利用“单位向量”特性破解一类数学问题

向量是高考中的热点问题,其重要性不言而喻．作为有特殊意义的单位向量,其价值更是不容忽视．对于“单位向量”,教材中仅给出了“长度等于1个单位长度的向量叫单位向量”的描述性定义．而对于单位向量在解决相关问题中的作用却未曾提及．经过研究,笔者发现单位向量与角平分线有着密切地关系,并进行了解题尝试．     

谈单位向量

模为1的向量称为单位向量,通常e表示．因方向不同,单位向量有无穷多个但它们的长度均为1;向量a（a≠0）的单位向量是a/｜a｜,因为它能为;向量a（a≠0）的单位向量是告,因为它的方向与向量相同,所以单位向量a/｜a｜是唯一的．对于单位向量,它的一些性质是应该知晓的,这有利于解题．比如：     

例谈单位向量的应用

我们知道：若｜→e｜=1,则称→e为单位向量．一般地，与非零向量→a共线的单位向量为±→a/｜→a｜.     

单位向量的解题功能

所谓单位向量即模等于1的向量．正是由于它的简单,其解题功能往往被忽略．其实灵活的运用单位向量解题常常会收到意想不到的效果．下面举例作出说明．     

单位向量的妙用

对于单位向量,教材中虽然给出“长度等于1个单位长度的向量叫单位向量”这个定义,但是忽略了它的解题功能．本文结合实例,说明单位向量在向量投影、角平分线、余弦恒等变换、三角函数求值这四个方面的独特应用．     

特殊向量的魅力展示

在平面向量中,有零向量、单位向量、相等向量、平行向量、垂直向量等几类特殊向量,它们在各自相关问题中发挥着特殊的作用,在解题中,若能灵活地运用它们,不仅能迅速找到解题的切入点,而且还能优化解题过程,提高解题速度．     

平面的法向量及其应用

新教材第二册（下B）给出了这样一个概念：如果α^→⊥α,那么向量云叫做平面α的法向量．课本仅给出了这个概念,在其例题、课后练习、习题中均未涉及对此概念的进一步研究;但是利用平面的法向量（或单位向量）解决有关立体几何中空间的角和距离问题时,减少了辅助线添加,避开了一些较复杂的空间想象,降低了解题的难度,     

对单位向量定义的考证与认识

1 引子：近日,笔者听了H老师的“向量的概念及表示”一节课,当解释“若a和b都是单位向量,则a=b”这个命题为何是假命题时,H老师说：“根据单位向量的定义,我们可以用这么长（教师用两手比划了一个距离）的向量为单位向量,也可以用这么长（教师两手间的距离变化了一下）的向量为单位向量,所以单位向量的长度不一定相等,因而这个命题是假命题．”     

巧用单位向量解题

单位向量是一类特殊的向量.教科书上定义单位向量是长度等于1个单位长度的向量,其方向随具体问题而定.如果熟练应用单位向量,可以起到事半功倍的效果.例1已知b的方向与a=(-3,4)的方向相同,且|b|=15,求b.分析已知|b|,要求b,只要求b的单位向量(即与b同向的单位向量)就行了,于是联系到a的单位向量,问题马上迎刃而解.解设a的单位向量为e,则e=|aa|=-53,54,∵b与a方向相同,∴b=|b|·e=15-53,54=(-9,12).∴b=(-9,12).例2如图1所示,已知平行四边形ABCD,AB=a,AD=b,DE是AB边上的高,求向量DE.分析要求DE,只要求AE.AE就是AD在AB上的射影,AE的…     

平方法--向量转化的“梦工厂”

1．长度问题 例1 已知a,b是单位向量,a·b=0．若向量c满足｜c-a-b｜=1,求｜c｜的取值范围。     

借助单位向量优化解析几何的运算

单位向量和其它向量一样既有代数方面严密准确的特点,又具有几何方面直观形象的优势,但作为一种特殊的向量,又有着区别于其它向量的许多美好的特性,尝试运用单位向量这些特有的性质去解决解析几何问题,可以减少一些问题的运算量,起到化难为易的作用.     

“向量”复习不可忽视的二点

一理解基本概念1.零向量长度(或模)为0的向量称为零向量,记作0,0的方向是不定的,即它的方向是任意的,所以规定0与任意方向的向量平行.由于零向量的特殊性,故在解答有关向量的问题中,要注意题中是“零向量”,还是“非零向量”.2.单位向量长度(或模)等于一个单位长度的向量叫做单位向量.如,向量(AB|→)的单位向量为(?).又如,与一个非零     

单位向量的妙用

我们知道,长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.对任意一个非零向量a,令e=a/|a|,由于|e|=|a/|a||=|a|/|a|=1,且1/|a|>0,故e是与a同向的单位向量.显然,a=|a|e.因此,求解一个向量,只要我们找到与其同向的单位向量,再根据它的模,就可以确定该向量.下面举例说明单位向量在求解向量中的作用.     

巧用单位向量相等解题

设而、元是两个单位向量,则赢↑→m·↑→n=cos〈↑→m,↑→n〉．若又有↑→m·↑→n=1,则↑→m=↑→n．利用这个结论合理构造单位向量,可以解决一类求值问题．     

平面法向量的进一步研究

在试验(修订)教材第二册(下B)给出了这样一个概念：如果α^→⊥α，那么向量α^→叫做平面α的法向量．课本仅给出了这个概念，在其例题、课后练习、习题中均未涉及对此概念的进一步研究，但是利用平面的法向量(或法单位向量)解有关立体几何中空间的角和距离等问题时，将更能体现出教材(下B)的特点．下面就有关的问题作一些探讨．     

单位向量的几点注记

众所周知,如果教师对概念的理解和认识仅停留在教材对概念表面的描述上,而不去进行深入的研究,教学中就不可能做到深入浅出、重点突出．这就必然会影响学生对这一基本概念的深刻理解,也就不可能做到灵活运用这一概念去解决问题,在解题时往往会出现审题困难、读不懂题目的状况．向量是高考中的热点问题,其重要性不言而喻,其中作为有特殊意义的单位向量,其价值更是不容忽视．下文是笔者对单位向量内容的几点认识．     

应用单位向量定义的深层理解巧解题

单位向量是向量的一个重要概念,本文例谈对它的深层次理解巧解题. 1 应用单位向量定义从数上来深层次理解巧解题     

用向量方法求函数值域或最值

近几年来，向量越来越被人们所重视．因为向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．对某些代数问题，如求函数的最值或值域，如果能巧妙地构造向量，便能将其转化为向量问题．     

也谈单位向量的应用

单位向量是模为1的向量，它有性质：(1)若α^→≠0，则α^→/|α^→|是单位向量；     

妙用圆的性质求向量最值

1．利用圆的割线求最值例1已知a,b是单位向量,a·b=0．若向量c满足｜c-a-b｜=1,则｜c｜的取值范围是（）