浅谈函数图象的变换

函数图象是函数的重要组成部分,是认识函数、研究函数、应用函数的工具.下面就函数图象的常见变换作一简单介绍. 一、平移变换1.左右平移:如y=f(x+a),其图象是将y=f(x)的图象向左(a>0)、向右(a< 0)平移|a|个单位得到. 2.上下平移:如y=f(x)+a,其图象是将y=f(x)的图象向上(a>0)、向下(a< 0)平移|a|个单位得到. 二、对称变换1.中心对称:若y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点     

函数图象的12种变换关系及应用

函数图象的变换是学习函数图象中的难点,也是掌握函数有关性质的难点,同时又是难以掌握的基本概念,高考每年都有体现.下面就函数图象的12种变换关系及其应用,进行归纳和解说.一、变换关系1.函数y=f(x)图象与函数y=f(-x)图象之间的关系函数y=f(-x)的图象是由函数y=f(x)图象沿y轴翻转180°得到的.2.函数y=f(x)图象与函数y=f(x±a)(设a>0且为常数)图象之间的关系函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)图象向左平移a个单位得到的,函数y=f(x-a)的图象是由函数y=f(x)图象向右平移a个单位得到的.3.函数y=f(x)图象与函数y=f(a-x)(设a>0且为常数)图象之间…     

利用相关点判断图象位置

在已知函数y=f(x)图象的基础上,通过函数图象之间的相互交换(如平移变换、对称变换、伸缩变换),可以作出与函数y=f(x)相关的函数的图象,即通过平移变换可以作出函数y=f(x a),y=f(x) a的图象;通过对称变换可以作出函数y=f(|x|),y=|f(x)|,y=f~-1(x)的图象;通过伸缩变换可以做出函数y=f(ax),y=af(x)的图象等等。     

函数图象的平移(高一)

中学数学里函数图象的变换主要有:平移、对称和伸缩.本文着重介绍平移. 平移变换有如下两种. (1)水平方向的平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左( )或向右(-)平移a个单位而得到. (2)竖直方向的平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上( )或向下(-)平移6个单位而得到.     

例谈函数图象变换在解题中的应用

函数图象是以“形”来描述函数性质的,它能直观地反映函数所蕴含的基本关系.正确理解和熟练掌握函数图象变换的规律,能有效地增强我们对图形变化的认识,把握住问题的关键,提高解题的能力.以下是几种常见的函数图象变换关系:Ⅰ 平移变换(1 )水平平移:y =f(x±a) (a >0 )的图象,可由y=f(x)的图象向左( )或向右(-)平移a个单位而得到.(2 )竖直平移:y =f(x)±b(b >0 )的图象,可由y=f(x)的图象向上( )或向下(-)平移b个单位而得到.Ⅱ 对称变换(1 )y =f(-x)与y =f(x)关于y轴对称;(2 )y =-f(x)与y =f(x)关于x轴对称;(3 )y =-f(-x)与y =f(x)关于原点对…     

y=Af(ωx+φ)+B型函数的变换作图及原理

y =Af (ωx +φ) +B型函数是高中数学中最普遍的一类初等函数 ,其图象可由基本初等函数 y =f ( x)的图象经过平移和伸缩变换得到 ,从而为把握这类函数图象的基本特征、数形结合解决问题提供“形”的基础 .下面就平移与伸缩变换的实质 ,以及变换程序的改变对变换的量的影响作一些必要的分析 .一、经验总结我们已经知道 ,课本利用三角函数的周期性和“五点法”作出了函数 y =3sin( 2 x +π3)的图象 ,并通过观察、比较和分析 ,总结出了“函数 y =Asin(ωx +φ) ,( A>0 ,ω >0 ) ,x∈ R的图象可以看作是用下面的方法得到的 :先把 y =sinx图象…     

向左还是向右平移

一、问题出现问题如何从y=f(x)的图象得到函数y=f(1-x)的图象?错解1把y=f(x)的图象绕y轴翻转180°得y=f(-x)的图象,再把y=f(-x)的图象向左平移1个单位便得y=f(-x 1)即y=f(1-x)的图象.错解2把y=f(x)的图象向右平移1个单位得y=f(x-1)的图象,再把y=f(x-1)的图象绕y轴翻转180°得y=f(-(x-1)),即y=f(1-x)的图象.二、寻找原因函数y=f(x a)的图象,当a>0时将y=f(x)的图象沿x轴向左平移a个单位;当a<0时,将图象向右平移|a|个单位,请注意,y=f(x a)是指y=f(x)中的x增加或减少|a|;y=f(-x)的图象,将y=f(x)的图象绕y轴翻转180°,y=f(-x)是指y=f(x)中把x换成…     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.     

简谈高考三角主要题型

纵观近年来高考三角题,笔者认为高考三角题型主要有以下四种,本文就其解法规律简谈如下:一、三角函数的图象问题要掌握函数图象的平移变化,伸缩变化,重点要掌握函数y=A s in(ωx φ),(A>0,ω>0)的图象与函数y=s inx图象的关系,注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的;要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式.例1不必画出图象,试说明由y=s inx的图象经过怎样的变换可得到y=-2s in(x2 π6) 2的图象.解法1:(1)把y=s inx的图象向左平移π6个单位,得到y1=s in(x π6)的图象;(2)把y1图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,得y2=s in…     

初等函数作图及举例

在中学阶段我们主要研究的图象是基本初等函数的图象,通过描点作图后,对各图的形状、关键点必须做到见式有图,见图有式。下面就基本初等函数的图象与复合函数的图象谈“四个方面”十一种变换,并配八个例题以供参考。一、平移变换: ①y=f(x)与y=f(x)+b的图象变换: 已知:y=f(x)的图象作y=f(x)+b的图象,只要把y=f(x)的图象向上(b>0或向下(b<0)平移|b|个单     

小数乘法计算题的常用检验方法

本文将从绝对值的意义的角度去探讨含有绝对值的函数图象作法,供参考。1.函数y=f(|x|)的图象由绝对值的意义知f(|-x|)=f(|x|),f(|x|)是偶函数,其图象关于y轴成轴对称,所以,函数y=f(|x|)的图象可由函数y=f(x)的图象保留y轴右侧图象,同时将y轴右侧图象翻折到y轴左侧(擦去原来y轴左侧的图象)而得到。     

“准对称”函数问题的本源与化解

<正>一、"准对称"函数的概念我们知道,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a-x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a-x)).倘若引入二元变量x_1、x_2后,该命题又可表述为:若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则x_1+x_2=2af(x_1)=f(x_2),比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.假设上述对称函数y=f(x)在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变,此时得到新的函数y=g(x)的图象必然呈现非轴对称     

例析满足“f(x)=f(2a-x)”的函数的图象的对称性的应用

定理定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称的充要条件是f(x)=f(2a-x)(a∈R)证明:(1)充分性由f(x)=f(2a-x)可知若点A(x,y)是y=f(x)的图象上的任意一点,则点A′(2a-x,y)也在其图象上∵点A与A′关于直线x=a对称∴函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(2)必要性设A(x,y)是y=f(     

两类函数图象对称轴的辨析

下面是两个常见的有关函数图象对称的问题: 1．定义在R上的函数y=f(x)满足f(a -x)=f(a-x),那么y=f(x)的图象关于直线 _____对称; 2．定义在R上的函数y=f(a x)与y= f(a-x)的图象关于直线_____对称．这两个问题,外形相似,极易混淆．实际上,第1题是一个函数的自对称问题,答案是关于直线x=a对称;第2题是两个函数的互对称问题,答案是关于直线x=0对称．     

浅谈图象按向量平移与坐标平移

谈及图象变换,常常会遇到图象按向量平移与按坐标平移的问题,这两种平移并非一种变换,请看下例. 例1 已知函数f(x)=2(x-1)2 3, (1)将函数y=f(x)的图象按向量a=(1,3)平移,求平移后的图象所对应的解析式; (2)平移坐标系,使新坐标系的原点位于     

判别函数图象对称性的一组命题及应用

常用于判别函数图象对称性的命题可归纳如下:命题1　若函数y=f(x)满足f(a x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a b2对称.证　在y=f(x)图象上取A(a x0,y0),B(b-x0,y0),则AB中点为(a b2,y0),且对任一x0都成立,由x0任意性可知f(x)的图象关于直线x=a b2对称.推论1　若函数y=f(x)满足f(a ωx)=f(b-ωx),则y=f(ωx)关于x=12ω(a b)对称,即y=f(x)关于x=a b2对称.证　设ωx=t,则f(a t)=f(b-t),从而函数y=f(t)关于t=a b2对称,即y=f(ωx)关于直线x=a b2ω对称,或y=f(x)关于直线x=a b2对称.命题2　函数y=f(x)若满足f(a x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于…     

一道试题的考察功能

题目:已知函数f(x)=acxx- 2b的图象关于直线y=x对称且过点p(2,4),奇函数y=g(x)的图象可由函数f(x)的图象向下平移同时向左平移一个单位得到.(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈集合M时,f(x)的最大值为4,最小值为0,试确定集合M,并说明理由.这一道试题,具有强大的考察功效,其理由如下:(1)函数图象关于直线y=x对称,意味着函数与其反函数是同一函数,考察了函数与反函数的性质,求反函数考察了反函数的求法,根据恒等式确定a=2,考察了恒成立的知识.(2)根据函数图象过点p(2,4),得4=24c -b2①,考察了点在曲线上满足的条件,该条件同时有可能误导学生利用对称…     

函数中的有关对称问题

函数中的对称问题是函数的重要性质之一 ,它是研究函数的性质 ,作出函数图象的重要依据 ,也是高考试题中常考的考点之一 ,处理函数的有关问题要注重研究其对称性 ,利用数形结合的方法解决问题 .函数图象的对称性有图象关于点的对称及关于直线的对称 ,下面分别讨论 .一、函数 y =f (x)的图象成轴对称图形命题 1:设函数 y =f ( x)的定义域为 R,且满足条件 :f ( x a) =f ( b - x) ,则函数 y =f ( x)的图象关于直线 x =a b2 成轴对称图形 .证明 :设函数的图象上任一点 P( x,y) ,它关于直线 x =a b2 的对称点为 P′( x′,y′) ,则 x =a b- x…     

图象的平移

在平面直角坐标系中进行图象的平移,相应的函数形式的变化是有规律可循的,利用下面所给出的平移的各种情况,可以很好的把握平移后函数的形式．已知函数y=f(x),a＞0,b＞0,c＞0．(1)将函数图象向右平移a个单位,则函数形式由函数y=f(x)变成y= f(x-a),即在y=f(x)中将x换成x-a即可,过程如下图所示：     

函数图像平移与伸缩变换的统一解法

函数图像的平移与伸缩知识在中学数学中占有十分重要的地位.它贯穿在向量、函数及方程等内容之中.对函数图像的平移与伸缩问题,用传统的方法解决就会过于繁杂,且容易出错.因此,本文笔者用代换的方法给出了一种函数图像平移与伸缩变换的统一解法,以供读者参考.一、函数图像的平移变换设函数y=(x)的图像按向量(h,k)平移得到的图像的解析式是y′=f(x′),令点(x,y)是y=f(x)的图像上任一点,点(x,y)按向量(h,k)平移得到点(x′,y′),则点(x′,y′)在y′=f(x′)的图像上,且有①:yx′′==yx++hk,",即②:yx==yx′′--hk,".于是,把函数y=f(x)的图像,向…