错在哪里

1题已知椭圆 x29 y25 =1 ,点A(1 ,2 )在椭圆内 ,点F是椭圆的左焦点 ,点M是椭圆上任意一点 ,求|MA| |MF|的最小值。解　由方程知a =3 ,c=2 ,e=23 ,左准线l:x =-92 。设M在l上的射影为N ,由圆锥曲线的统一定义 ,|MF|=23 |MN|,|MA| |MF|=|MA| 23 |MN|,所以当M、A、N共线时 ,取最小值。将 y =2代入椭圆方程得x =-3 55 ,此时 |MA| 23 |MN|=(1 3 55 ) 23 (92 -3 55 ) =4 55 ,所以|MA| |MF|的最小值为 4 55 。解答错了 !错在哪里 ?事实上 ,|MA| 23 |MN|=23 (32 |MA| |MN|) ,其中 |MA|的系数是 32 ,而 |MN|的系数是1 ,可见 |MA…     

步步深入 引人入胜 开发学生思维的创造性——一堂开放式教学课的尝试

一问题的提出在高三数学复习课教学中,我遇到了这样一个问题|z-i| |z i|=4(z ∈C),求|z-3~(1/2)|的最大值,容易将此问题转化为求椭圆x~2/3 y~2/4=1上到点(3~(1/2),0)距离最大值的问题,在参考答案中说由几何性     

联想·想象·猜想·证明

有这样一道习题: 已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆x~2/25 y~2/9=1内的点,M是椭圆上一个动点,求|MA| |MB|的最大值和最小值。 数学教学应是数学思维活动的教学。在解题教学中不仅要讲清“怎么做”,更重要的是使学生知道“为什么这样做”,只有这样才能从根本上使学生改变“听得懂,做不出”的状况,从而达到开发智力、培养能力的目的,据此,对于上面的题目,在教学过程中我们进     

轨迹的纯粹性不可忽视

《数学通报》88—2《高中数学复习探讨》一文P33例4: 已知椭圆方程x~2/4+y~2=1,过P(4,-2)作一直线l交椭圆于M、N两点,又Q点在直线l上,并且满足2/|PQ|=1/|PM|+1/|PN|。求Q点的轨迹方程。解:设过P点的直线方程为 {x =4+tcosθ y=-2+tsinθ(t为参数)代入椭圆方程得(cos~2θ+4sin~2θ)t~2+(8cosθ-16sinθ)t+28=0由2/|t|=1/t_1+1/t_2得Q点轨迹方程为:     

2020年北京卷解几题的推广

(2020年北京卷第20题)已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点A(-2,-1),且a=2b.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|PB|/|BQ|的值.     

一堂开放式数学课的尝试

1 问题的提出 在高三数学复习课教学中,我遇到了这样一个问题: 例1 已知|z-i| |z i|=4(z∈C),求|z-3~(1/2)|的最大值。容易将此问题转化为求椭圆x~2/3 y~2/4=1上的点到点A(3~(1/2),0)的距离的最大值的问题。参考答案中说由几何性质知为2×3~(1/2),但我不知有这样的性质。经深入思考分析,我意识到本题是一个好题,所以决定用开放式教学方法引出问题,进行尝试教学。     

一道课本习题的推广命题

正人教版高中数学选修4-4第26页习题2.1第3题是:已知:M是正三角形ABC的外接圆上的一点,求证:|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2为定值.笔者在研究此题的过程中,得到了下面一个有趣的推广命题.命题△ABC是椭圆(或圆)C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a0,b0)的内接三角形,且△ABC的重心是坐标原点O,M是坐标平面内的任意一点,则|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2-3|OM|~2为     

简约——数学解题追求的一种境界

简约,是数学之美,也应该成为我们解题所追求的一种境界.那么在数学解题中采取何种策略才能简化运算、优化过程呢?1.“回归定义”求简【例1】已知A(4,0),B(2,2)是椭圆x225+y29=1内的两点,M是椭圆上的动点,则｜MA｜+｜MB｜的最大值为,最小值为.解析:本题直接求解比较困难,这也不符合解填空题的思路,但我们注意到A点即为椭圆的右焦点,所以,借助椭圆定义作如下转化:如图,令椭圆的左焦点为F,则｜MA｜+｜MF｜=10,｜MA｜=10-｜MF｜,从而｜MB｜+｜MA｜=10+(｜MB｜-｜MF).所以,只要求｜MB｜-｜MF｜的最大与最小值即可.而最值显然是在M、…     

用圆锥曲线的定义求一类最值问题

各种数学资料中 ,经常出现如下一类问题 :点 M为圆锥曲线上一动点 ,求它到圆锥曲线的一个焦点 F和平面上一定点 A的距离和的最值 .大多数学生对这类问题感到困难 ,不知如何入手 .本文利用圆锥曲线的定义巧妙地求出这类问题 .1　椭圆、双曲线、抛物线中的有关结论1.1　椭圆结论 1　设椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b>0 )的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,平面上一定点 Q(x0 ,y0 ) ,M为椭圆上任意一点 .(1)定点 Q(x0 ,y0 )在椭圆内部 (即 x20a2 + y20b2<1) ,则 | MF2 | + | MQ|的最小值是 2 a -| QF1 | ;最大值是 2 a + | QF1 | .(2 )定点 Q(x0 ,…     

从一道例题引出的思考——谈圆锥曲线焦半径的单调性及其应用

问题 :已知椭圆 x22 5 +y216 =1的左右焦点分别是 F1 ,F2 ,点 M在椭圆上 ,且 M到两焦点的距离之积为 16 ,则 M的坐标为　　　 .题目本身并不难 ,由椭圆定义知 |MF1 |+|MF2 |=2 a=10 ,又由条件知 |MF1 |·|MF2 |=16 ,于是 |MF1 |=2 ,|MF2 |=8或|MF1 |=8,|MF2 |=2 .又椭圆的焦点到长轴两个端点的距离恰为 2与 8,因此 M是长轴的两个端点之一 ,于是 M的坐标应是 (- 5 ,0 )或 (5 ,0 ) .一个疑问 :长轴的两个端点固然满足条件 ,但除了这两个端点以外还有没有其它满足条件的点呢 ?上述解法并没有给出确切的答案 ,因此严格地说上述解法是…     

关于焦点三角形面积公式的推导与探讨

1　问题的提出引例　已知椭圆 x249+y23 6=1上一点 M与椭圆两焦点 F1 、F2 连线的夹角∠ F1 MF2 =90°,试求 Rt△ F1 MF2 的面积 .我们把这种由椭圆或双曲线上的一点 M与其两个焦点 F1 、F2 所构成的△ F1 MF2 称作焦点三角形 .略解如下 :由 |MF1 |+|MF2 |=14与 |MF1 |2 +|MF2 |2 =5 2可得 |MF1 ||MF2 |= 72 ,所以 S△ F1MF2 =3 6.2　问题的推广我们把引例中的∠ F1 MF2 =90°改为∠ F1 MF2 =θ,并考虑分别求关于椭圆与双曲线的这种焦点三角形的面积 ,可得如下结论 .结论 1　如果椭圆 x2a2 +y2b2 =1( a >b >0 )上一点 M与两…     

平面解析几何运算策略探究

一、活用定义圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征,用定义解题是减少运算量的一种基本方法.如在解决与焦半径有关问题时,或题目中出现准线、离心率等条件时,都可联系到定义.例1已知F是椭圆x²/16+y²/12=1的右焦点,A(-2,3^1/2)是椭圆内的一点,试在椭圆上求一点M,使|MA|+2|MF|.的最小.     

解几中最值问题的解法探究

<正>本文就解析几何最值问题的方法进行总结,希望给广大师生一些启发.一、利用函数观点1.对二次型函数用配方法例1已知椭圆C:x²/m2/m²+y2+y²=1(常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C上的右顶点,定点A的坐标为(2,0).(1)若点M与A重合,求曲线C的焦点坐标;(2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围.     

简化解析几何计算的若干策略

一、巧妙运用定义例1已知点F是椭圆x^2/25=1的右焦点,M是该椭圆上的动点,A（2,2）是一个定点,试求｜MA}＋5/4｜MF｜的最小值．     

错在哪里

1.湖北咸丰李永贵来稿题:过点B(0,-b)作椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的弦;求这些弦的最大值。解设M(x_0,y_0)为椭圆上任一点,由两点间的距离公式可得 |BM|~2=(x_0~2-0)~2 (y_0 b)~2=x_0~2 y_0~2 2by_0 b~2, ①因点M(x_0,y_0)在椭圆上,∴x_0~2=(a~2b~2-a~2y_0~2)/b~2,代入     

一道“难题”的解法剖析

<正>在2019年1月9日,笔者参与市里数学单科质量检查,注意到文科填空题的一道压轴"难题"的解答情况不容乐观.本文中,笔者结合日常教学的案例剖析如下,供大家参考.试题已知F是椭圆C:(x²)/4 +(y2)/4 +(y²)/3=1的右焦点,过原点的直线l与C交于M、N两点,则1/|MF|+4/|NF|的取值范围是.一、阅读理解,寻求突破如图1所示,根据椭圆的定义,得|MF|+|NF|=2a=4,若设|MF|=m,|NF|=n,则m+n=4.     

一类圆锥曲线最值问题的通解探究

近几年的高考常考查这样一类问题:求圆锥曲线上的动点M到一焦点F与一定点A的距离的最值.这类问题也屡见于高中课本和教辅书,呈现形式看似简练,有时解答起来却极为棘手,既要熟练掌握圆锥曲线的定义、性质,还需灵活运用转化与化归、数形结合等思想方法,对直觉思维能力的要求也较高.除了上海高中课本,各省市高中课本大多都介绍了圆锥曲线的统一定义,上述问题常会讨论|MA|+1/e|MF|(e是圆锥曲线的离心率)的最值,这样容易通过"化曲为直"来解决.     

2015年湖北高考(理)第14题的推广与简解

<正>题目已知A(0,2~(1/2)-1)B(0,2~(1/2)+1).过点A任作一条直线与圆O:x~2+y~2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①|NA|/|NB|=|MA|/|MB|;②|NB|/|NA|-|MA|/|MB|=2;③|NB|/|NA|+|MA|/|MB|=22~(1/2)中正确的结论有___.有些解析几何问题具有平面几何问题背     

有关圆锥曲线定值问题的几个结论

<正>题目如图1,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3¹/2/2,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与N.(1)求椭圆的方程;(2)求→TM·→TN的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP、NP分别与x轴交于R、S,O为坐标原点,求证:|OR|·|OS|为定值.     

对称在最值问题中的应用

当解有关解析几何中的综合题时,常遇到求极值的问题,有时需要应用点关于直线对称的性质,解满足以距离和最小或距离差的绝对值最大为条件的综合题.一、解以满足距离和最小为条件综合题我们知道,如果已知A、B两点在直线的同侧,如何在直线L上找一点M使|MA|+|MB|最小:可先求出点A(或B)关于直线L的对称点A′(或B′),连结A′B(或AB′),它与L的交点为M,则M必满足条件|MA|+|MB|最小.【例1】已知直线L:x-y+9=0,以椭圆x2+4y2=12的焦点为焦点,且过L上一点M的椭圆,使其长轴最短,求椭圆的方程.分析:从x2+4y2=12可知两焦点为F1(-3,0)和F2(3,0)…