一个不等式推广问题的再研讨

文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)…     

一个重要不等式的证明及其应用

二、应用(1)不等式证明:例1若。艺)C(艺=1,2,…,大),试证 儿 妻、、./ 定理“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即设。,,aZ,…,0二为正数,二夕.+口.+。。。+a_~,,—一、,,~、mll丫万二一兰多一二一一一二一二丝二之丈丫。。…。_当日47少毛U-——二‘,、产a,a,二“a.,,二!士L一L长 n当。1=aZ二·一a。时,上式取等号. 我们给出它的一个简洁证明,并讨i仑‘g的一些应用. 一、定理的证明 设厂(x)=e刃一。x,x任(0,+co)。由微积分易知f(x))f(1)=0,即。’一。x妻。,…尸’)。x,等号当x二1时成立.(刀,+a:+… 证明:1十1叮.…口1 (, “…     

高考不等式基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求学生:1理解不等式的性质及其证明;掌握简单不等式的解法;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.2掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用.3理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.下面介绍高考不等式基础试题考点及解析.考点1　均值不等式定理简单应用例1　(1999年全国高考题)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:运用均值不等式求和的最小值或积的最大值时,必须具备三个条件:各数为正;和或积为定值;等号应能成立.解:由均值不等式定理得ab=a+b+3≥2ab+3.即(ab+1)(…     

双曲线的一种参数方程

定理设尸(x,夕)为双曲线述生_卫a名b名二l上任一点,过尸点的切线的倾角为协,则工·=)。二o:记。2一b“ets“功 b艺etg功一tg含<,<一‘。(一号)(I)亿砂二石肠丽项.’是双曲线左支参数方程;X二 a2亿了二石玄币百万二’夕=b Zetg必一二苦<,<一二(一号)(I)认。2一b’ctgZ矿’z!,|少、lse、是双曲线右支参数方程.证明对双曲线答一答=1上一切非顶点P(二,,),设过尸点的切线为,二、+、 UU由}宁厂竺+生、O一劣-一a一沙一二a一O-得 (bZ一a Zk“)xZ一Zk用aZ劣一aZ(阴2+b“)=0由于切点是切线和双曲线的唯一公共点,故得△二(一2吞maZ)“一4(b:一a…     

算术——几何平均值定理的推广图式

n个非负实数a_1,…,a_n的算术平均数与几何平均数之间有这样的关系: (a_1+…+a_n)/n≥(a_1·…·a_n.)~(1/2) (1)其中“=”当且仅当a_1,=…=a_n时成立。这就是著名的算术——几何平均值定理。这个定理的证法很多,在此就不再赘述了。本文主要介绍算术——几何平均值定理的一个推广图式,以及它在证明不等式中的应用。为便于叙述,我们记     

利用平均不等式求函数的最值

均值不等式的定理: 如果a,b是正数,那么a b/2≥ab(当且仅当a=b时取"="号),我们称a b为a,b的算术平均数,称√ab为a,b的几何平均数.     

一个不等式的应用

本文给出不等式,然后讨论它的应用: 命题:若二,)o(落=1,2,…,无),。,希均为自然数,且。,希)2,则 /a,八气几一1).1,二一丁~一a鑫】妻(a一a。). \了己一1/化简得,,嵘一Zaa。(o,.、。簇。。簇兰a.叫+叫+…十畔)乃”一1(劣,+劣。+…+劣:)玲(I>同样有 例1八__2U气吸气丽a““1一2…,儿一1).成立.立.当且仅当‘:二二:=·一二、时上式等号成已知a、b、。、d、· a+b+c一卜d十e己是满足,证明:依柯西不等式的推广式:(a全,+a瑟,+…+a瑟,)(a全:+a瑟:+… +a井:)…(a全。+a二,+…+a井。) )(a,lai:一al:+a:ia::一aZ。+… 十a、la、:…a、。)”. aZ十…     

内分角线定理的推广及其应用

一、内分角线定理的推广当a=日时,sina二、i,‘日, 如圈,已知尸为△OAB的底边才B(所在直线)上任一点 (B点除外),尸AI,B0刀OB、承;八求证:尸A尸BOAsinaOB、1 np证明.’.S‘。A,=一蚤OA·O尸“ina S‘。:,=一杏OB·OPsin日又子:、 合.n.尸SonA,_S‘。、:,OAsinaOBsinp①士尸A·O尸。in乙A尸O于尸B·尸APBOPsin(180“一艺APO)②故内分角线定理是这一定理的特例,这一定理是内分角线定理的推J”。 二、应用 内分角线定理的推J“在儿何证题中,应用比较J、一泛,举例说明如下。 1.江线段相等 例1证明卜拉美古塔定理(Br“11 ma-g…     

均值定理求最值常见问题剖析

现行高中数学教材中,将“两个正数的算术平均数不小于几何平均数”这一结论称为“重要不等式”,又称为“均值定理”或“基本不等式”,即“若a,b∈R ,则a b/2≥(ab)~(1/2)”.利用这一定理不但可以证明有关代数式的不等关系,我们也可以用它来求一些简单函数的最值.但需要特别小心的是:用均值定理求最值必须满足“一正、二定、三取等”,任何一条不满足都可能使得所求的值不是“最值”.以下举例说明.     

高考不等式考点解析与试题集粹（上）

数学科《考试大纲》要求学生：①理解不等式的性质及其证明；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法．②掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用．③理解不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|。下面介绍高考不等式基础试题考点及解析。     

不等式考点分析与复习指导

高考要求与知识梳理[考试要求] (1)理解不等式的性质及其证明；(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；(4)掌握简单不等式的解法；(5)理解不等式｜a｜—｜b｜≤｜a b｜≤｜n｜ ｜b｜。     

由教材例习题引发的思考

“如果a ,b∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号)”,这是高中数学一个非常重要的定理,有着广泛的应用.如果限定a ,b∈R ,则得到a b2 ≥ab ,其中a b2 、ab分别称为正数a、b的算术平均数与几何平均数.对此,《教师教学用书》要求:“掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.”教材在编写上也不涉及三个正数的情形,对于出现含三个正数的不等式,则是建立在两个正数的基础上,运用不等式的性质相加得到的,不属于三个正数平均值范畴.纵观不等式全章,我发现在所提供的两个正数不等式中,有…     

高考专题复习——不等式

1　考试要求(1 )理解不等式的性质及其证明 .(2 )掌握两个 (不扩展到三个 )正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理 ,并会简单的应用 .(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式 .(4)掌握简单不等式的解法 .(5)理解不等式 ｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜ .2　考试要求阐译不等式是高中数学的重点内容 ,是解决其他数学问题的有力工具 ,是历年高考的热点内容 .“考试要求”言简意赅地表明 ,不等式内容共有四部分 :不等式的性质 ;不等式的证明 ;解不等式和不等式的应用 .解读如下 :(1 )不等式的性质是不等式内容的基础 ,在复…     

简化计算 一步到位(初三)

定理:若样本xl、x:、…x,的平均数为x,方差为护,则样本二:+b、ax:+b、…、ax二十b的平均数夕,方差了,分别为 夕~云+b、了,=矿子.证明x-1,一又Xl十XZ十…+x二)(x12+x22+…石 一2一nx),1一n 一一 护夕一生〔(ax:+b)+(ax:+b)+…+(ax,十b)]均数是“,方差是合,那么另一组数3x!一“、“xZ一2、3x3一2、3x4一2、3x。一2的平均数和方差分别是() 1,一、,.,~、JZ,~、,。 (A)“、言·(B)“、1·(C)4、亏·(D)4、“· 分析尽管使用求平均数、方差的运算公式能求出结果,但这种“小题大做”的隐性失分.是可惜的,而使用本文介绍的定理则可以起到“简化…     

不等式的证明

1 考点释要掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式的证明是高中数学的难点之一,而综合运用不等式知识实施合理的放缩则是证明的关键所在.以解析几何为辅垫,与数列问题挂钩的不等式证明题屡     

一个条件不等式的加强及应用

已知a、b、e为非负实数,且a+b+e+~1,又由均值不等式知·“·、‘吐笋三)3-1一3 一一1一4 +J1一27 ,1口0~十O‘月-Cd:咬下丁 O127(1) 这是我们熟知的一个十分简单的条件不等式,本文把它加强成 定理已知a、b、e为非负实数,且a+b+c=1,则 ,9,.1 ab+bc+ea成千abc+令(2) --·--·一~4一’4 证明由对称性,不妨设a》b》:势。,又 ‘一,1 .9~由a+b+‘=1知‘成音,1一于e>0*一一‘-一,”一~3’一4一 ,9 a口十口乙十Ca尧受甲丁入 任 9,1ao-1~口亡月~Ca一-丁a口C一,丁 任任 这就得到不等式(1),因此我们说不等式(2)是不等式(1)的加强. 现在我们用不等式(…     

数学问题与解答 1990年第6期问题解答

231.已知四边形ABOD,且刀// BC,刀、F、G、H分别为边通刀、BO、CD、,D通上的点,EG交cos,工>l一 几九-(九一1)(九+l)~一_~刀尸。.、一刀尹于尸,居升=入,求证:“‘J‘’尸口一‘”。、池, 姓刀.D口 ,,。一耳升十入.,朵升 丑尸AB“’刀口 万石1一1+入 证:如图1,过E、G分别作AD的平行线,分别交刀尸于万、N,则eos,工 2eos:生 3。。s:含…。。52 11990 1。32。43。5)花歹一‘飞‘一’一砂一’.’1989·19911990,199119912·19901989+1991 . .‘.上月任 S O C图1eos工。。s工 23 11990通刀万卫丽函~=丁刃歹·刀口刀万下万口.=.刀丁矿>(…     

每期一题

皿设a、b为正常数,x、y为正变数,且号+夸一,,求二+,的最”、值·这时y=b+了石石,(x+刃.‘=a+b+22丽. 解法5(利用柯西不等式)首先,由。、。、二、,>。及粤+李一 孟J 、,。.b、,一厅.沮x十y=吸x十y八万十丁J一L了x’心了十.,汤少,满x>a,y>b,下面解题在用到这个条件时,不再另行说明。 解法l(利用真分式代换法)二·褥):一+“+2“·令 a 一二二 X 九从+月(二.,二>0),则x+少= 拼bm+n’丁a(m+n) 脚.b(脚十n)卞一一万-一=a宁。宁,a”.b拼气—十—”扭月)》a+吞+2而石. 当且仅当X/圣一y/今,即二一+荡,夕=石+石石时,(x+少)‘=。+石+2杯丽. 解法6(利…     

数学问题与解答

206.已知正六边形通刀口2,刀,,内任一点尸,连结ZH、尸刀、PO、尸刀、尸刀矛晒1,求证 尸且·尸刃·cos匕APD=Z诏·尸丑·cos乙Bl〕E=PC·于晒,.cos匕口子晒,.〔活,体积相等,且口土平面丑已尸,凡一音·AO·“一普凡令匕BC叹尸=0, 证:如图l,连结通刀、丑刃、已石1,则通刀=刀刀二C晒,.二①.又过P点作垂直于朋、ED的厂直线交AB、刀刀于M、N,则通万=EN,卫丑=万刀…②·CF石形刀馨。 BCSin30“丑尸sino丫BC=甲AB,一Ao,=a,=Zasin(150“一0),sin(150“一0)’…刃万,二Zasino,口尸“一专邵·oFs‘n30。月川6 图1二a,sin陇in(一50“一0…     

完善一个不等式链

拙作[1]建立了下述不等式链: multiply from i=1 to n (1+(1/a_i))≥(1+(1/G))~n≥(1+(1/A))~n≥(1+(1/Q))~n。(1) 其中的a均为正数,G、A、Q分别是这n个a的几何平均数、算术平均数和平方平均数。本文则给出不等式 multiply from i=