例谈解二元二次方程组的思想方法

解二元二次方程组除运用转化的思想方法外,还有:一 一、降次、消元的思想方法 例1解方程组①②x”一少二3x十3y尹一xy+少一27:由①有:(x+户(二一户一3(x+y)~。,仁l卜解:.(二+必(x一y一3)=o(降次)故原方程组可化为以下两个方程组:}‘+夕一o,_lx‘一习十y乙一27{’厂’一3一夕,Lx‘一秒十少一27用消元法可求得方程组的解为:一一3,二3; q口XyIJI.了l~3,y、一一3;J一3一6,y3一3;一一3,~一6.八为了.沪护、几!、了.1.‘es.二、整体思考的思想方法例2已知方程组{二+夕十少卜的两组解为lJ{互}一“曰一乞;了2一a,夕:一b:.则alb。十uZ乃的值为 分…     

一道初中生能解的高考题

2001年全国数学高考试卷中有这样一道题: 某赛季足球比赛的计分规则是胜一场得3分;平一场得1分;负一场得。分.一足球队打完15场,积33分,若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况共有(). (A)3种(B)4种(C)5种(D)6种 在这里,我们介绍4种解法: 解法1设该队胜x场,平y场,负z场,则据题意可得不定方程组 {3x+y一33,① }二+y+z一15.②由①可知,y必是3的倍数,且是非负整数,所以夕可以分别取。,3,6,9,12,…,于是由方程①x可以分别得11,10,9,8,7,·…再将它们分别代人方程②: 11+O+二一15,…z一4; 10+3+z一15,。:z一2; 9+6一干二一15,。.。z一O; 8+9+二一1…     

解题中的联想

例1已知(二一x)’一4(x一y)(y一z)~O,且x笋y.求证:Zy一x+z. 分析根据已知,联想到一元二次方程根的判别式△一犷一4ac.因此,可构造一元二次方程(x一y)tz+(二一x)t+(y一劝一。 丫△一(z一x)2一4(x一y)(一二)~O, :.此方程有两个相等的实数根. 观察到方程各项系数之和为。,故知有一根为1,则另一根也必为1,从而两根之积为1. y一之 X一y:.Zy一了+2.这样证明简捷明快,十分巧妙.例2已知:a、b、‘、d都是正数,证明:存在这样的三角形,它的三边等于了护+。2,丫砂十护十护+Zcd,丫彭+夕+砂+Zab,并计算这个三角形面积. 分析本题初看不容易理出头绪.我们…     

巧解方程组

题目:试求方程组司x y z~3x忍 二‘ z:~3 z‘二3①②的所有实③口白目,yy数解.(第二届美国数学奥林匹克试题) 解:①的两边同时乘以2,减去②的两边同时加上3,得 分一2x 1 夕一如 l 二:一2z i”o (x一i). (夕一i). (二一1)2二o .’.(x一1广,0,(夕一1).,0,(念一l)2二0 .’.z,1,y~l,忿~l·{:介沁-一解·一也卿··原方程··!一心巧解方程组@丁学明$重庆市云阳县普安小学!634500~~     

巧解无理方程(组)

解无理方程(组)技巧性很强,解法不好,解题过程很繁琐,下面的无理方程(组)的解法有一定的优越惨r 「1.解方程姐二,:、·。-①②{凡压干玉于、于巧~5,之一y~12.︵口加解泣由②得 (x十1)一(夕一2)一15,即(v尹呀耳万),一(、/亏二厄)’=15,③令①得、/不l石一、厂压江豆一3.①+④得2、王平)一8..’.犷一15.把二一15代人①得y一3经检验,原方程组的解为工一15y一3.一点点滴滴一①②③①②③2.解方程丫任二再一、饭…二亏一2,解显然(x+3)一(x一5)一8,即(丫任干百)2一(丫下二息)’=8.②十①得丫王干百+、任二亏一4.①+③得2训诬耳毛一6,解得x一6.经检…     

一次方程组中的"整体思想"(初一、初二、初三)

.整体代入 ,,.l一31一41一5 一一一一一一例1解方程组3x Zy一8,6x gy=21. 分析3x十Zy可看成一个整体,将方程②变形为 2(3x 2夕) 5夕一21,将方程①整体代入,得 2 XS十sy=21,解得y一1,把y一1代人①得x一2. J二夕x y 工之x z①② yzy十z 护!|!、||l、 组 程减方加解体整42.例 分析     

两道数学竞赛题的解法技巧

}郑z一1,① 例l解方程组二一y二一1,② 匕2)尸一z一1.趁夕 (1998年湖北宜昌市初中竞赛题) 分析从方程一①、②、③可看出分别有二、y、二三个未知数的积和其.中两个未知数的积.因此,分别将②火二,③火二,则三个方程都含有二、少、二三未知数的积了,再将①式分别代入新方程即可求解. 解②x二一得厂一勺二一二,…了一一1一0. 1土、/5 二二-一’ ③又二得xy二一扩一二,…z2+z一1~0. 一1士丫万 ‘.名一2炎,当 1+丫5一1+丫‘x一一百--’之一--乏-呈时,y一l;当x一1+丫’5 23一训5,之-一1一 25~」_—口丁,乡,一当二一1一侧5一1+丫5时 3十训5y~一2当…     

数系对数学命题和谐性的影响

先看一道思考题:已知二+三 刁,+三 少名 一一一一 y忿 ++l一xl一y=z+送, 工之 X +1一z且x、y、z两两不等,求证: x,,.名.=1。 证由已知条件得①②③X一y=y一Z=才—X二二二y一忿 义夕Z—.艺 夕名X一y 忿龙①x②x⑧得:(x一y)(y一z)(z一x)=①② 厂y一z)(z一x)(x一7) 扩y.zl 丫x、扒z两两不等. .’.(x一y)(y一z)(z一x)护0, x勺、,=1.证毕. 另一方面,若将题设中三式相加有: 1二1二1二2.,x ,丁州卜y十月了个z十二丁宁X=x十二二二十夕宁二二 X一yZ之)一yZ+之+之, Z之一二.砂+少+砂一卿一x之一yz_八枯理得二-‘一已‘一二‘二一一-二‘‘-‘二‘…     

第36届加拿大数学奥林匹克(CMO)(高二、高三)

求所有满足方程组现在要放8个车,则所有放法种数为{‘不夕一z一x一y,2二之一y一x一z,夕之一x一y一z,的三元实数组(x,y,2). 解原方程组可化为{图2令m一(x l)(y 1)一z 1,(x 1)(z十1)一y 1,(少 1)(z l)=x 1.x 1,n~夕 1,t=z 1可得若m,n,t中有一个为O,则其余两个必为O,即(0,o,0)为新方程组的解.若m,n,t是非。实数,将①代人②、③得①②③ ,,.=t﹃﹃棚mtntr||少、||t }m。mn一n,二_【m~士1 、n .2刀刀一刀刁。、n一二亡1。则得到新方程组的解为: (l,1,1),(1,一1,一1), (一1,1,一1),(一1,一1,1).故原方程组的解为: (一l,一1,一1),(0,0,0),(O,一2,…     

运用二次根式性质解题一例

题目若实数x、y满足x丫1一x一丫y一2+丫1一二,则3尹+x夕一少尹一xy+犷解由已知得(x一1)丫丁二耳一、今二万.根据二次根式的性质,寿二范妻。, ·:丫1一x》o,.(x一1)丫1一x)0.一1)0,:.工妻1.又丫1一x)O,。,.由①、②得x一1. 3扩+xy一少_ 尹一xy+少x毛1.此时丫y一2一。,…y一23+2一41一2+413运用二次根式性质解题一例@陈清珍$陕西渭南竞存中学~~     

数学竞赛中特殊方程(组)的特殊解法

解方程(组)类型的问题是各种数学竞赛中较常见的,但竞赛中的方程(组)结构的特殊性,导致解法也是非常规的。下面笔者就多年辅导数学竞赛在此方面所得归纳如下: 1 应对称性解方程(组) 例1 方程组 有唯一的一组实数解,求实数a及方程组的解.(中山纪念中学1997年全国联赛预选题) 解 方程组关于x,y是对称的,若(x,y,z)是一组解,则(y,x,z)显然也是此方程组的一组解,由方程组有唯一解知,必有x=y,原方程组化为 消去z得2x~2 2x-a=0. 由△=0得a=-1/2,此时x=-1/2,y=-1/2,z=1/2。     

整体思想应用例说

整体思想简单地说就是注重问题的整体结构,对问题进行整体处理的数学思维方式。对于一些问题,作整体处理,常会收到明朗快捷的解题效果。江西省泰和县第四中学廖章荣｛x+y=90①y+z=110②z+x=120③｛x=50y=40z=70｛x+2y=62y+3z=83z+x=4一、整体加减例1解方程组分析:先消去一未知数化为二元一次方程组求解,较麻烦,这里采用整体加减。解①+②+③,得x+y+z=160④④-①,得z=70④-②,得x=50④-③,得y=40故原方程组的解是练习1:解方程组二、整体代入例2已知a-b=1000,c-a=-999,求(2a-b-c)(c-b)2的值。分析:先由已知求出c-b的值,另注意到2a-b-c=(a-b)-(…     

一道竞赛题的巧思妙解

题目已知二+Zy一z一8①,2二一y+z一18②,则8二+y+z一.(2001年重庆市初二初赛题) 许多同学将①又2+②X3,得到sx+y十z一8 xZ十18 x3一70.这种解法虽属自然,毕竟有拼凑之嫌.这里介绍几种典型的解法,供参考.解法1视二为常数,解y、z的方程组Zy一z一8一j,一y十z一18一Zx,得y一26一3x,z一44一SJ,代入得8,+y+z~8二+26一3二+44一5二一70.解法2把两方程左边都加上(8二十y+z)一(8二+y+z),适当合并后整理得3(3二十y)一(8x十y十z)一8①一2(3二+y)+(8二+y+z)一18②整体消元:募①XZ+②x3,得8二+y+z一70. 这种解法很注重从整体的观点看问题. 解法3设8x+y…     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

巧解一道方程组

题目确定方程组{x+y+z=3;①x~2+y~2+z~2=3 ②x~3+y~3+z~3=3 ③的整数解. 解由①,得x+y=3-z,④由②,得(x+y)~2-2xy+z~2=3 ③     

利用因式分解求不定方程整数解

因式分解的应用很广,本文举例说明它在求不定方程整数解中的应用. 例1求方程尹一少一12的正整数解. 解原方程可化为 (x十y)(x一y)~12. 而12一1 x12~2x6一3x4,因为x+y、x一y奇偶性相同,{x+’一“,}x一y一2,x一4,y一2.:.原方程的正整数解是x~4,y一2.例2求2尹一xy~10的正整数解.解原方程可化为 x(Zx一y)~10.而10一1 x10~2 xs,x、y是正整数, {百- 人‘义一10 y-10,19,Zx一y5, 是原方程的正整数解.8若x>y>。,求xs+7y一犷十7x的整数解.之y-"!3 原方程化为: 护一少一7x+7y一0, (-r一y)(了十艾y+犷一7)一。望>夕>O,…了一y护O,丫+艾y+犷一7.x>y>O,…     

一个充要条件的应用

齐次线性方程组a_1x+b_1y+c_1z=0a_2x+b_2y+c_2z=0(*)a_3x+b_3y+c_3z=0的系数行列式是D=a_1 b_1 c_1a_2 b_2 c_2a_3 b_3 c_3显然,当 D0时,方程组(*)有唯一解,即x=y=z=0,或叫做零解.但当 D=0时,方程组(*)除零解外还有无穷多个非零解.关于方程组(*)有非零解的充要条件有下述定理:定理:齐次线性方程组(*)有非零解的     

利用等比定理解代数题

一、用于方程组求解::夕:z=3:4:5,①·例1。解方程组②代( 略解:由①::=3k人②求k再求劣、鲜、劣+ 军二y一之二5.4无,z=5无,Z.用于求值已知a:3+生+生 鱿z=b梦s=ezs(a,b二1。c为常习。:“+b;‘不万至的值.由已知条件: b夕2 e22a劣2+b军2+ezZ一1/梦一1/之一1/劣+1/夕+1/z==a劣2+b yZ+ezZ, 、乙i一劣全一劣二娜且求解竺l/ 数.’.粼a:名+b鲜2+e:“ 粼丁方『一1/劣一1/即刁矛刀了十刀了+划J=刃了=1/二不l/y不万五二粼万+腼.+粼万.三、用于证条件等式例3.若a劣2yZ b夕2一z劣 C22一x鱿,且:犷z神。,求证:a劣+b今+cz=y+z),由 a 劣2一(a+b+e)(劣+ b…     

方程组解法归类

一、设比值法 例1解方程组{x＋y＋z=800,①2x＋8y＋4z=1600,②x：z=2：3③ 解析：本题中的第三个方程是比例式，根据比例式的性质可设z=2k（k≠0。本理同）。z=3k。那么由原方程组可得{5x＋y=800,④2k＋y=200⑤     

一道IMO试题的又两种简证

题目:已知x、y、z)o,且x y十z一1,、_、一_,二_,7水址:U气xy十y二十zx一艺了yz哭不万 乙了 这是第25届I人了O试题.贵刊在1997年第2期和1998年第3期中分别刊登了董大禄,杨仁宽两位老师的简证,本人再给出两种简证.利用一次函数的单调性 证明:①当二、y、z中有一个为零时,不妨设二一。 /(y十z)21一7则了, 、忆 zx一Zx,z一v￡毯一一二<六,·、一护·一-·------一2-~44一27’原不等式成立.②当二、y、二中有两个为零时,不妨设x-y一。,则二y y二 二x一Zxy二一。,原不等式显然成立.③当二、夕、二全不为零时,由对称性,不妨设x)y)二,则。相似文献