看小学数学中两个“规定”的合理性

小学数学教科书中的一些“规定” ,都是数学研究的一种需要 ,都有它的合理性和必然性。(一 )我们知道 ,除法是这样定义的 :已知两个数ａ、ｂ ,求一个数ｑ ,使ｑ与ｂ的积等于ａ ,这种运算叫做除法 ,记作ａ÷ｂ =ｑ。在除法算式中 ,为什么要规定除数ｂ不能是 0呢 ?这是因为 ,如果ｂ =0 ,那么①当ａ≠ 0时 ,由于任何数乘以 0都不可能等于非零数ａ ,所以ａ÷ 0的商是不存在的。②当ａ =0时 ,由于任何数乘以 0都等于 0 ,所以 ,ａ÷ 0的商是不确定的。在加法、减法与乘法中 ,和、差与积都要求是存在并且唯一的 ,在除法中也要排除商不存在或不唯一…     

相似形与解直角三角形

比例线段与平行线分线段成比例一、复习要点1关于比例线段(1)在两条线段的比ａ∶ｂ中,ａ叫做比的项,ｂ叫做比的项.(2)在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做线段.(3)如果ａ∶ｂ=ｃ∶ｄ,那么、叫做比例外项,、叫做比例内项,ｄ叫做ａ、ｂ、ｃ的.(4)如果ａ∶ｂ=ｂ∶ｃ,那么线段ｂ叫做线段ａ、ｃ的.(5)把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ和ＢＣ(ＡＣ>ＢＣ)且使ＡＣ是ＡＢ和ＢＣ的比例项,叫做把线段ＡＢ黄金分割,点Ｃ叫做线段ＡＢ的点.2比例性质(1)基本性质:ａ∶ｂ=ｃ∶ｄ.(2)合比性质:ａｂ=ｃｄ.(3)等比性质:ａｂ=…     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式

数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理　△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 ,　　　Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则　　　　　Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ .　　证明　考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2…     

IMO41第2题另证

20 0 0年 7月 19日举行的第 41届国际数学奥林匹克竞赛的第 2题为 :设ａ ,ｂ ,ｃ是正实数 ,且满足ａｂｃ =1,求证 :　 (ａ -1 1ｂ) (ｂ -1 1ｃ) (ｃ-1 1ａ)≤ 1.《中等数学》杂志 2 0 0 0年第 4期上刊登了此题 ,本文给出另一种证法 .证明 :由题设条件易知正实数ａ ,ｂ ,ｃ中有两个不小于 1,另一个不大于 1;或者有两个不大于 1,另一个不小于 1.此时在ａ -1 1ｂ,ｂ-1 1ｃ,ｃ -1 1ａ中至多有一个负值 .当ａ -1 1ｂ,ｂ -1 1ｃ,ｃ -1 1ａ中有一个负值时 ,原不等式显然成立 ,下面只要证明它们均为正值的情形 .∵ａｂｃ =1,∴ａ -1 1ｂ=…     

关于一道三元分式不等式链

一类三元分式不等式证明的数学问题 ,屡见于数学竞赛和多种数学杂志征解题中 ,绚丽多姿 .其证明方法虽有多种 ,但颇具难度 .传统证法往往因题而异 ,孤立施证 ,因而难以看出诸不等式之间的内在联系 ,“只见树木 ,不见森林” .本文提出一道三元分式不等式链 :定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,并记Ｐ=ａ2ｂ ｃ ｂ2ｃ ａ ｃ2ａ ｂ,Ｍ=ｂ2ｂ ｃ ｃ2ｃ ａ ａ2ａ ｂ,Ｎ=ｃ2ｂ ｃ ａ2ｃ ａ ｂ2ａ ｂ,Ｌ=ａｂｂ ｃ ｂｃｃ ａ ｃａａ ｂ,Ｒ =ｃａｂ ｃ ａｂｃ ａ ｂｃａ ｂ,Ｑ =ｂｃｂ ｃ ｃａｃ ａ ａｂａ ｂ,则Ｐ≥Ｍ =Ｎ ≥ 12 ∑ａ≥ＬＲ1…     

绝对值与数轴

同学们在学习了有理数、数轴进入学习绝对值的时候 ,如何深刻地理解概念 ,渗透数形结合、分类及转化的数学思想 ,综合地应用有理数、数轴及绝对值的有关知识 ,将对培养同学们的综合思维能力有着重要的作用。一、利用绝对值概念解题绝对值的概念主要是 :如果ａ>0 ,那么 |ａ| =ａ;如果ａ<0 ,那么 |ａ| =-ａ ;如果ａ=0 ,那么 |ａ| =0。( 1 )根据绝对值的定义 ,求出代数式的范围例 1　如果ａ >0 ,ｂ <0 ,ｃ <0 ,化简|ａ|ａ + |ａｂ|ａｂ + |ａｂｃ|ａｂｃ 的值。解 :根据绝对值的定义 ,原式 =1 - 1 + 1 =1。例 2　如果ａ、ｂ、ｃ为有理数 ,化简|…     

一个不等式证明的十种方法

不等式的证明是高三数学教学中的一个难点 ,如何寻求不等式的证明思路是学生感到困难的问题 .本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考来说明不等式证明中的一些常用方法 .题目　己知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ且ａ+ｂ +ｃ=1,求证ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 13思路 1　在己知和求证的两个关系式中如若取ａ=ｂ =ｃ=13 ,便会出现等号成立 .由此可见当且仅当ａ =ｂ=ｃ =13 时不等式取等号 ,于是得到如下证法 .证法 1　ａ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ａ ;ｂ2 + (13 ) 2≥ 23 ｂ ,ｃ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ｃ所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 + 3 (13 ) 2 ≥ 23 (ａ +ｂ+ｃ)所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 …     

谈减法的两种定义

在现行数学课本中,减法有两种定义。定义1 已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。(小学数学课本的定义)定义2 已知两个数 a、b,要求一个数 c,使 c与 b 的和等于 a,这种运算叫做减法。(中师数学课本的定义)我们认为,这两种定义的实质是相同的,只是表述的形式有所不同。因为由定义2要求的 c 必须满足“c 与 b 的和等于 a”,可以看出已知的 a,就是两个数的和,b 就是其中的一个加数,要求一个数 c,就是求另一个加数。     

重视解题过程中的方法性训练

奥加涅相在《中小学数学教学法》一书中强调指出 :“中学教学首要也是最主要的职责是强调解题过程中的方法性训练 .”那么数学教学中特别是解题教学中 ,如何有意识地对学生进行系统地数学思想方法的训练呢 ?笔者试以一题为例谈谈解题过程中的方法性训练 .题目　已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ >0 ,ｂ >ａ ｃ,求证 :方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0有两个相异实数根 .1　重视转化思想 ,训练化归方法转化思想贯穿于整个数学教学中 ,它要求对某一数学问题加以转化 ,化陌生为熟悉、化复杂为简单、化抽象为具体 ,实现转化的基本手段就是化归问题的结论是要证…     

关于形如|a-b|(a≠b)的绝对值的化简

绝对值在初一代数教学中既是一个重点 ,又是一个难点。特别是绝对值的化简 ,对于初学代数的学生来说更是难上加难。如何化解难度 ,使学生在理解和掌握绝对值概念的基础上 ,能迅速、准确地解决绝对值的化简问题 ,是教学中的重中之重。绝对值的定义 :一个数ａ的绝对值就是数轴上表示数ａ的点与原点的距离 ,数ａ的绝对值记作 |ａ|根据绝对值定义可知数ａ的绝对值是非负数 ,即 |ａ|≥ 0 ,因此有 :|ａ|=　ａ　　ａ>ｏ　 0　　ａ=ｏ-ａ　　ａ<ｏ在化简求值的问题中 ,经常会遇到形如 |ａ -ｂ|(ａ≠ｂ)的绝对值化简问题 ,按绝对值的定义 ,要讨论ａ-…     

数学模型a×b=c在分析数学问题中应用策略举偶

数学模型ａ×ｂ =ｃ(或ａ ×ｂ×ｃ=ｄ)在数学应用问题中 ,存在十分广泛 .因其与生活实际密切相关 ,一直是初中数学教学的重点 ,中考的热点 .近几年来 ,随着中考改革力度的不断加大 ,与之相关的内容越来越多 ,问题情景越来越复杂 ,相应地 ,难度也越来越大 .因此 ,掌握其在数学问题中的运用策略 ,对提高分析问题、解决问题的能力 ,以及提高教学和学习效率 ,将是十分有益的 .笔者研究发现 :含数学模型ａ ×ｂ =ｃ(或ａ×ｂ×ｃ =ｄ)的实际问题 ,探求解题方法时 ,有其通用的分析模型 .即　关系分类　基本数量关系 1ａｂｃ类 1……类ｎ基本数量…     

椭圆、双曲线两种定义的等价关系

本文从“数”、“形”两个角度揭示椭圆 (双曲线 )两种定义的等价关系 ,作为教学之后的补充与提高 ,无疑对于学生课外思考钻研 ,及培养学生思维能力都十分有利 .以双曲线为例 ,证明双曲线的第二定义 .设Ｍ (ｘ ,ｙ)是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上任意一点 ,则有ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ｃ2 =ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 -ａ2 )ｘ2 -ａ2 ｙ2 =ａ2 (ｃ2 -ａ2 ) (ｃ2ａ2 - 1)ｘ2 - ｙ2 =ｃ2 -ａ2 ｘ2 ｙ2 ｃ2 =ａ2 ｃ2ａ2 ｘ2 ( )( )两边同减 2ｃｘ ,得(ｘ-ｃ) 2 ｙ2 =ｃ2ａ2 (ｘ- ａ2ｃ) 2 ,从而有 (ｘ-ｃ) 2 ｙ2ｘ- ａ2ｃ=ｃａ .这表明Ｍ到定点…     

活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

相似形与解直角三角形

（３５）比例线段与平行线分线段成比例 一、复习要点 １．在两条线段的比ａ：ｂ中，ａ叫做比的＿＿ ，ｂ叫做比的＿＿ ２．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做 ３．如果ａ：ｂ＝ｃ：ｄ，那么＿＿、＿＿做比例外项，＿＿、＿＿叫做比例内项，＿＿叫做ａ、ｂ、ｃ的＿＿． ４．如果ａ：ｂ＝ｂ：ｃ，那么线段ｂ叫做线段ａ、ｃ的＿＿＿ ５、比例有三大性质：（１）基本性质：ａ：ｂ＝ ｃ：ｄ　　＿＿＿＿（２）合比性质：ａ／ｂ＝ｃ／ｄ　　＿＿＿（ ３）等比性质：ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…… ＝ｍ／ｎ（其…     

“最小公倍数”课堂设计实录

教学内容九年义务教育六年制小学数学第十册第72～74页.教学目标1.理解公倍数和最小公倍数的概念,掌握求两个数的最小公倍数的一般方法;能正确地求两个数的最小公倍数.2.引导学生自主探索最小公倍数的算理,在此过程中培养学     

如何学好锐角三角函数

一、熟练掌握锐角三角函数的定义锐角三角函数是将角放在直角三角形中 ,根据锐角固定时 ,直角三角形两边的比值不变这一事实 ,用直角三角形两条边的比来定义的 .如图 1,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90° ,∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ ,则把 ａｃ 、ｂｃ 、ａｂ 、ｂａ 分别叫做锐角Ａ的正弦、余弦、正切、余切函数 ,分别记作ｓｉｎＡ =ａｃ ,ｃｏｓＡ =ｂｃ ,ｔａｎＡ =ａｂ ,ｃｏｔＡ =ｂａ .锐角三角函数的定义 ,是求锐角三角函数值的最基本的方法 ,所以要分清是哪个锐角的对边或邻边 ,要熟记一个三角函数是由直角三角形哪两条边…     

公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2的教学设计

公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的教学设计□徐光考（浙江省台州市椒江二中３１８０００）《九年义务教育初级中学数学大纲》明确提出：“在教学时，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展，……，使学生在这些过程中展开思维，从而发展...     

合理联想—解题的好帮手

联想是思维的翅膀 ,它寓于思维过程中 ,是由一种信息情景思索到另一信息情景的心理现象 .通过联想能把问题化难为易、化繁为简、化抽象为具体、化陌生为熟悉 .通过联想也能使学生加深对概念、公式、定理的理解 ,培养思维的灵活性和广阔性 ,增强学生发散创造思维能力 ,扩展解题思路 .下面谈谈如何在教学中引导学生展开合理的联想 ,迅速找到解题的思路 .1　定义式、数式结构引发联想解题时 ,可类比熟知的某些定义式结构或数式结构进行联想 ,实行命题的转化 ,开拓解题思路 .例 1　已知ｍ1=ａ ｂａ -ｂ,ｍ2 =ｃ ｄｃ-ｄ,ｍ3 =ａｃ -ｂｄａｄ …     

平均不等式在求函数最值中的失误剖析

求函数最值是中学数学的一类重要题型 ,应用平均不等式求解是一种常用方法 ,但在使用过程中容易出现错误 ,究其原因是没有真正掌握定理实质 ,下面进行简要剖析 .一、平均不等式设ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,则ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,当且仅当ａ =ｂ时取“=”号 .设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ ,则ａ+ｂ +ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取“=”号 .二、不等式分析(1)不等式使用条件 :ａ ,ｂ ,ｃ为正数 .(2 )等号成立的条件 :两数或三数相等ａ=ｂ(=ｃ) .(3 )求最值时要注意 :当左边和为定值时 ,右边积有最大值 ,当右边积为定值时 ,左边和有最小值 .从以上分析可以看…