一类最值不等式问题的求解通法

有一类最值不等式问题,可以一般地表示为:求证max{f1(a,b),f2(a,b),fb(a,b)}≥A,min{f1(a,b),f2(a,b),fb(a,b)}≤B.     

浅谈均值不等式的正确使用

利用不等式求最值,要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件,初学不等式时容易用错,现通过比较来说明均值不等式的正确使用.     

引入用重要不等式法求最值的几点思考

高中代数(下册)P9例3 已知x,y∈R+,x+y=S,xy=P求证:(1)如果P为定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小;(2)如果S为定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大.(同全日高中教科书(实验本)P10例1)     

例说运用均值不等式求最值

众所周知，运用均值不等式求最值时，应注意满足“一正二定三相等”的条件，那么遇到具体的问题，究竟应怎样操作，本文分类例说其方法与技巧，供同学们参考。     

含参数不等式中的参数最值问题

在一定条件下,给出一个带参数的不等式,求使不等式成立的参数的最大(小)值,这是近年来在数学竞赛中非常活跃的题型.下面举例说明这类问题的解法.     

用柯西不等式求条件最值

在高中各级数学竞赛中,柯西不等式均是一个重要内容,它对于不等式的证明及函数最值求解都有着重要的作用.而在平时学习中,柯西不等式(这里仅研究n=2,3时的情形)如作为一个研究性课题,用来扩充学生的知识面,对于学生数学学习能力的提高也有着很好的帮助作用.本文重点介绍如何用柯西不等式求条件最值.     

排序法解题漫谈

如果一个数学问题 ,涉及到一批可以比较大小的对象 (如实数、线段、角、面积等等 ) ,它们之间事前并未规定顺序 ,在解题时 ,若能按照某种顺序关系 (如实数的大小、线段的长短等 )把它们依次排列起来 ,对问题的解决常常是有益的 .这种通过把所讨论的对象依某种顺序排列起来以达到解题目的的方法 ,我们称之为排序法 ,本文举列说明排序法在解题方面的应用 .1　解方程 (组 )例 1　求方程 ω!=x!+y!+z!的所有正整数解 .解　不妨设 x≤ y≤ z,显然有 w≥ z+1.所以有 (z+1) !≤w!=x!+y!+z!≤ 3z!,即 z+1≤ 3,z≤ 2 ,只能 x=y=z=2 ,w=3.例 2　已知方…     

均值不等式等号成立的构造技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.运用时必须具备三个必要条件--即一正(各项的值为正)、二定(各项的和或积为定值)、三相等(取等号的条件).但在题设中未给出和(积)为定值的条件下,如何凑出定值使等号成立,却深感困难,为此,本文举例说明构造均值不等式等号成立的常用技巧.     

构建不等式解出最值

最值问题是数学习题中一道亮丽的风景，其解决方法也是多种多样，以下几例通过构建不等式，进而解不等式，使最值一解而出。     

巧用不等式sinx≤x≤tanx解题

<正> 在三角函数一章中,有一个基本的不等式: 当0≤x≤时,有sin x≤x≤tan x, (*) 这是把x的三角函数与x值直接联系起来的重要不等式,当且仅当x=0时等号成立.下面看一下它的应用.     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

改进上限统一并加强两个不等式

在文[1]中,先利用求多元函数的最值的方法,证明了结论"设a1、b1、c1、a2、b2、c2≥0且a1+b2=b1+c2=c1+a2=1,则a1a2+b1b2+c1c2≤1",接着又构造正三角形证明了该结论,并从这个角度将该结论推广到了"结论1设ai、bi≥0(i=1、2、…、n,n≥4)且a1+b1=a2+b2=…=an+bn=1,则     

巧用一个不等式求最值

贵刊2004(11)发表李建新老师《巧用向量求值》一(以下简称原)，经笔研究发现，原中的最值问题都可以用下面的一个不等式加以解决，而且相比之下较原在处理上似更简单一些，故写此和大家交流。