R^n中向量的正交化

利用矩阵的第三种列初等变换，把R^n中任意一组线性无关的向量组化为正交组。     

Rn中向量的正交化

利用矩阵的第三种到初等变换,把R~n中任意一组线性无关的向量组化为正交组。     

n维线性空间中标准正交基算法的研究

给出了n维线性空间V中基向量组的标准正交化过程的新方法，这种方法仅仅采用列的初等变换的方法，该方法思路简洁，算法简单，计算机编程设计简单有效．     

矩阵的初等变换在线性代数中的应用

矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用．本文较详细地论述了矩阵的初等换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基等问题中的应用．     

如何确定n维向量组的线性关系

给定n个m维向量如引理二，则可经行的初等变换(或适当交换列)，求出它们的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。     

替换定理的一种新证法

借助于坐标矩阵,证明了若无关组{α1,α2,…αγ}可由向量组{β1,β2,…βs}线性表示,那么r≤s,并利用矩阵的初等变换证明了替换定理,同时给出了具体的替换方法.     

初等变换用法探析

初等变换尤其是初等行变换是线性代数中一种重要运算。本文通过实例论述了初等行变换作为一种有力的计算手段在求逆矩阵，求矩阵的秩，解线性方程组中的运用。进一步分析了初等行变换在求向量组的秩及其极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示的方法、步骤及注意事项。最后探析如何利用初等行变换求矩阵的特征根和特征向量的过程。     

如何确定n维向量组的线性关系

以上两引理的证明可见张禾瑞、郝炳新所著《高等代数》一书。定理: 给定n个m维向量如引理二,则可经行的初等变换(或适当交换列);求出它们的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。     

一种用初等变换求标准正交基的方法

设 a_1,a_2,…,a_n 是 n 维欧氏空间 V 的一组基,利用正交化方法可以得到 V 的一组正交基,进而求出 V的一组标准正交基。对于这一方法,不少教科书中都给出较为详尽的证明。本文借助二次型理论中的初等变换,给出一种较为直观、方便的计算方法,这种方法的依据如下:     

一个简便的向量组(矩阵)正交化方法

介绍并证明一个与施密特正交化方法等价的初等变换法模型。     

欧氏空间中的Gram矩阵及其应用

定义：设Ｖ是ｎ维欧氏空间，α；，…，αｎ是Ｖ中的向量组，β１，…，βｎ也是Ｖ中的向量组，我们规定： 用此定义对于解决欧氏空间中某些问题来得简单，直观易懂，特别牵涉到Ｇｒａｍ矩阵问题的解决更为简单，请看下列各例： 例Ｉｎ维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵。 证明：设ε１…εｎ和η１…ηｎ是Ｖ的两组标准正交基，且Ａ是ε１…εｎ到η１…ηｎ的过渡矩阵，那么有 亦即是 Ｅ＝ Ａ’Ｅ Ａ＝ Ａ’Ａ所以 Ａ是正交矩阵（证毕） 例２．ｎ维欧氏空间Ｖ的一个正交变换σ关于Ｖ的任意标准正交基的矩…     

非齐次线性方程组解的性质

提出并论证了ｎ元相容不定的非齐次性方程组无穷解集Ｑ的秩等于ｎ－ｒ＋１（ｒ为该方程组系数矩阵Ａ的秩）以及对于它的任意一个极大线性无关组α１，α２，αｎ－ｒ＋１，β＝ｎ－ｒ＋１∑ｉ＝１ｋαｉ为该方程组解的充要条件是ｎ－ｒ＋１∑ｉ＝１ｋｉ＝１从而进一步补充和完善了线性代数中对该方程组解集性质的研究。     

初等变换在化二次型为标准形中的应用

本文介绍一种只对矩阵作适当的初等变换就能快速化二次型为标准形的方法，同时可求出非奇异矩阵。     

矩阵初等变换在《线性代数》中的应用

矩阵初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。本文总结了初等变换在求逆矩阵、矩阵的秩、向量组的秩,求解线性方程组,以及标准正交基等问题中的应用。     

矩阵QR分解途径的研究

矩阵的QR分解可利用Householder矩阵变换、矩阵QR分解公式、对矩阵的列向量进行标准正交化以及对矩阵进行列初等变换等方法进行.     

求极大线性无关组的一点体会

设α_1,α_2,…,α_s为一组n维向量,α_i=(a_(i1),a_(i2),…,a_(in))。将矩阵(a_(ij))_(axn)化成阶梯形,如果将运算过程写在矩阵的右边,则由非零向量的个数可决定向量组的秩r,从零向量的个数可得s-r个等式,利用这s-r个等式,则容易解决下面的问题:(1)求向量组的极大线性无关组,其余向量用此极大线性无关组表出。(2)从已知线性无关组出发,扩充为向量组的极大线性无关组。今分述如下:     

矩阵初等变换的推广及其应用

初等变换对线性方程组与矩阵的研究都起了很重要的作用，向量组的初等变换的概念到目前为止还未曾见到，它是矩阵初等变换的推广。文章首先引入了向量组的初等变换的概念，然后研究了它的基本性质，最后给出了它在判定向量组的等价、判定向量组的线性相关性、证明秩的有关结论度替换定理的证明等四个方面的应用。     

初等变换在化二次型为标准形中的应用

本文介绍一种只对矩阵作适当的初等变换就能快速化二次型为标准形的方法,同时可求出非奇异矩阵.     

向量组线性相关性的判断法

在线性代数的学习中,对向量组的线性相关性进行研究,需要学生准确掌握线性相关和线性无关的基本概念,灵活运用有关的定理、结论。对于初学者来说,这部分内容不容易掌握。本文按向量组的不同情形,归纳了向量组线性相关性的一些判断方法。向量组只含一个向量的情形当向量组只含一个向量时,有如下结论:一个向量α线性相关,就是α=0;一个向量α线性无关,就是α≠0。这种情形比较简单。向量组含两个向量的情形当向量组含两个向量时,有如下结论:两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例;同时,两个向量线性无关的充分必要条件是它们…     

求标准正交基的矩阵初等变换法

在许多高等代数教材中,通常介绍的施密特(Schmidt)方法,使我们可以从欧氏空间 R~n 的任意一个基出发,求出一个正交基来,再单位化,求出一个标准正交基。本文给出一种运用矩阵初等变换,从欧氏空间 R~n 的任意一个基求标准正交基的方法,比较直接简单。设 a_i=(a_(1i),a_(2i),…,a_(ni)),i=1,2,…,n 是 R~n 任意一个基,以 a′为列向量构成矩阵 A=(a_(ii)),则 A′A 是一个 n 阶正定矩阵,必与单位矩阵 E 合同,即存在 n 阶可逆矩阵 Q,使得Q′(A′A)Q=E(1)即(Q′A′)(AQ)=E(2)(1)式说明,对矩阵 A′A 施行一系列的列初等变换(相应的初等矩阵的乘积为 Q)及一系列的行初等变换(相应的