关于一类不等式证明的教学

高中代数(六年制)第二册P 91例8是求证:2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2).课本上的分析是用平方再平方的方法(大概,传统教材和课外参考资料都是这样证明的). 在教学中,我发现有的学生是这样分析的:要证2~(1/2)+7~(1/2)<3~(1/2)+6~(1/2),即证7~(1/2)-6~(1/2)<3~(1/2)-2~(1/2),分子有理化,得(7-6)/(7~(1/2)+6~(1/2))<(3-2)/(3~(1/2)+2~(1/2)),     

双曲线标准方程的推导及发现

给出了五种推导双曲线标准方程的方法:移项平方法、直接平方法、分子有理化法、余弦定理法、平方差法.这些方法的由来是受相关文献、教材思考题和例题的启发,也为双曲线方程的灵活运用打下坚实基础.     

分子有理化在初中代数中的运用

分子有理化在初中代数中的运用古浪县一中祁成勤一、比较大小例１．比较的大小。而例２．比较的大小。解：二、求值三、解方程解：将（１）式两端分子有理化得两边平方得ｘ＝１，经检验是原方程的解。四、解不等式例５．解不等式解：将原不等式分子有理化得解得原不等式的...     

麦克斯韦速度分布律与重力场

先从一个问题谈起，一般普物教材在推导理想气体压强公式时谈到，在气体处在平衡态时，气体的性质与方向无关，分子向各个方向运动的几率均等，所以对大量分子来说，三个速度分量平方的平均值必然相等，即vvvzyx222==，这是在忽略重力场作用时用理想气体模型得到的。如果考虑到重力作用，上式是否成立？学生往往认为坚直方向速度分量平方的平均值vz2大于其它速度分量平均值或以为仅在同一高度成立，在不同高度不成立。又在普物热学课中，现行教材都直接给出麦克斯韦速度分布律为 zyxkTmdvdvdvekTmNdNvvvzyx)(2232222++-p=，速度分布函数为…     

巧用分子或分母有理化解题

《代数》第十一章第6节（二次根式的混合运算）已向同学们介绍了分母有理化的方法．分母有理化在化商、求值、解方程中都有着广泛应用．本文将要介绍的分子有理化也有很好的应用价值．下面结合实例谈谈分子或分母有理化在解题中的应用，供同学们参考．一、巧用分子有理化比较大小仿上解法可证明下面不等式成立：。。。。。。。。。，。。等。。。。：。。＞b＞0，。小｝。。：。。＞b，。。。－。。会叶·二、巧用分子或分母有理化求值说明本题若从已知求x的值，再代入求值，运算量大，费时多，而采用上述巧法，答案拈之即来．说明本题若将1…     

有理化运算在数学解题中的应用

有理化运算中的"分母有理化"在数学解题中的应用学生较为重视,但对"分子有理化"及"分母、分子同时有理化"在数学解题中的应用往往重视不够,致使不少学生面对用"分子有理化"及"分母、分子同时有理化"这一解题手段就能迎刃而解的数学题目的解答感到棘手,下面我们侧重谈谈"分子有理化"及"分母、分子同时有理化"在数学解题中的应用.     

例谈二次根式大小的比较

二次根式比较大小的方法很多,要根据具体题的特点选择方法,结合本人多年的教学经验,总结成了"被开方数比较法"、"求差比较法"、"求商比教法"、"平方比较法"、"分母有理化法"、"分子有理化法"、"等式的基本性质法"和"利用媒介值传递法"八     

能取近似值比较大小吗?

课堂上,老师让学生讨论:如何比较3 2与2 3的大小?并请小明同学总结大家想到的方法:1.系数化为1(即将根号外的3和2移入根号内);2.平方;3.作差(3 2-2 3=3·2(3-2)>0);4.分子有理化     

一类不等式的一种统一证法——等号成立条件法

有一类不等式,其形式上类似于幂平均单调性问题,不少学生对这类不等式束手无策。现介绍这类不等式的一种统一证法——等号成立条件法。其一般证题过程是:首先找出此类不等式等号成立的条件,再用基本不等式即可证之。     

分母有理化的若干技巧

分母有理化的一般方法是:先找出分母的有理化因式,然后用这个有理化因式去乘以分子和分母.但有些特殊的二次根式化     

棱锥性质定理的推广及应用

人民教育出版社《立体几何》(必修)课本中第61页给出一般棱锥的性质定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且它们的面积比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比.本定理书巾先证截面和底面这两个多边形相似,即证两个多边形对应边成比例,也就是证明了等式: 然后再利用相似多边形的面积比等于相似比的平方证明了本定理.     

巧用分母(或分子)有理化解题

我们知道，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式工为有理化因式．化街一个式于时，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法，可以把分母中的报号化去（即分母有理化）；如果分子是二次根式，那么也可以把分子中的报号化去（即分子有理化）．在根式的运算中，有些题目需要把分母有理化，还有些题目，需要把分子有理化．巧用分母（或分子）有理化解题，往往能化繁为简、化难为易．例1已知，求的值．分析若将代入计算，其运算之繁杂可想而知的；但若将作变换后再代入，运算…     

竞赛题中的二次根式

有理化是解根式问题的基本思路.平方、配方、换元.引入有理化因式等是有理化的常用方法,下面对各种常用方法各举一例试说明.     

用反证法证平面几何题

平面几何中有些命题的成立显而易见,但要从正面入手却很难甚至不能得证．正难则反,不妨试用反证法．用反证法首先要假设待证结论不成立,即承认结论的反面成立．然后以此为条件,结合题设条件进行逻辑推理,导出与已知条件或定义、公理、定理相矛盾的结论．即否定结论的假设是错误的,进而命题得证．以下用反证法证明的几例平面几何题．     

巧用分母或分子有理化解题

我们知道，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．化简一个式子时，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化团式的方法，可以把分母中的根号比去（即分母有理化）；如果分子是二次根式，那么也可以把分子中的根号化去（即分子有理化）．在根式的运算平，有些题目需要把分母有理比，还有些题目，则需要把分子有理比．巧用”＞母或分子有理化解题，往往能化繁为简、此难为易．直接代入计算，其运算之繁杂是可想而知的；但若将有理化，作变换后再代入，运算就简便了。例…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

１．字母ａ的取值范围不同 中 ，即ａ是非负数。而 中ａ可取一切实数。例如：等式 成立的前提条件是 ，到，即 。而等式 ，不论ｘ　或 都成立，并且根据绝对值的定义有： ２．运算顺序不同 是先求ａ的算术平方根，然后再求算术平方根的平方。而 是先求ａ的平方，再求ａ２的算术平方根。例： ３．计算结果都是非负数，但又有区别 是二次幂，其结果直挂得到ａ，即“一个非负数算术平方根的平方，其结果是这个非负数本身”。 是算术平方根，其结果因ａ＞０与巴＜０而异，即“任何一个实戮的平方的算术平方根，其结果是卜一Ｈ负数。若这个数是正…     

从一个“想一想”问题所想到的

义务教育初中《代数》第二册第184页有这样一个“想一想”问题. 判断下列各式是否成立:(1)属一漓;人兀_厅,_、人万厅,.、八牙_厅火乙少丫d百一j勺万’气“少丫住丽一坷瓦’以少丫j百~叫了 经过验算可知:(1)、(2)、(3)三式成立,而(4)式不成立. 让我们仔细观察一下(1)、(2)、(3)三式有些什么特点呢?能否找到普遍规律?我们发现有两个特点:(1)左边被开方数都是带分数,它的分子和整数部分相同;(2)分母是比分子平方小1的数. 那么具有这样特征的带分数的开平方是否都能写成(1)、(2)、(3)式右边的形式呢?我们用字母来表示,即要证明下列等式成立: 厂.…     

分母有理化的其它方法

分母有理化,是根式运算中的一个重要内容,其基本的方法就是在分子、分母上同乘以分母的有理化因式,但如能分析题目的数值结构特点,灵活施以各种方法,则更为简捷,举例如下:l 逆用分式加法法则     

改换证法 推广命题

例　设 α,β∈ (0 ,π2 ) ,sin(α β) =sin2 α sin2 β.求证 :α β=π2 .(第 1 7届全苏数学竞赛题 )这道赛题的题设与结论都很简单 ,但其证明却并不简单 .贵刊在《处理角问题的几种数学思想方法》一文中 (2 0 0 0 ,1 2 ) ,是用分类讨论的思想方法证明结论的 .该题若改用柯西不等式来证 ,不但证法简捷 ,而且可得到不少新的命题 .本文先证明 ,后介绍新命题 .证　 (1 ) α=β,结论显然成立 ,且 sin(α β) =sin2 α sin2 β α β=π2 .(2 )α≠β,得题设式平方 ,应用柯西不等式等号成立的充要条件 ,即得sin2 (α β) =(sinαcosβ c…     

浅析无理方程的增根

初中《代数》第三册11.9,在解无理方程时指出:“为了把无理方程变形为有理方程,需要将方程的两边都乘方相同的次数,这样就有产生增根的可能。”怎样引导学生对上述这句话进行深化理解呢?我们从以下三个方面作了补充说明: 1.将方程的两边都平方或偶次乘方时,增根赤源于乘数的有理化因式的零点。例1 解方程(x-2)~(1/2)=8-x ①解:方程两边平方,得x-2=(8-x)~2 ②即x~2-17x+66=0,∴x_1=6,x_2=11。