网格不反向路径种数的计算公式

1　问题的提出( 1)网格不反向路径种数问题散见于各种资料中 ,但都是些具体的数值计算 ,笔者尚未见到对这一问题的一般性解答 本文旨在就该一般性问题给出解决的思路方法及计算的公式 ( 2 )具体问题 :①如图 1,在某个城市中 ,Ｍ、Ｎ两地之间有整齐的道路网 ,若规定只能向东或北两个方向沿图中矩形的边前进 ,则从Ｍ到Ｎ不同走法共有 (　　 ) Ａ 2 5种　　Ｂ 15种Ｃ 13种　　Ｄ 10种②如图 2 ,某区有 7条南北向街道 ,5条东西向街道 图中从Ａ到Ｂ的最短走法有多少种 ?图 1　　　　　　　　图 2( 3)一般问题 :将上题中的“7”、“5”分别换…     

网格不反向路径走法的简单计算

关于网格不反路径走法问题 ,文 ( 1)中给出了一个公式 ,但过程太繁 ,本文给出一种简单的方法 .例　某城市道路均为横纵方向的 ,如图 ,从M处到N处 ,只能向东或向北 ,共有多少种走法 ?解　标 1处的结点有一种走法 ,标 2处的结点有 2种走法 ,即 1+ 1=2 ,标 3处的结点有三种走法 ,即 1+ 2 =3,… ,标 10处的结点有 4 + 6 =10种走法 ,这个过程很象杨辉三角的构成规律 ,N处结点的走法有 15+ 2 0 =35种走法 .利用这种填法 ,很繁多的格也会很快填完网格不反向路径走法的简单计算$上海市奉贤中学!201400@王志和[1]　王彤、赵常红.网格不反向路径种数…     

九年级结课代数质量检测题

一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.若点Ｐ(ａ ,ｂ)到ｘ轴的距离是 2 ,到ｙ轴的距离是 3,则这样的点Ｐ有 (　　 ) .(Ａ) 1个　　 (Ｂ) 2个　　 (Ｃ) 3个　　 (Ｄ) 4个2 .直线ｙ =- 2ｘ + 12 不通过 (　　 ) .(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限3.若直线ｙ =12 ｘ +ｎ与直线ｙ =ｍｘ - 1相交于(1,- 2 ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｍ =12 ,ｎ =- 52 (Ｂ)ｍ =12 ,ｎ =- 1(Ｃ)ｍ =- 1,ｎ =- 52 (Ｄ)ｍ =- 3,ｎ =- 324 .若二次函数ｙ =(ｍ + 1)ｘ2 +ｍ2 - 2ｍ - 3的图像经过原点 ,则ｍ的值必为 (　　 ) .(Ａ) - 1或 3　 (Ｂ) - 1　 (…     

几何方法巧解代数题

题目　设ｍ、ｎ、ｐ为正数 ,且ｐ >ｍ ,ｐ >ｎ .求证 :ｍ2 +ｎ2 +(ｐ-ｍ) 2 +ｎ2 +(ｐ-ｎ) 2 +ｍ2 +(ｐ-ｍ) 2 +(ｐ -ｎ) 2≥ 2 2ｐ.初见此题 ,感到十分困惑 ,不知从何入手去解 .用代数法来解这道题 ,会非常繁杂 .但仔细观察会发现这样一个规律 ,那就是不等式左面几个代数式的形式都如勾股定理变化后的形式 ,即ｃ=ａ2 +ｂ2 ,你想到了什么 ?对 !就是用几何方法去解决它 .图 1　　证明　作边长为ｐ的正方形ＡＢＣＤ ,如图 1 ,在ＡＢ边上截取ＡＥ =ｎ ,在ＡＤ边上截取ＡＧ =ｍ ,则ＢＦ =ｐ -ｎ ,ＧＤ=ｐ -ｍ .再分别过Ｇ、Ｅ作ＡＢ、ＡＤ的平行…     

排列组合的两个性质及应用

性质1把m个a和n个b排成一列,共有Cmm n种排法.证明这个问题就是把m个a和n个b放入m n个格子,先选m个格子放入a,余下的格子都放b,故有Cmm 1种放法。例1某人走10级台阶,每步走1级或2级,7步走完,共有多少种不同的走法?解由已知可知,此人必须走3步2级和4步1级,这就相当于把3个2和4个     

中点问题的一种处理方法

中点问题是解析几何中的重点、热点问题 .本文给出它的一种处理方法 :若Ｍ是线段ＡＢ的中点 ,且Ｍ点的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则可设Ａ(ｘ0 +ｍ ,ｙ0 +ｎ) ,Ｂ(ｘ0 -ｍ ,ｙ0 -ｎ)　 (ｍ ,ｎ∈Ｒ) ,再结合题目中的其它条件进行解题 ,是一种行之有效的方法 ,以下分别举例加以说明 .1　判断直线 (或曲线 )的存在性例 1　已知双曲线 ｘ24 - ｙ22 =1,问是否存在直线ｌ,使Ｎ(1,12 )为直线ｌ被双曲线所截弦ＡＢ的中点 .若存在 ,求出直径ｌ的方程 ;若不存在请说明理由 .解　由题意得Ｎ(1,12 )为弦ＡＢ的中点 ,可设Ａ(1+ｍ ,12 +ｎ) ,Ｂ(1-ｍ ,12 -ｎ) …     

凹四边形的一个面积公式

文 [1 ]证明了凸四边形的一个面积公式 ,本文应用类似的方法 ,证明了该公式也适用于凹四边形 .定理　设凹四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,对角线ＡＣ =ｍ ,ＢＤ =ｎ ,则其面积Δ =144ｍ2 ｎ2 -(ａ2 -ｂ2 +ｃ2 -ｄ2 ) 2 .证明 :不妨设Ｃ是凹顶点 (如图 ) .延长ＡＣ交ＢＤ于Ｅ ,记∠ＡＥＢ =θ ,ＢＥ =ｘ ,ＥＤ =ｙ ,ＣＥ =ｚ,则ｘ +ｙ=ｎ ,ＡＥ =ｍ +ｚ .由余弦定理 ,有ａ2 =ｘ2 +(ｍ +ｚ) 2 -2ｘ(ｍ +ｚ)ｃｏｓθ ,ｂ2 =ｘ2 +ｚ2 -2ｘｚｃｏｓθ,ｃ2 =ｙ2 +ｚ2 +2 ｙｚｃｏｓθ ,ｄ2 =ｙ2 +(ｍ +ｚ) 2 +2 ｙ(ｍ …     

“211杯”函数知识竞赛

一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 (　　 ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3}　　Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3}　　Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 (　　 ) .Ａ .ａ =3　　Ｂ .2 <ａ <18　　Ｃ .ａ >2　　Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 (　　 )个 .Ａ .0　　Ｂ .1　　Ｃ .2　　…     

中考数学试题常用陷阱

在中考试题中 ,有许多题目难度不大 ,但命题者却有意设计障碍 ,制造陷阱。如果学生基础知识掌握不牢或粗心大意 ,便会误入这些“陷阱” ,造成解题的失误。本文归纳一些中考题中常见的“陷阱” ,供复习时参考。　　一、利用概念模糊设置“陷阱”　　〔例 1〕若 ｍ +ｎ 4ｎ与 3ｍ +ｎ是同类二次根式 ,则ｍ、ｎ的值为 (　　 )　　 (Ａ)ｍ =1ｎ =1　　 (Ｂ)ｍ =0　　ｎ =2　　 (Ｃ)ｍ =1ｎ =1或ｍ =0ｎ =2　　 (Ｄ)ｍ =2ｎ =0错解 :由 ｍ +ｎ =24ｎ =3ｍ +ｎ 得 ｍ =1ｎ =1　　所以 ,选 (Ａ)　　分析 :几个二次根式化成最简二次根式后 ,如果被开…     

2001年数学中考模拟自测卷参考答案

一、1 Ｃ　 2 Ｂ　 3 Ｄ　 4 Ａ　 5 Ｃ　 6 Ｄ　 7 Ｂ　 8 Ｄ　 9 Ａ　 10 Ｃ二、11 若ａ∥ｂ ,ｂ∥ｃ ,则ａ∥ｃ(或若ａ∥ｂ ,ａ⊥ｃ ,则ｂ⊥ｃ等 )　 12 32　 13 160°　 14 98ｍ　 15 ｙ2 <ｙ3 <ｙ1 　16 9　 17 7或 2 5　 18 180°　 19 ＡＣ =ＣＥ ,ＣＤ ∥ 12 ＢＥ ,ＣＤ⊥ＡＢ ,ＣＤ平分ＡＢ ,ＣＤ过圆心 ,ＡＤ2 =ＣＤ·ＤＦ ,…　2 0 13+ 2 3+ 33+… +ｎ3=(1+ 2 + 3 +… +ｎ) 2 或 13+ 2 3+ 33+… +ｎ3=ｎ(ｎ + 1)22三、2 1 原式 =- 2ｘ2 .∵　 ｘ2ｘ2 - 2 =11- 3 - 2 ,∴　ｘ2 - 2ｘ2 =1- 2ｘ2 =1- 3 - 2 .∴　 - 2ｘ2 =- (…     

关于正多边形铺砌平面的一个定理

定理　一个正ｍ边形被ｍ个正ｎ边形包围 (不重不漏 ) ,则ｎ =4ｍｍ -2 (ｍ≥ 3 ) (ｍ、ｎ均为正整数 ) .证明 :正ｍ边形一个内角α =(ｍ -2 ) 1 80°/ｍ ,正ｎ边形一内角 β =(ｎ -2 ) 1 80°/ｎ ,“包围”意味着在每个顶点处有α +2 β =3 60°,把α、β的表达式代入 ,即得欲证 .但公式中有两个条件 :ｍ≥ 3为整数 ,ｎ为正整数 .依此 ,可以确定ｍ、ｎ的具体数值 .事实上有ｎ =4ｍｍ -2 =4+8ｍ -2 (ｍ≥ 3 ) .令ｔ=8ｍ -2 为整数 ,则ｍ =8ｔ +2 ,ｔ为 8的因数1 ,2 ,4和 8.于是　　ｔ 1 2 48ｍ =8ｔ+2 1 0 643ｎ =ｔ+4 5 681 2　　现只有 4个…     

利用“a2＋b2=c2”构造直角三角形证不等式

某些不等式 ,我们通过观察其结构特点 ,可发现与三角形有着某种直接或间接的联系 ,特别是当题中含有“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”这一信息时 ,则可构造直角三角形 ,利用三角形边、角之间的关系 ,使不等式获得自然、直观、简捷的证明 .下面举例加以说明 .1　直接由题设“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”构造直角三角形 .例 1　设ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,求证 :ｐｍ ｎ ≥ 22 .　　　　　图 1证明　注意到ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,故可构造一个直角三角形 .如图 1,构造Ｒｔ△ＡＢＣ ,使ＡＣ =ｍ ,ＢＣ =ｎ ,ＡＢ =ｐ ,则ｍ ｎｐ =ｃｏｓ…     

一道高一力学试题的解法

本刊１９９８年第７—８期第３４页有这样一道高一力学试题：一水平的传送带以速率ｖ１＝ ２ ｍ／ｓ匀速运行，传送带把Ａ处的工件运送到Ｂ处，Ａ、Ｂ相距ｌ＝１０ ｍ，从Ａ处把工件轻轻地放到传送带上，经过时间 ｔ＝６ｓ能传送到Ｂ处．如果提高传送带的运行速率，工件能较快地从Ａ处传送到Ｂ处，要让工件用最短时间从Ａ传到Ｂ处，则传送带的运行速率至少应多大？ 分析：当工件从Ａ处放到传送带上时，它相对水平地面是静止的，而传送带是以相对水平地面运动着，它俩之间有相对运动趋势，由２ｍ／ｓ×６ｓ＝１２ｍ＞ｌ＝１０ ｍ可知，不存在…     

一个猜想的否定--兼擂题(56-1)的解答

孙文彩先生在本刊 2 0 0 2年第 4期有奖解题擂台(5 6)中提出如下命题 :命题　在△ＡＢＣ中 ,任何关于其内角的不等式Ⅰ满足条件 :(1 )经代换Ｔ1:∑ｃｏｓＡ =2ｎ +1 ,∑ｓｉｎＡ =2ｍ后 ,Ⅰ能等价化为关于ｍ、ｎ的二元实不等式形式ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 ) ( )(2 )上面的不等式 ( )经等腰代换Ｔ2 :ｍ =(1 +ｔ) 1 -ｔ2 ,ｎ =ｔ(1 -ｔ) (ｔ=ｓｉｎ Ａ2 ,Ｂ =Ｃ)后 ,不等式 ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 )对任意ｔ∈ (0 ,1 )成立 ,当且仅当ｔ=12 时取等号。则三角不等式Ⅰ必对任意三角形成立 ,当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时取等号。这个命题是一个假命…     

2001年数学中考模拟测试卷(二)参考答案

一、1 Ｂ　 2 Ｃ　 3 Ｂ　 4 Ｄ　 5 Ｄ　 6 Ｂ　 7 Ｃ　 8 Ｄ　 9 Ｃ　 10 Ｃ　 11 Ｂ　 12 Ｃ　 13 Ｄ　 14 Ｃ二、15 2∶5　 16 6　 17 ａ(ａ + 1) (ａ + 2 )　 18 2 2∶ 2 =2∶1或 1∶ 2 =2∶2或 1∶ 2 =2∶2 2等 (填一个即可 )　 19 42 0 4　 2 1 (2ｎ - 1) (2ｎ + 1) =(2ｎ) 2 - 1　 2 2 ＡＢ =ＣＤ或ＡＯ =ＣＯ等 (填一个即可 )　 2 3 2ｃｍ或 7ｃｍ2 4 2 03 ｃｍ三、2 5 (1)错在② .错因 :根据不等式性质 3 ,两边同除以负数 (2 - 5)时 ,不等号应反向 .正确结果应为ｘ <- 45- 9.(2 )错在① .错因 :已知两边及其中一边的对角…     

一种耐人寻味的跳格游戏

游戏规则：如图1,一个人从格子外,首先只能进入第一格,然后在格子中每次可以向前跳一格或两格,则这个人从格子外跳到第8格,共有多少种不同的走法?     

一个猜想不等式的肯定--兼擂台题(54)的证明

擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理　若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明　 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ…     

2003届高中毕业班第一次教学质量检测数学(理科)参考答案

一、选择题1.Ｂ　 2 .Ｃ　 (新 )Ｂ　 3.Ｄ　 4 .Ａ　 5.Ｂ　 6 .Ｄ7.Ｃ　 8.Ｂ　 9.Ａ　 10 .Ａ　 11.Ｄ　 12 .Ｂ二、填空题13.ｘ - 2 ｙ +3=0　 14 .ｘ =2　 15.16　 13.(新 ) 12 0 　 16 .ａｎ =2 +( - 1) ｎ 2ｎ 或ａｎ =1　ｎ为奇数3　ｎ为偶数 　或ａ =2 +ｓｉｎ2ｎ +12 π三、解答题17.解 :ｔａｎ2θ =2ｔａｎθ1-ｔａｎ2 θ=- 2 2 ,解得ｔａｎθ =-22 或ｔａｎθ =2因为 2π <2θ <3π ,所以π <θ <3π2 则ｔａｎθ >0 ,所以ｔａｎθ =- 22 (舍去 ) ,所以ｔａｎθ =2 .原式 =ｃｏｓθ-ｓｉｎθｃｏｓθ +ｓｉｎθ=1-ｔａｎθ1+ｔ…     

数学应用题教学与学生创新意识的培养

题目 :Ａ、Ｂ两只渡船以固定速度在甲、乙两个对岸之间航行 .到对岸后 ,每只船又向相反的方向航行 ,两船同时离开相对的河岸 .首次在离甲岸 80 0米处相遇 ,后继续开向对岸 ,然后返回 ,又在离乙岸 6 0 0米处相遇 ,求河宽 .这是一道颇具难度的应用题 ,如能洞悉题目内涵、抓住题目特征 ,就能利用已有素材和信息从“变”中找到“不变” ,从而找到正确解题思路 .1　探究解法 ,激活学生灵感解法的求新求异是创新意识的生动体现 .设Ａ、Ｂ两船第一次相遇时 ,各自所行路程分别是ｍ1和ｎ1,河宽为ｓ,则ｍ1+ｎ1=ｓ.又设从开始到第二次相遇时 ,各自所行…     

利用分块矩阵证明矩阵秩的某些性质

为了便于证明 ,首先介绍几个引理 :引理 1　秩 (Ａ) +秩 (Ｂ)≤秩 Ａ　 0Ｃ　Ｂ证明 :设Ａ为ｍ阶矩阵 ,Ｂ为ｎ阶矩阵 ,则有ｍ阶可逆矩阵 Ｐ1,Ｑ1和ｎ阶可逆矩阵Ｐ2 、Ｑ2 使得 :Ｐ1ＡＱ1=Ｅｒ1　 00　　 0 　　Ｐ2 ＢＱ2 =Ｅｒ2 　 00　　 0则 :Ｐ1　 00　Ｐ2Ａ　 0Ｃ　ＢＱ1　 00　Ｑ2=Ｐ1Ａ　 0Ｐ2 Ｃ　Ｐ2 ＢＱ1　 00　Ｑ2=Ｐ1ＡＱ1　 0Ｐ2 ＣＱ1　Ｐ2 ＢＱ2=Ｅｒ1　 00　　 0 　 0Ｐ2 ＣＱ1　 Ｅｒ2 　 00　　 0　　　　　　 (Ⅰ)显然秩Ｐ2 ＣＱ1Ｅｒ2 　 00　　 0≥秩 Ｅｒ2 　 00　　 0 =ｒ2所以由 (Ⅰ)秩 Ａ　 0Ｃ　Ｂ=秩Ｅｒ1　 00…