等幂和问题的推广

华罗庚著数论导引第十八章Waring问题及Prouhet—Tarry问题中关于等幂和问题曾提出下面的一个递推公式。 若正整数x_1,x_2,…x_s,y_1,y_2,…y_s适合 x_1 x_2… x_s=y_1 y_2 …y_s x_1~2 x_2~2 …x_s~2=y_1~2 y_2~2 …y_s~2 x_1~k x_2~k … x_s~k=y_1~k y_2~k … y_s~k则 1≤h≤k 1如由 1 4=2 3 令d=4得 1 4 6 7=2 3 5 8 1~2 4~2 6~2 7~2=2~2 3~2 5~2 8~2 再令d=8得1 4 6 7 10 11 13 16=2 3 5 8 9 12 14 151~2 4~2 6~2 7~2 10~2 11~2 13~2 16~2=2~2 3~2 5~2 8~2 9~2 12~2 14~2 15~21~3 4~3 6~3 7~3 10~3 11~3 16~3=2~3 3~3 5~3 8~3 9~3 12~3 14~3 15~3 本文将对更加广泛的等幂和问题提出下面的引理和定理: 引理1:设存在一组整数x_11,x_12,x_1n。     

斐波那契多项式的若干性质

(x 1)~n(x≠1)当n=0,1,2,3…n的展开式为: (x 1)~0=1 (x 1)~1=x 1 (x 1)~2=x~2 2x 1 (x 1)~3=x~3 3x~2 3x 1 (x 1)~4=x~4 4x~3 6x~2 4x 1 (x 1)~5=x~5 5x~4 10x~3 10x~2 5x 1 (x 1)~6=x~6 6x~5 15x~4 20x~3 … (x 1)~7=x~7 7x~6 21x~5 35x~4 … (x 1)~8=x~8 8x~7 28x~6 56x~5 … (x 1)~n=C_n~0x~n … C_n~mx~(n-m) … 1 以上面展开式中斜上方向上的各项构成新的多项式:     

关于凸五边形的一个不等式

定理 设A_1A_2…A_5是凸五边形,记A_iA_(i 1)=a_i,A_iA_(i 2)=m_i(i=1,2,…,5约定A_6=A_1,A_7=A_2),则 sum from i=1 to 5m_i~2相似文献   

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,     

构造“零值代换”求代数式的值

构造“零值”代数式,解一类条件代数式求值问题,整体意识强,简捷明快、现举例说明.例1 已知x=2-5~(1/5),那么x~4-8x~3+16x~2-x+1的值是(?).(第六届“希望杯”初二数学竞赛题)解∵x=2-5~(1/5),∴2-x=5~(1/5).两边平方,整理得x~2-4x-1=0.∴x~4-8x~3+16x~2-x+1=x~2(x~2-4x-1)-4x(x~2-4x-1)+(x~2-4x-1)-x+2=-x+2=5~(1/5)     

复数解题的常用技巧

复数是高中数学中涉及面广,知识跨度大的内容,它具有综合代数、三角、几何为一体的特点。是研究图形变换和求轨迹的有力工具,应用十分广泛。要学好复数,除要理解复数有关概念外,还要熟练地掌握出复数解题的常用技巧。 1.利用i的性质 常用下列代换:1=-i~2=i~4,（1±i）~2=±2i, (1±i)~4=-4,1/i=-i,（1 i）/（1-i）=i及b ai=i(a-bi)=-i(-a bi)等。 例1 计算[（5~（1/2） （5i)~（1/2）)~2(3-4i)]/(4 3i) 解 原式=[5 5~（1/2）(1 i)~2(-i)(4 3i)]/(4 3i) =-5(5i)~（1/2）(2i)(1 i)=10 5~（1/2） 10(5i)~（1/2）.     

用特殊值法解选择题

为避免繁琐的计算和推证,选择题常可用“特殊值法”来解.例1 1+3+5+7+…+(2n-1)的值等于().(A)n~2 (B) (2n-3)~2 (C) (2n-1)~2 (D) 4n~2分析用特殊值法,不妨取 n=2,此时1+3+5+7+…+(2n-1)应是1+3=4,又n=2时,n~2=4,(2n-3)~2-1,(2n-1)~2=9,4n~2=16,故选 A.     

关于一个整除性问题

先观察一例:若n为非负整数,则3~(4??+2)+5~(2n+1)能被14整除. 证明:由二项式定理(a+b)~n=am+b~n,(m∈N)则3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5·25~n =9·(56+25)~n+5·25~n =56m_1+9·25~n+5·25~n(m_1∈N) =14m_2+14·25~n(m_2∈N) =14(m_2+25~n)=14m_3.(m_3∈N) 故3~(4n+2)+5~(2n+1)能被14整除. 考察3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5.25~n有     

数学奥林匹克高中训练题(12)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.在数3~8,4~7,5~6,6~5中,最大的一个是( )。 (A)3~8 (B)4~7 (C)5~6 (D)6~5 2.设z_1=1 i,z_2=2 i,z_3=3 i。则 arg(-10(3~(1/2)) z_1z_2z_3)等于( )。     

等比数列求和公式一个推论的应用

等比数列前n项的求和公式的推论: (a-b)(a~(n-1)+a~(n-2b)+…+b~(n-1))=a~n-b~n以及它的特殊形式: (1-q)(1+q+q~2+…+q~(n-1))=1-q~n都是因式分解的重要公式,而因式分解则是解题(如求值,证明等)的重要手段,以下各例,可以说明。例1 分解因式X~(12)+x~9+x~6+x~3+1(1978年全国数学竞赛决赛题) =(x~4+x~3+x~2+x+1) (x~8-x~7+x~5-x~4+x~3-x+1) 例2 已知ω=e~((2π/5)i),求1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16)之值。解原式=((1-ω~4)(1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16))/1-ω~4 =(1-ω~(20))/(1-ω~4)=(1-(ω~5)~4)/(1-ω~4) ∵ω~5=(e~((2π/5)i))~5=e~(2πi)=1 ω~4=e~((8/5)πi)≠1 ∴原式=0 例3 求能使2~n-1被7整除的所有正整数n。(第六届国际数学竞赛题) 解分二种情况讨论。 (1)如果n是3的倍数,我们设n=3k(k为正整数),这时     

第二讲 式的恒等变形常用的技巧

进行式的恒等变形时,常用到下面的技巧。一、同加、同减例(1) 已知(a+b)~2=7,(a-b)~2=3,求a~4+b~4的值。解:将(a+b)~2=7,(a-b)~2=3两式分别相加、相减得: 2(a~2+b~2)=10,4ab=4。即 a~2+b~2=5,ab=1 ∴ a~4+b~4=(a~2+b~2)~2-2a~2b~2=5~2-2×1~2=23。例(2) 设a>0,b>0,a~2+b~2=7ab,求证: lg[1/3(a+b)]=1/2(lga+lgb)。解:a~2+b~2=7ab等式两边同加上2ab得: (a+b)~2=9ab。即((a+b)/3)~2=ab,     

一类代数式求值问题的研究

在初中数学竞赛中,常出现一类代数式求值问题,如: (1) 已知x=2-3~(1/2),求x~4-5x~3+6x~2+5x的值。(1986年上海市初中数学竞赛试题) (2) 若x=(5~(1/2)-1)/2,则x~4+x~2+2x-1=____。(第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题) (3) 已知x=(111~(1/2)-1)/2,求多项式(2x~5+2x~4-53x~3-57x+54)~(1989)值。(1989年浙江省初中二年级数学竞赛试题) (4) 已知a=(22~(1/2)+5~(1/2))/(5~(1/2)-2~(1/2))求值:a~5-7a~4+6a~3-7a~2+11a+13。(第三届求是杯数学竞赛初二试题) (5) 当x=3~(1/2)-1时,代数式 (x+4)/(x~3+6x~2+5x-3~(1/2)-15)的值是多少?(88—89学年度广州、福州、武     

关于(λ~5-4λ~3+λ~2+4λ,λ~2-2λ+1,λ)—Ⅰ型循环拟差集

利用不定方程y~2=x~3-2X+1及y~2=X~3-4x+1的结果,将得到:若存在(λ~5-4λ~3+λ~2+4λ+4λ,λ~3-2λ+1,λ)——Ⅰ型循环拟差集,则λ只取有限几个值.     

一道概率题“不同解法”的商榷

北京市西城区2007年5月份抽样测试题的第15题,曾先后在多种出版物上出现,其不同的版本上的解法各不相同,为避免该题解答的混乱状况,现就此题以及此类问题的不同解法进行分析.问题有6件产品,其中含有3件次品,现逐个抽取检查(不放回),求:(Ⅰ)前4次恰好查出两件次品的概率;(Ⅱ)设查出全部次品时检查产品的个数为ζ,求ζ的分布列与数学期望.解答:(Ⅰ)P=(C_3~2C_3~2A_4~4)/A_6~4=3/5.第(Ⅰ)问的解法没有问题.以下就第(Ⅱ)问的不同解法进行分析.解法1:有两种出版物上的解法如下:当ζ=3时,即在6次抽查中,前3次就查出全部3件次品,或前3次查出全部3件正品,均视为检查出全部3件次品,∵P(ζ=3)=A_3~3/A_6~3×2=1/10;同理,当ζ=4、5时,有P(ζ=4)=(C_3~2A_3~3C_3~1)/A_6~4×2=3/10;P(ζ=5)=(C_4~2A_3~3C_3~2A_2~2)/A_6~5×2=3/5;∴ζ的分布列为     

巧用韦达定理的逆定理

有些数学题不是从方程求解形式提出,但若能设法对某些条件变换成两数和与两数积,然后用韦达定理的逆定理来布列方程求解,使问题得到解决。 [例1] 若x=2-3~(1/2),求x~1-5x~3 6x~2-5x的值。显然,这题直接代入计算是很繁的,若根据一元二次方程根的性质,由x=2-3~(1/2)可知x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2),一定是某一元二次方程的两根,巧用根和系数关系定使解题简捷。解由根与系数关系可知,x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2)是方程x~2-4x 1=0的两根, ∴ x~4-5x~3 6x~2-5x=(x~2-4x 1)(x~2-x 1)-1=0。 (x~2-x 1)-1=-1。例2 已知实数a、b、c满足:a=6-b,c~2     

初三数学综合测试题

一、填空题 (1)(2~(1/2)—1)~3=____,16的平方根等于____。 (2)用科学记数法表示:1995=____。 (3)如果a和b互为相反数,那么a b=____;如果a和b互为负倒数,那么a·b=____。 (4)在实数(5/11),8~(1/2),-9~(1/2),0.333…,1.414,π中,有____个无理数。 (5)分解因式:4m-m~3=____。 (6)如果a/3=b/4=c/5,那么a/b=____,     

一道国际竞赛题的解答及其推广

一九八七年美国第五届数学邀请赛(AIME)试题中有这样一道题:计算 [(10~4 324)(22~4 324)(34~4 324)(46~4 324)(58~4 324)]/[(4~4 324)(16~4 324)(28~4 324)(40~4 324)(52~4 324)] 解:考虑10~4 324=324(10~4/324 1)=324[4×(5/3)~4 1] 而4n~4 1=(2n~2-2n 1)(2n~2 2n 1) ∴10~4 324=324××=4×29×89同理,22~4 324=4×185×317,34~4 324=4×485×689 46~4 324=4×929×1205,58~4 324=4×1517×1865 4~4 324=4×5×29,16~4 324=4×89×185 28~4 324=4×317×485,40~4 324=4×689×929 52~4 324=4×1205×1517     

数学日历参考答案

初二 5月1日 5(1 2)/(4-3)=1 2 4 3 5. 5月2日 2~(55)=(2~5)~(11)=32~(11),3~(44)=(3~4)~(11)=81~(11)=,5~(33)=(5~3)~(11)=125~(11),6~(22)=(6~2)~(11)=36~(11),则2~(55)<6~(22)<3~(44)<5~(33). 5月3日 8880. 5月4日 13-2(3)~(1/2). 5月5日 C. 5月6日 11112222=3333×3334,故较大的数是3334.     

要区别条件不等式的证明与条件极值问题——兼谈对符号“≤”的理解

由四川人民出版社出版的前苏联A·b·瓦西里夫斯基著的《中学数学解题训练》中有这样一道习题:证明:若a b C=1,则(4a 1)~(1/2) (4b 1)~(1/2) (4c 1)~(1/2) ≤5书中是这样证明的:(4a 1)~(1/2)=((4a 1)·1)~(1/2)≤((4a 1) 1)/2=2a 1,类似可得(4b 1)~(1/2)≤2b 1,(4c 1)~(1/2)≤2c 1.则有(4a 1)~(1/2) (4b 1)~(1/2) (4c 1)~(1/2) ≤2(a b c)十3=2×1十3=5.应该指出.这道习题和证法都是正确的.但是,若把这道题改为:若a十b c=1,     

一赛题的多种解法

1985年上海市初中数学竞赛题: n为自然数,且9n~2 5n 26的值是两个相邻自然数之积,求n。一根据两相邻自然数相差1的特征构造等式及转化方程。解法一设这两个相邻自然数分别为x(x 1)则(x 1)-x=1,两边平方并整理,得 x(x 1)=1/2[(x~2 1)~2 x~2-1)] =9n~2 5n 26 =1/2[(3n 1)~2 (3n)~2 4n 51] =1/2[(3n 2)~2 (3n 1)~2-8n 47] =1/2[(3n 1)~2 (3n 2)~2-20n 39] 由此得关于n的一次方程:4n 51=-1;