2006年第11期问题解答

OQO1PO2NM Tθ61.O是△ABC内任一点,直线AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于D、E、F,AO、BO、CO分别交EF、FD、DE于G、H、I.问AOGG OBHH OCII是否为定值,若为定值,求出该定值;若不为定值,说明理由(.图见上期)证明:设AABF=x,AACE=y.则SS△△AABECF=AABE··AACF··ssiinn∠∠BBAACC=xy.SS△△OOBECF=OOBE··OOCF··ssiinn∠∠EBOOFC=OOBE··OOCF=SS△△AAOOEB·SS△△AAOOCF=S△AOES△AOC·SS△△AAOOBF=AAEC·AABF=xy.所以SS△△AABECF=SS△△OOBECF,故SS△△OAEEF…     

米芾与苏轼对饮挥毫

元祐①末,米芾△知雍丘县,子瞻②自扬州召还京,米乃·具饭。既至,则对设长案,各以精笔、佳墨、妙纸三百·列其上,而置馔于旁。子瞻见之,大笑·就座。每酒一行③,即展纸共作字。二小史④磨墨,几不能供。△薄暮,酒行既终,纸亦书尽,     

第31届IMO试题解答

1.解法一如图所示,作D至且,B,M的连线段.显然有 乙CEF=乙DE‘“乙EMD,匕E CF二乙MAD。 于是, △C刀F。△AMD.诊;宣二卫兰二=1一卜￡止J生创圣.5二、DM“吕户F沉、9 FE。51。:。、:刀刃五fD叮丑CEMD oM召尸E·C止=1 F石乃刀召五D石二1 BE·五f五A石BE·刀石_AM AES八八E二S么。Ec=1一S△G见A尽△“互‘:S△D:工:S△。:nE从而,C刃·MD二刀汀·刀厂.另一方面,又有乙石CG“乙M刀D,于二,谁普贪乞.MD·MEG刀·C刀是,匕CG五‘匕C五F一匕五CG =乙E河D一兰叮BD二乙BD汀故△CGE。△B DM.从而,G刀.MB=CE·叮D.于…     

四边形的一组新面积公式及其应用

本文借助于向量的数量积给出平面任意四边形的一组新面积公式,并举例介绍其应用.引理1对平面任意四边形ABCD,有SABCD=12AC·BD·sinα(其中,α是对角线AC、BD所成的角)图1证明:(1)如图1,若四边形ABCD是凸四边形,则SABCD=S△PAB S△PBC S△PCD S△PDA=12PA·PB·sin∠APB 12PB·     

中外名人的“座右铭”

△中国著名画家徐悲鸿:人不可有傲气,但不可无傲骨。△中国气象学家竺可桢:一丝不苟。△中国著名数学家华罗庚:见面少叙寒喧话,多把学术谈几声。     

关于三角形内点的一个向量命题

命题　若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明　延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1　当P为△ABC的内心时 ,有sin…     

第32届IMO一试题的推广

第32届IMO第一题是: 已知△ABC,设I是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别交其对边于A’,B’,C′。求证: 1/4∠AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≤8/27 本题可作如下推广命题1 已知I是△ABC内的任一点,直线AI,BI,CI分别交BC,CA,AB于 A′,B′,C′,则 (1) AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≤8/27,其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立 (2)当I位于以△ABC的中位线为边的△DEF内时,AI·BI·CI/AA′·BB′·CC′≥1/4,     

2006年第8期问题解答

43.设△ABC的边BC、CA、AB上分别有点K、L、M,求证:在△LAM、△MBK和△KCL中,至少有一个面积不大于△ABC面积的四分之一.证明:用SA、SB、SC和S分别表示△LAM、△MBK、△KCL和△ABC的面积.因为SA=21AM·AL·sinA,S=12AB·AC·sinA,所以SSA=AAMB··AACL.同理SSB=BBMA··BBCK,SCS=CCBK··CCAL.于是SA·SSB3·SC=AMA·BM2B·BKB·CK2C·CLC·AL2A.因为AM·MB≤14(AM MB)2=41AB2.所以AMA·BM2B≤14.同理BKB·CK2C≤14,CLC·AL2A≤14.即SA·SSB3·SC≤41"#3.所以SSA,SSB,SSC…     

一道课本例题的变化及其证法

北师大版《几何》第三册中有一例题,若将其稍作改动,则能发现其有丰富多采的证法。例 已知,如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆的直径。求证：AB·AC=AE·AD。     

简讯

△物理教学研究会成立10周年学术研讨会于1991年10月5日至9日在威海召开。在此期间,召开了理事会,讨论确定了“八·五”科研课题。△地理教学研究会于1991年10月6日至10日在西安召开学术年会,就地理教育中的国情教育和德育等问题进行了研讨。△历史教学研究会91年学术年会于10月16日至20日在南京召开。主题是:国情教育与爱国主义教育和如何使学生生动活泼主动地学习历史。△教育管理研究会初中教育委员会于1991年10月14日至21日在北京召     

朱笔千钧

△《旧唐书·懿宗纪》:“西戎款附,北狄怀桑,独惟南蛮奸究不率。” △“听其言也,观其眸子,人焉庾(藏匿)哉?”(《孟子·离娄上》) △《大稚·棉》中的“爰及姜女,聿来胥宇”。 △周恩来总理等人通过与西北军张学良少帅、杨虎成将军多次密谈,终于化干戈为玉帛,促成了震惊中外的西安事变和第二次国共合作以及抗日民族统一战线的建立。     

关于三角形内点的一个向量命题

命题 若P是△ABC内的一点,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA、SB、SC,则SA·(PA) SB·(PB) SC·(PC)=0.     

一类面积关系的探究与应用

问题 如图1,△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、AC上,且AE、CD、BF交于点O,设S△BOE=S1,S△OEC=S2,S△OCF=S3,S△OFA=S4,S△OAD=S5,S△ODB=S6,则S1·S3·S5=S2·S4·S6.     

共高三角形与相似三角形性质的综合应用

共高三角形的性质:共高三角形的面积比等于对应底边的比.题目:如图1,S△ABD=12BD·h,S△ADC=12DC·h,从而S△ABD S△ADC=12BD·h12DC·h=BD DC.特别地,当AD为△ABC中线时,S△ABD=S△ADC.在相似三角形的学习中,此性质常与相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质综合使用,现举两例说明.例1如图2,△ABC与△DEC重叠的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点,且AB//DE.若△ABC与△DEC的面积相等,     

用动的观点看一道课本例题

对于课本上的某些例题,只有掌握其精髓,发掘其内涵与外延,才能融汇贯通,应用自如地去发挥其应有的功效。人教版初中《几何》第二册P85有这样一道例题,如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径。求证:AB·AC=AE·AD。     

类比带来向量问题的巧妙解法

自从向量内容走进高中数学教材以来,相关的趣味性间题吸引了众多的数学学习者和爱好者,其中2004年全国高中数学联赛第4题就是其中之一题目是:设O点在△ABC内部,且有叔 2而 3耐=才,则△ABc的面积与△AOC的面积的比为·························……     

例谈用公式q=△φ/R解题

在电磁感应现象中,当闭合电路在△t时间内发生磁通量变化△φ时,通过电路的感应电量q=I·△t=(*)/R·△t=△φ/R,这一结论在求解有关物理量时会经常用到.     

病入膏肓

出处:《左传·成公十年》,疾不可为也。在肓之上,膏之下,攻之不可,达至不及,药不至焉,不可为也。释义:膏肓是古以膏为心尖脂肪,     

两体斜碰中的"△tf≤△tN"现象

两个物体发生斜碰时会产生切向的静摩擦力或滑动摩擦力f,当f与法向的作用力N在数量级上相差不大时,其作用便不可忽略.如果将f的作用时间记为△tf>,N的存在时间记为△tN>,则△tf>不能大于△tN>,因为两物体一旦分离弹力N=0,f就不存在了.     

多姿的梯形面积公式

梯彤的面积S=1/2(上底+下底)×高,是大家都知道的,本文介绍另几种计算方法,并举例说明它的应用,供读者参考. 定理1 已知ABCD是梯形,AB//CD,E是BC中点,EF ⊥DA,F是垂足,则梯形ABCD的面积S=AD·EF. 证明:如图1所示,经过C作CG//DA交AB于G,交EF于H,连结EG,则AGCD是平行四边形,CG=DA,其面积S1=AD.FH.因为E是BC中点,所以△CBG的高是△CEG的高的2倍,而它们共底CG,所以S△BcG=2S△EGc,故梯形ABCD的面积S=S1+ S△BCG=AD· FH+2S△EGC=AD·FH+CG· HE=AD· FH+AD· HE=AD(FH+HE)=AD.EF.