转化思想在高中数学解题中的应用分析

<正>纵观近年来的高考可以看出,试题对数学思想方法的考查极为重视。在高中数学解题过程中,将问题由一种形式转变为另一种形式,从而实现知识与方法的迁移,这就是转化思想的本质。在数学难题中有效运用转化思想,可以实现复杂问题简单化,帮助同学们深入理解、有效应用数学知识,顺利解决问题。下面结合实例对转化思想在高中数学解题中     

2013年湖南省高考数学第10题解法赏析

对于满足一定条件的多元式最值问题,只要我们仔细斟酌、认真推敲,不难找到解决问题的多种方法,这正是高考所要考查学生的数学思想方法．题目 （2013年湖南省高考第10题）设a、b、C∈R,a＋2b＋3c=6,则a^2＋4b^2＋9c^2的最小值为____．这是一道结构对称、形式优美且富有挑战性的试题,蕴含着多种解法,下面笔者给出11种不同的解法,仅供参考．     

运用整体思想解题例析

运用整体思想解题，是指解题时把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而触及问题的本质，达到求解的目的．它是数学解题中一个极其重要的策略，是提高解题速度及效率的有效途径．现和初一同学谈谈这一思想在解题中的应用．例１计算（１＋１２＋１３＋１４）（１２＋１３＋１４＋１５）－（１＋１２＋１３＋１４＋１５）（１２＋１３＋１４）．（１９９０年全国少年数学邀请赛初赛试题）解设１＋１２＋１３＋１４＝a，１２＋１３＋１４＝b，则有a－b＝１，将其代入原式，有原式＝a（b＋１５）－（a＋１５）b＝ab＋１５a－ab－１５b＝１５…     

逆向运用 妙解生辉

学习了分式加减运算法则,同学们对法则的正向运用比较得心应手,而对法则的逆用却不习惯．其实,有许多问题,逆用分式加减运算法则,常能得到巧妙的解法．一、用于化简故选A．二、用于求值例2若ah－2＋（b－l）‘二0,试求十十＿＋＿＋…＋＿的值．“’—””—－’—““～’－““ah（a十1）（b＋l）（a＋2）（b＋2）’（a＋1996）（b＋ITh）“““”门ops年长春市初二数学竞赛试题）解…lab－ZI＋（b一小一0,由非负数的性质,得ah－2＝0且hi＝0．故a二2,b二1．代人求值式,得三、用于证明恒等式四、用于求最值（l”3年全国初中数学…     

注重等价转化思想 提高数学解题能力

<正>数学问题解决的过程,实质上是一种思维活动的转化过程.等价转化思想是数学教学和数学学习中重要的思想,历年数学高考试题中,等价转化思想处处可见,是高考考查的重点.我们要在教学中不断培养和训练学生的转化意识,这将有利于强化解决数学问题的应变能力,提高解题能力和应试技能技巧.下面通过合理转化,倡导理性思考;大胆联想,化陌生为熟悉;一般问题特殊化,向量     

以三次函数为载体的考题的特点

随着高中数学新课改的日益推进,三次函数f（x）=ax^3＋6x^2＋cx＋d（a,b,c,d均为实数且a≠0）已逐步渗透高考之中．以它为设计情境的试题,其背景独特,考查同学们的数学思想、数学思维以及综合运用知识分析、解决问题的能力;     

研析高考真题探索转化策略

化归与转化思想是中学数学最基本的思想方法,它渗透到数学学习内容的各个章节和解题过程的各个环节．随着高考试题由知识立意向能力立意的转变,近几年的高考加强了对化归和转化思想的考查,同学们在解题时往往感到无所适从,化归与转化有名无实．本文通过对近几年高考真题的研析,帮助同学们在今后的解题中能合理进行转化,突破思维定势,掌握求解策略．     

一道英国数学竞赛试题的探究性学习

在2006年英国数学奥林匹克竞赛试题中,有这样一道不等式题：问题1：已知a、b、c为正实数,求证：（a^2＋b^）。≥（a＋b＋c）（a＋b-C）（b＋c-a）（c＋a＋b）．①本文笔者应用分类讨论的思想方法,给出不等式①的一种证明,并从中思考这个不等式的产生动机,也就是编拟该试题的原始意图．     

“开放性”数学习题与思维训练

传统的教学习题都是“规范的”，这对教学学习是必要的、有利的．但由于这类问题的形式过于单调、严格化且答案唯一，就使学生在解题时形成了一种心理定势，以为得出答案就算完事，而很少再对题目作深入探索和研究，为改变这种情况，近年来，“开放性”试题已被列为高考数学试题的重要题回，从而引起了人们的关注，如：例1是否存在常数a、入c使等式对n6N都成立？并证明你的结论．（1989年全国高考试题）例2已知人工）在（－。，＋。）上是增函数，a和b是实数，判断命题：若人a）＋f（b）＞f（－a）＋f（－b）则a＋bko是否正确？（1993年全…     

完全平方公式变式的应用

完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，（a－b2=a2－2ab＋b2是《整式的乘除》一章的两个重要公式，除了直接用于计算两数和的平方，两数差的平方外，如果将它们适当加以变形，其用途更广泛，作用更大．下面将这两个公式的几种变式及其应用举例说明，借以开拓初一同学的解题思路，提高灵活运用知识解题的能力．变式1：a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a2＋b2=（a—b）2＋2ab．例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2＋b2，n=c2＋d2，则mn也可表示成两个整数的平方和，其形式是mn=________．（1986年全国初中数学联赛试题）（1992年“给云杯”初中数学邀请赛…     

2006年高考试题解答中的"转化与化归"

波利亚认为“转化是最独特的一种智力活动”．数学解题的实质就是实现新问题向老问题、复杂问题向简单问题、未知问题向已知问题的转化．“化归与转化”已在中学教学与高考考查中被视为重要的数学思想之一，这在2006年普通高校招生统一考试中是如何体现的呢？下面以全国卷（Ⅰ）的理科部分试题的解答为例，对此作一简要阐述，以期同仁商榷．     

用“转化与化归”思想解2006年高考试题

波利亚认为“转化是最独特的一种智力活动”．数学解题的实质就是实现新问题向老问题、复杂问题向简单问题、未知问题向已知问题的转化．“化归与转化”已在中学教学与高考考查中被视为重要的数学思想之一，这在2006年普通高校招生统一考试中是如何体现的呢？下面以全国卷（Ⅰ）的理科部分试题的解答为例，对此作一简要阐述，以期同仁商榷．     

培养自我监控能力实现解题有效性

2008年浙江省高考数学理科卷第17题：若a≥0,b≥0,且当{x≥0,y≥0,x＋y≤1时,恒有ax＋y≤1,则以a,b为坐标的P（a,b）所形成的平面区域的面积等于__一、试题分析1．地位浙江省2008年的高考数学卷坚持多角度、多层次的考查方式,理科试卷难度与去年基本持平,在延续往年分步设问、分散难点的基础上,     

乘法公式学习五注意

有一类多项式乘法的形式很特殊,运算结果简单,应用广泛,因此将这类特殊的乘法式子作为公式,遇到类似情况直接应用公式,可以使运算简便．学习乘法公式要注意下面五个问题．一、注意乘法公式的推导能自如地用多项式乘法法则推导出5个乘法公式,理解公式与多项式乘法的联系．这样,对公式才理解得深、记得准、记得牢,万一把公式忘了,也可以自己把公式推导出来．例如（a＋b）’＝（a＋b）（a＋b）＝a’＋ah＋ah＋b’＝a’＋Zab＋hi二、注意五个乘法公式名称的由来有的同学虽会用公式解题,却说不出公式的名称．五个乘法公式可以分成两类…     

乘法公式的逆用

乘法公式是形式比较特殊的多项式乘法,用式子表示为：1．平万差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b22．完全平方公式（a±b)2＝a2＋2ab＋b23立方和与立方差公式（a±b）（a2±2ab＋b2）＝a3±b3在解题过程中,我们不仅要掌握它们的正向应用,而且要注意它们的逆向应用．下面以竞赛试题为例,分题型说明．一、计算例1（m’＋n2）‘－［（－n）‘－（－m）21’等于（）（A）－4m’n‘;（B）4m‘n’;（C）O;（D）Zm’＋Zn‘（1991年“五羊杯”初中数学邀请赛试题）解逆向应用平方差公式．原式一（m’＋nY－（n’－m＊＝｛（m’＋n‘）＋（n’…     

因式分解在解题中的应用

因式分解是初中代数恒等变形的重要方法，它在数学恒等变形中有着广泛的应用．下面我们举例说明因式分解在解题中的初步应用，供同学们学习时参考．一、用于化简求值例1已知有理数a、b满足a2＋b3＋a2b。ah’＋a＋b一0，求awb的值．解将原式左边因式分解，得（ca＋b）（a’－abchb’）＋cab（a＋b）＋（a＋b）—0．再提公因式，得（a＋b）（a’＋b‘＋1）＝0．a’＋b‘＋1学0，“．a＋b＝0．例2已知x一如一2，求x’－4xs＋4y’一3xWe6ywel的值．解原式一件一Zy）’－3（X一如）＋I一2’－3X2＋1—－1．例3已知a－b—2，b－c—1，求a’＋b’…     

无理数的整数部分与小数部分

学习了数的开方,同学们在解题时常常会遇到这类题目,即需要先求出无理数的整数部分和小数部分,然后再求与它们有关的某些代数式的值．解这类题目,根据已知条件的不同,常用到以下几种方法：一、观素估值法如果已知的是一般的无理数,可先从整体上观察估计,确定其整数部分和小数部分．例1已知9＋／万与9－fo的小数部分分别是a和b,求ah一如十4b＋8的值．（lop年天津市初二数学竞赛决赛试取解…9＜13＜16,…3＜fo＜4．9＋fo二12＋a,9－fo二5＋b．从而a＝fo－3,b＝4－fo．ah－3a＋4b＋8二（fo－3）（4．fo）3x（fo－3）＋4x（－／乃）…     

函数思想与解题

应用函数的有关知识和思想解题，反映了这一种解题思路策略：将静止的问题放到动态过程去考察；将局部的问题置于全局上去解决。一、一次函数与解题例１已知｜a｜＜１，｜b｜＜１，求a＋b１＋ab＜１．犤分析犦引进一次函数f（x）＝x＋（a＋b）１＋ab（由１＋ab＞０，知f（x）是（－∞，＋∞）上的单递增函数．为了确定｜f（０）｜＜１，只需存在x１＜x２，使得f（x１）＝－１，f（x２）＝１．为此在（）式分别取f（x１）＝－１，f（x２）＝１，于是由x１＋（a＋b）１＋ab＝－１，得x１＝－（１＋a）（１＋＜０；由x２＋（a＋b）１＋ab＝１，…     

“题”似双丝网，中有千千结——从2014年浙江省数学竞赛附加题说开去

2014年浙江省数学竞赛附加题第2小题（简称题1）： 题1设正数a、b、c满足{a2＋b2=3,a2＋c2＋ac=4,求b2＋c2＋√3bc-7, a、b、c的值。 试题给考生的感觉是题意亲切,题目短小精悍,横看与高考试题有不为人知的联系,纵看历史沉淀深厚,可追溯到1984年第18届全苏数学奥林匹克竞赛题（简称题2）：     

三角辅助公式的解读

三角辅助公式αsinx＋bcosx=√α^2＋b^2sin（x＋φ）（其中角φ所在象限由α,b符号确定,角φ的值由tanφ=b/a确定）能将一些函数化成y=Asin（ωx＋φ）＋k（其中A,ω,φ为常数,A〉0,x∈R）的形式．在近几年的高考中,三角函数的图象和性质的考查,常常围绕y=Asin（ωx＋φ）的问题展开．下面谈谈辅助公式在解题中的应用．