由一道题目得出的结论

有这么一道题目: 如图1,P是矩形ABCD内的一点,若PA=3,PB=4, PC=5,则PD=__. 解:过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P 作BC平行线分别交AB、CD于G、H(如图2).于是,EF⊥AD、EF⊥BC,GH⊥AB,GH⊥CD,设AG=DH=a,BG =CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,则由勾股定理,得a2 c2=32……①b2 c2=42……②b2 d2=52……③     

一道竞赛题引发的结论

题目　 (第一届数学奥林匹克国家集训班选拨　　　　　图 1考试题暨第四届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题 )正方形ＡＢＣＤ边长为 1,ＡＢ、ＡＤ上各有一点Ｐ、Ｑ ,如果△ＡＰＱ的周长为 2 ,求∠ＰＣＱ的度数 .将△ＣＤＱ顺时针旋转 90° ,使ＣＤ与ＣＢ重合 ,则Ｑ点落在ＡＢ的延长线上 .利用三角形全等及题设条件可得∠ＰＣＱ =4 5° .(证明略 )注意到△ＡＰＱ的周长恰为正方形边长的 2倍 ,很容易证得下面几个结论 .命题 1　在正方形ＡＢＣＤ中 ,若Ｐ、Ｑ分别在ＡＢ、ＡＤ上 ,△ＡＰＱ的周长是正方形边长的 2倍 ,则∠ＰＣＱ =4 5° ,反之亦真 …     

从一道课本习题得出的几个有趣结论

1 问题的提出全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第二册(上)习题8.3有如下一道习题: △ABC一边的两个顶点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是4/9,求顶点A     

一道竞赛题结论的再推广

一、原题结论及其推广题目（2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题）已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）,其长轴为A₁A,P是椭圆上不同于点A₁A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,试证明:以线段MM₁为直径的圆必过椭圆外的一个定点.推广1已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）（或双曲线（x²）/（a²）-（y²）/（b²）=1（a>0,b>0））其长轴（或实轴）为A₁A,P是椭圆（或双曲线）上不同于点A₁、A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,则以线段MM₁为直径的圆必过两定点（（a²-b²）/c,0）和（（a²+b²）/c,0）.     

一道竞赛题引发的有用结论

2007年全国高中数学联赛第一试第1题为:如图l,在正四棱锥P一月里3CI〕中,艺Al犯=60。,则二面角A一子理3一C的平面角的余弦值为().式B图1由此题可以引发一个有用的立体几何结论,即定理:从一个点P出发,引三条射线PA,C邓,咒,若PA,邢所成的角为。,Pc,PI3的所成角为尹,P     

一道竞赛题结论的简证

结论设x,y是正数,且满足(（1+x2）^1/2-x+1)(（1+y2）^1/2-y+1)=2,则xy=1.文[1]中由2010年世界数学团体锦标赛青年组个人赛第三轮第1题出发,得到了如上结论,并认为这个结论"扑朔迷离",还给出了一个很"独特"的证法,笔者发现文[1]的解答有些复杂,下面是一个更简单的解法:证明:由已知条件易得     

由一道习题得出一个重要结论

如图1,已知△ABC,P是边AB上的一点,连结CP,当△ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?图1分析:∵∠A=∠A∴当∠ACP=∠ABC时,△ACP∽△ABC·于是AACB=AACP=CPBC·注意比例式AACP=CPCB中的四条线段,其中AP与AC是△ACP的∠1与∠2的对边,PC与CB是△PBC的∠3与∠4的对边,而∠1=∠3,∠2 ∠     

从《梯形》中一道习题得出的重要结论

在平时的学习中,同学们如能对课本上的习题认真思考,归纳总结,就能够开阔解题的思路,在解题中举一反三.本文以《梯形》中的一道习题为例,加以说明.题目(人教版《几何》第二册第189页第2题)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,EF分别交BD、AC于G、H.求证GH=12(BC-AD).证明:∵AE=EB,DF=FC,∴EF∥AD∥BC.∴AH=HC,BG=GD.∴FH=12AD,FG=12BC,GH=FG-FH=12(BC-AD).我们已经学习了梯形的中位线定理:连结梯形两腰中点的线段平行于两底,并且等于两底和的一半.仿照中位线定理,对上面的题目略加改变,就可以得…     

由一道中考题得出的结论及其应用

<正>在学习反比例函数时,有一道2013年河南省数学中考题引起了我们的兴趣:如图1,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3).双曲线y=k/x(x> 0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E.求k的值及点E的坐标;易得:k=3,E点坐标为(2,3/2),我们发现:此时点E为AB的中点.     

由一道物理题得出的结论和规律

典型题：如图１Ｒ１＝６Ω,Ｒ＝２０Ω,电源电压为６Ｖ保持不变,求Ｒ消耗的最大功率？此题多出现在选择或实验题中,一般以填空或选项的形式出现,由于推断的综合性较强,所以教师在教学中有必要给学生总结出规律。图１　求ＰＡＰ实验电路ａ．分析与推导。由Ｐ＝Ｉ２Ｒ得：ＰＡＰ＝Ｕ２（Ｒ１＋ＲＡＰ）２·ＲＡＰ＝Ｕ２Ｒ２１ＲＡＰ＋２Ｒ１＋ＲＡＰ要使ＰＡＰ最大,须使Ｒ２１ＲＡＰ＋ＲＡＰ＋２Ｒ１最小,亦即Ｒ２１ＲＡＰ＋ＲＡＰ最小,在Ｒ２１ＲＡＰ＋ＲＡＰ中,ＲＡＰ只有在某一定值时,才能使之有一最小值,但ＲＡＰ≠０,ＲＡＰ…     

关于一道竞赛题的三个结论

第22届全国中学生物理竞赛复赛题第六题。两辆汽车A与B,在t=0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进,如图1所示。汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛,求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知声速为u,且当然有u>vA、vB。解法一如图2所示,设经时间t,汽车A、B的位移分别为xA、xB,AB连线与x轴的夹角为θ。则:xA=vAt,xB=vBt,sinθ=xBx2A x2B=v2Av Bv2B,cosθ=x2Ax Bx2B=v2Av Bv2B。vA,vB在A、B连线上的分量分别为v′A=vAcosθ=v2Av2 Av2B,v′B=vBsinθ=v2Bv2A v2B。代入多普勒效应公式有:v=…     

关于一道竞赛题的三个结论

第22届全国中学生物理竞赛复赛题第六题。两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口0处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图1所示。汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知声速为u，且当然有u〉vA、vB。     

一道竞赛题的推广和有关结论

原题在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，P是对角线AC、BD的交点，M、N分别是AB、CD上的点，满足DM⊥AC，BN⊥AC．求证：M、N、P三点共线．[第一段]     

一道结论不成立的数学竞赛题

一九九四年四川省高中数学联赛(初赛)试题最后一大题(即第七题)的结论是不能成立的.原题为:设非负实数列{a_n}满足 a_(n+1)≤2a_n-4a_n~2证明:a_n≤2/(n+6).(n≥2)此题若用数学归纳法证明,只能证出 n 取第     

一道竞赛题的潜在结论及应用

1993年全国初中数学联赛试题中有这样一道题: 设x是实数,y一}二一11+}x+1}.下列四个结论: (I)y没有最小值; (五)只有一个二使y取到最小值; (l)有有限多个(不止一个)x使y取到最小值; (IV)有无穷多个x使y取到最小值,其中正确的是(). (A)(I)(B)(正)(C)(皿)(D)(川) 解{x一l}和}x+lj分别表示数轴上点x到点1和点一1的距离,一一-曰匕--~一---J一、Leseseses一.一L一一 一l一1 由上图易知,若点x在以点一1和点1为端点的线段上,则点x与两端点的距离之和为2,即y一2;若点x在此线段外,则两距离之和大于2,即y>2.所以y的最小值是2,且以点一1和点1为端…     

一道经典竞赛题结论的加强和应用

上世纪九十年代的全国高中数学联赛虽仍处于探索阶段,但从试卷结构、命题质量看已有了长足进展,特别是加试的平面几何试题,无论是命题背景的深刻性,还是结论的优美性都足以令人称道．     

结论得出之后

“一只黑熊饿了,跑到玉米地里去掰玉米,掰了一个,夹在胳膊底下,很高兴,于是又去掰另一个,又掰了一个,更加高,兴,又夹在胳膊底下。哎呀,它没看见,第一个玉米掉了,它只顾夹第二个玉米了,于是它又掰第三个……”不用细说你也能猜到,黑熊最后只得到一个玉米,前面的玉米全丢了。黑熊当然没有人的思维能力,可是人有时犯的错误和黑熊也差不多。...