关于《不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广》一文的补正及说明

本刊1987年第5期刊出该文后,相继收到作者许泽民,读者刘家琦、李世杰、宁默、杨学枝等的来信,指出文中定理1和定理2都应加上条件“k≤n”,且定理2中还应加“β_i≠0”。作者许泽民还对文章作了补正,其他同志有的对上述不等式作了进一步推广,得出了新的结果,本刊下期将予以摘登。     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

arctan a/a+b+arctan b/2a+b=π/4的几何证明

本通过构造等腰三角形,给出反三角恒等式: arctana/a+b+arctanb/2a+b=π/4(其中a,b>0)的一种巧妙的几何证明.     

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)给出的信息

命题1设。、b、c都为非零数,则1 11几一十一=二,下飞一宁-DC“十U十C互为相反数,不妨设a二一方,则l︷少 十l护 +1一尸 一 一一l尸 +l+11a百+b3 1一少·︸3一一,分 r丫的充要条件是a、b、。中至少有两个互为相反数. 证三‘’充分性显然,卞亩证必要性,,若口3十十乃落二j)几于下奋’ 1=云丁, 1一万,1,1,1._—宁一犷~甲一=口口C.浮.a+b+c皓十去、劲“二(一价朵于是,所证等式成立.更一般有: 1一a+b+e1一c 十]一b由题设知“,乙,。子。,得 (a+b.+e)(bc+ac+ab)=abc,去括号整理得a Zb+ab’+aZe+acZ+bZc+beZ+Zabe=0,因式分解得 (a+b)(b+e)(e+a)=0…     

关于方程(ax~2+b)/(cx~2+d)=((-dx+b)/(cx-a))~(1/2)的一个定理

在发表文[1]时,编者按中提出了方法的适用范围、可靠性、步骤等尚可探讨.下述定理完满地回答了这一问题.定理方程(*)(ax~2+b)/((cx~2+d)=(-dx+b)/(cx-a))~(1/2)(a,b,c,d∈R,ad≠bc)与方程 (1)(ax~2+b)/(cx~2+d)=x(x≥0)和(Ⅱ){(a~2+cd)x~2+(ad-bc)x+d~2+ab=0,(ax~2+b)/cx~2+d≥0,a~2+cd≠0}等价.     

巧借a+b≥2((ab)～(1/2))求最值

先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）^1/2.证明:a,b都大于0,所以(a^1/2-b^1/2)²≥0,所以a-2（ab）^1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）^1/2.当a=b时,a+b=2（ab）^1/2.     

妙用不等式a/b＜(a+m)/(b+m)巧解题

我们熟知,若用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/b.若在上述不饱和溶液中再添加mkg白糖,此时糖的质量分数为(a+m)/(b+m).将这个事实抽象为数学问题,即若a、b、m∈R~+,且a相似文献   

(a,b)=(a,ka+b)的应用

易证初等数论中的如下定理:若a,b任Z,则对于任意k任Z有(a,b)=(a,ka+b)。显然,当k二1时,(a,占)=(a,a+今);当k=一1时,(a,b)=(a,a一右).例1.求使分式可以约分的所有l的整数值.(第19届莫斯科数学竞赛) 解只要求出满足(51+6,81十7)>1的所有l的整数值即可.因为 (51+6,81+7)=(51+6,31+1) =(31+1,(一2)(31+1)+51+6) =(31+1,l一4) =(31+].+(一3)(l一4),l一4) =(13,l一4))1由13}l一4,得l=13m+4(m任Z). 例2.证明:任意两个相邻为Fibonacoi数F。,Fn*:(,夕2)是互素的. 证明’:F,=F:=]., F。+z二F。+Fn一x, (F。+1,Fn)=(F。,F。+1一Fn) 二(F。,F。…     

a2+b2≥2ab的推广变形及其应用

现将基本不等式a2+b2≥2ab推广如下: 定理若x、y、a、b均为正数,则有     

含条件a+b+c=0的若干性质及应用

性质1 若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0有一个根是1. 证明:∵a+b+c=0,∴c=-(a+b).∴ax2+bx-(a+b)=0.∴(x-1)(ax+a+b)=0.∴x=1或x=-1-b/a.     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

从(a+b)~n展开式中有多少项说起

我们由二项式定理(a+b)n=C0nan+c1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn,可以知道(a+b)n展开式中有n+1项.那么,(a+b+c)n展开式中有多少个不同的项呢? 先从简单的情况入手,记(a+b+c)n的展开式的项数为un.显然,n=1时,u1=3=(2·3)/2;n=2时,u2=6=(3·4)/2;     

浅谈教学中a+b与a·b的区别

两个数相加与两个数相乘是最基本的运算形式.在二次方程中,两根之和,两根之积表达为根与系数的关系,对解决二次方程相关问题的应用之广,从初中起广大师生就感受很深.这里不是继续分析二次方程中的韦达定理,而是进一步发掘a+b与a·b结构式的运用.     

用七法证(a+b)/2≥(ab)(1/2)(初二、初三)

定理如果a,b均为正数,那么(a b)≥(ab)/(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。现行教材对该定理已作了证明,本文再介绍几种别的证法以拓宽思路。证法1用二次根式的性质     

从(a+m)/(b+m)>a/b谈开去

已知a,b,m都是正数,并且aa/b.(人教版高中代数第二册(上)P12例2) 本题在教材中是作为比较法证明不等式的例子给出的,其证法很多. 这里,我们首先用直线斜率和函数方法对它加以证明. 思路一:将要证的结论变形为a-(-m)/b-(-m)>a-0/b-0,会使我们联想到直线的斜率公式,可把问题转化为确定两条直线斜率的大小.于是不难得到如下的证明方法. 证法一:根据已知条件作出示意图,显然即     

y=arc sin-ax+b/bx+a的导数

全日制十年制学校,高中数学第四册(试用本)教学参考书(人民教育出版社出版,1980年7月第1版)对课本第93页第2题5小题:求y=arc sin(ax+b/(bx+a))的导数的答案是y＇=(1/bx+a)(a~2-b~2/(1-x~2))~(1/2)。这个答案是不正确的。也有将上述答案改为y＇=(1/|bx+a|)((a~2-b~2)/(1-x~2))~(1/2)这个答案仍然不妥。现将我们的看法写出如下。首先对该函数的定义域作一番研究。欲使函数有意义,必须,a、b不同时为零,且     

函数f(x)=a/cosnx+b/sinnx最小值的另一求法

文[1]利用组合数的性质等知识解决了函数f(x)=a/cos~nx+b/sin~nx(0相似文献   

不等式a+b/2≥(ab)~(1/2)(a,b∈R~+)的几何意义

中学数学教学大纲指出:“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。”数与形是数学研究的两个重要侧面,它们之间相互渗透、相互转化。六年制重点中学高中数学课本代数第二册P87推论“如果a,b∈R~+,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。”此不等式有很多几何意义,本文提供的各种几何意义若能使学生理解,那么无疑会有助于我们综合运用中学数学知识能力的提高。 (1)取直线AMB,设AM=a,MB=b,以AB为直径作⊙O,其圆心为O,连结ACBC,由射影定理知CM~2=AM·MB,即CM~2=abCM=(ab)~(1/2),由于在圆内直径是最大     

也从方程x+1/x=c+1/c的解法谈起

本刊今年第6期《从方程x+1/x=c+1/c的解法谈起》一文中,将初中《代数》课本第三册中的一道练习题“解关于x的方程x+1/x=c+1/c”作了两次推广: 推广一:关于x的方程x+b/x=c+b/c的解为x_1=c,x_2=b/c(c≠0)。 推广二:关于x的方程x~(1/n)+1/(x~(1/n))=c+1/c的解为x_1=c~n,x_2:=1/(c~n)。