妙用方程根巧构造方程

方程思想是中学数学中重要的数学思想．与中学数学的各个分支紧紧地连在一起．在解题过程中，有许多看上去似乎与方程不发生明显联系的数学问题，如果能恰当地引进或构造方程，就能使问题迎刃而解．下面利用方程根的定义，根的判别式，根与系数关系等几种方法构造方程解题．     

巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

一元二次方程根与系数的关系(二)

一、知识要点1．韦达定理及其逆定理与判别式的综合应用；2．韦达定理及其逆定理与三角、几何、函数知识的综合应用‘＝、解题指导例1已知方程0有两个实数根，且这两个根的平方和比这两根的积大21，求m的值．分析要求m的值，只要根据已知条件列出关于一的方程，然后解所列方程并根据题目的隐含条件△≥0确定m的值．解设x1、X2是已知方程的两个实数根，由韦达定理，得解之，得m1=17，m2=－1．已知方程有两个实数根，解此不等式，得m≤0m＝1．例2已知方程X’－2。X＋b一0中的实数。、b满足条件owtbwtZ。－1，证明方程有两个不相等的正实数根…     

一元二次方程根的判别式

一、知识要点一元二次方程根的判别式，它具有下列性质；（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等实根；（3）方程没有实根．应用上述性质，可判断一元二次万程的根的情况和确定方程中的参数的值或取值范围，还可确定二次函数图象与x轴的位置关系．二、解题指导例1选择：方程的根的情况为（）（广西，1994年）（A）有两个相等的实数根。（B）有两个不相等的实效很；（C）没有实数根；（D）无法确定．分析本例是考查如何根据判别式的值判定方程的根的情况．因为所以原方程有两个不相等的实数根．故造（B），例2已知关于x的方程1…     

运用根的定义解题

方程的根,即使方程左右两边的值相等的未知数的值,运用根的定义解题的方法称之为“定义法”,合理地运用“定义法”,有时则能起到化繁为简的效果．运用根的定义,可以解决以下七类问题：     

怎样寻“根”解题

“根”源于方程．但在一般情况下,一个数或几个数都可以视作某方程的根．解题时,按照条件或问题所显示的结构式的特征,依据“根”存在的原理,构造需要的方程,再反过来通过研究方程的性质达到解题目的．这种着眼于“根”的思维方法常能产生极佳的解题效应．那么怎样寻“根”？下面提供几种方法供参考．1直接寻根根的信息常直接暴露于问题的条件中,解题时,只要心存根意,常能一眼就能观察到“根”的形象．例1若m’一m＋l,n’一。＋1,且mfn,则m’干。’一．（江苏省第四届初中竟赛题）这道题目如果采用先分别求m、。的值再用代入法求…     

一类与直角三角形有关的一元二次方程

已知一直角三角形两锐角的正（余）弦为一元二次方程的两个根，求该方程中字母系数的值．这类题近几年曾出现在中考试卷中，由于两根是锐角的正余弦值，所以它受到锐角正（余）弦取值范围的制约，如果在命题和解题时忽视了这一点，就会发生差错．例如　已知方程3x~2＋3mx－1＝0的两根恰是一直角三角形两锐角的正弦，求m的值．（某校自拟的初三复习题）给出的标准答案是：．其实此题本身就是道错题．请看，令a、β为一直角三角形的两个锐角，则sina、sinβ为该方程的两个根．根据韦达定理得两个锐角，故可知sina、sniβ不是该方程的两个根，…     

活用方程根的定义解题

方程的根是指使方程左右两边的值相等的未知数的值，即若X。是一元二次方程＿‘＋bC＋C一0（。羊0）的一个根，则＿g＋bC。＋C一0．下面举例说明根的定义在解题中的应用‘一、求方程的根例1若关于x的方程Zx’－mxwm－1—0有一个根是O，则另一个根是（）（996年山西省中考题）解由条件知m—1—0，·”·m—1·原方程为ZX’－X一0·＿1x，＝0，x，。7＝．。—。一2故另一个根为X一tr．——’、’·—”、一2二、来待定系数的值例2关于X的方程3X‘一ZX＋m一0的一个根是一1，则m一（）．（1996年广东省中考题）解由条件知3＋2＋m—0·m—…     

用辩证法看分式方程的增根

解分式方程时可能产生不适合原方程的根,这样的根叫做方程的增根．不可否认,增根的出现给同学们的解题带来了一定的麻烦．然而任何事物都有其两面性,让我们用辩证的眼光看待分式方程的增根．由增根的原因知道,分式方程的增根一定是去分母后所化成的整式方程的根,同时还能使其最简公分母的值为零,据此可以解决一些相关的问题．现举例如下,供同学们赏析．     

思维严密,“无”中见“有”——数学解题应重视隐含条件

在数学解题过程中，有些同学的注意力往往被题目中的显性条件所吸引，而忽略题目中的隐含条件，导致解题错误．为了帮助大家学会缜密思考，“无”中见“有”，即在显性的问题中看到隐含的条件，现对常见的几种类型作一些分析．一、一元二次方程成立的隐含条件一元二次方程成立的一个前提是a≠０，因为若a＝０，方程就成为一元一次方程了．这种不言自明的条件，在解题过程中经常被同学们忽视．例1当m为何值时，方程２mx２＋（８m＋１）x＋８m＝０有两个实数根？犤分析犦在这个问题中，要判断方程是否有两个实数根，应先考虑这是一元二次方程…     

根的判别式在解题中的应用

根的判别式在一元二次方程的解题中具有极其重要的地位．其主要用途有两个方面：一是不用解方程,根据判别式的值判断方程的实数根的情况;二是根据方程有无实数根的情况（通常涉及到根与系数的关系）确定方程中某一待定系数的取值范围．如果二次项系数中含有字母时,要特别注意加上二次项系数不为零这一限制条件．现举例说明,希望能够对同学们有所启迪．     

巧用二次函数判别式Δ=b^2-4ac求最值例谈

二次函数判别式△=b^2-4ac在数学中常常用来判断方程是否有解,用来求方程的根,或者用来求解方程解得范围．在物理中可以用△=b^2-4ac求物理量的最值．本文通过2道例题谈谈该方法在物理解题中求最值时的应用．     

巧用方程根构造方程

方程思想是重要的数学思想之一,与中学数学的各个分支紧紧地连在一起．在解题过程中,有许多看上去似乎与方程不发生明显联系的数学问题,如果能恰当地引进或构造方程,就能使问题迎刃而解．下面利用方程根的定义、根与系数的关系等方法构造方程解题。     

分式方程的验根问题

分母里含有未知数的方程，叫做分式方程．解分式方程的一般方法，是在方程的两边同乘以各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解所得的整式方程，最后验根．为什么在解分式方程时必须验根呢？我们知道，分式方程的根不能有使分母为零的值．但在把分式方程两边同乘以一个整式将分式方程化成整式方程后，一般来说，本知数的允许取值的范围扩大了．这样，整式方程的根中有可能使分式方程的最简公分母为零的值；而这个值将使分式方程失去意义．因此，它虽是变形后整式方程的根，但不是原分式方程的根．这样，当分式方程变形为整式方程…     

利用导数解决方程根的问题

利用导数研究方程根的问题，不但使解题过程变得简捷，而且还可以提高同学们对新题型的适应能力．     

根的判别式在解题中的应用

有关一元二次方程的问题,历来是中考的重要考点,而根的判别式在一元二次方程的解题中又占有比较重要的地位．其主要用途有两个方面：其一,不解方程,根据判别式的值,判断方程的实数根的情况;其二,根据方程有无实数的情况（通常牵涉到根与系数的关系）确定方程中某一待定系数的取值范围．如果二次项系数中含有字母时,要特别注意加上二次项系数不为零这一限制条件．现略举几例加以说明．     

运用一元二次方程根的定义巧解题

方程的根就是方程的解,利用方程根的定义来解题,往往能起到意想不到的作用。1·正用定义。例1关于x的方程ax2+(a2+2a)x-4=0的一个根是1,求a的值。     

利用“增根”求相关系数

解分式方程的一般方法是，通过去分母化分式方程为整式方程．若转化后的整式方程的根，使原分式方程分母的值为0，则此根为原方程的增根．因为增根满足去分母后的整式方程，所以相关待定系数可由增根代入整式方程求得．以下举例说明：     

一元二次方程中字母系数的求解思路

在学习一元二次方程的过程中,常会遇到合有字母系数的一元二次方程问题．不少同学对这类问题的求解感到思路不清．为了帮助同学们弄清解题思路,克服学习上的困难,现归类说明如下,供同学们参考．一、运用方程的定义例1m为何值时,关于x的方程有实数根？（1998年湖北潜江市中考试题）分析由于题设对含字母系数的方程次数未作任何规定,因此,“关于x的方程。－1）x＋m＋2＝0有实数根”可理解为“一元二次方程有实数根”和“一元一次方程有实数根”两种情况．解分两种情况讨论．时,原方程有两个实数根．有一个实数根,说明：当二次项系数…     

一元二次方程整数根问题的求解策略

含有字母系数的一元二次方程整数根问题,一般要求待定字母值或整数根．解答这类问题,首先要认真观察方程的结构特征,数值特征,找准解题突破口,然后经过适当变形,利用整数式性质、意义夹逼出字母或根的范围,进一步在此范围内,对字母的值逐一试验,通过验证加以确定...