通项公式、数列求和等几方面的应用.数学归纳法单独考查的情况较少,而经常出现在与自然数有关的命题中,多以伴随着数列的通项或前n项和而出现数学归纳法的证明,这也是高考所考查的热点之一.此外,凡是与自然数有关的知识都可能成为与数学归纳法结合综合考查的内容.数学归纳法的考查隐蔽,主要突出数学意识的考查,即解题方法的寻找将是“问题解决”的突破口.值得注意的是,将数学归纳法与一些探索性的问题综合起来出现了一些非常新颖的题型.Ⅱ.解题…     

谈数学归纳法的另一种形式

高中课本数学第三册所介绍的数学归纳法又可称为第一数学归纳法,它是证明关于自然数命题的一种有效方法。但是对于某些关于自然数的命题,它却是无能为力的。为此有必要引入第二数学归纳法:对于自然数的命题,如果(1)能验证n=1时命题正确;(2)假设所有的n≤k时命题正确,能推出n=k 1时命题也正确,那么此命题对于一切自然数都成立(证明略)。 在证明由相邻两个结果的正确性可推出第三个结果的正确性的自然数命题时,又可变通使用第二数学归纳法。这时应该(1)验证n=1,2时命题正确;(2)假设n=k-1,k时命题正确,由此推得n=k 1时也正确。     

数学归纳法运用中的几个问题

数学归纳法是数学证明中常用的一种重要推理方法。它是建立在自然数性质的基础上。有相当一部分涉及自然数的命题,用数学归纳法得到简捷地证明。因该方法是从特殊到一般的推理方法,所以,用数学归纳法而得证的命题往往带有一般性的结论。常用的数学归纳法主要有二种形式。它们是:数学归纳法第一形式。设 P(n)是一个     

数学归纳法小议

本刊1986年第二期禹佳同志的《这是数学归纳法吗?》一文,从一个侧面纠正了一些错用数学归纳法的情形,十分必要。但文中关于“一个与自然数n有关的命题P(n),要证它对一切自然数n都成立,一般有两种证法,一是数学归纳法,另一是直接证法”的说法,笔者认为欠妥。因为文中所说“直接证法”的实质是什么并未点明。我认为凡是证明一个与自然数n有关的命题(以下简     

数学归纳法教学探究

数学归纳法是证明关于自然数n的命题p(n)的一种十分重要的数学方法,是一种神秘、奇妙的方法,从纵的方面看,它是归纳法的一种特殊的形式,它与递推方法、逆向推理方法等同属程序性方法;从横的方面看,它和正整数有关的某些不等式、等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题密切相关,应用数学归纳法解决这些问题给人一种奇妙的感觉.     

数学归纳法教学中的两个难点

数学归纳法是一种只涉及与自然数有关的命题证明的方法。由于自然数的无穷性,命题的情况不能一一枚举。因此命题的无穷性和归纳完整性发生矛盾,这种矛盾,数学归纳法是用n=n_0的奠基作用和k→k+1的递推作用来解决的。可是k+1的推证比较抽象,且需要用k的假设,故它的推证是难点。 k+1推证的难点有两,一是k+1的确定;二是k+1向k的转化。解决难点的方法,学生往往在k+1中苦思冥想,殊不知,解决这两