一元二次方程两根的表示形式及其应用

对一元二次方程 ax2 +bx +c=0 (a≠0 )而言 ,两根的表示形式是指方程的两根x1 ,x2 和三项系数 a,b,c之间的各种结合方式 .本文将展示两根的表示形式 ,并通过例举有关问题来显示它们在解题中所具有的重要作用 .1　一元二次方程两根的定义形式一元二次方程两根的定义形式是指方程的一般形式 ,即 ax2 +bx +c =0 (a≠0 )　 (1) ,它表示了五个字母 x1 ,x2 ,a,b和 c之间最基本的结合方式 ,这种方式不仅具有明显的数学特征 ,而且可以演变出许多有价值的形式 .1.1　定义形式表明两根 x1 ,x2具有高度统一的形式针对一个具体的问题情景 ,如果某些数量…     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

韦达定理逆定理的应用

大家都知道:实数 a、b 满足:a+b=m,ab=n,则 a、b 是方程 x~2-mx+n=0的两根——韦达定理逆定理.若在解题过程中能联想到这个定理,则不仅能为我们增加一条解题思路;而且往往能出奇制胜,提高我们的解题能力.下面举例说明它在解题中的一些应用.     

综合运用判别式和韦达定理解题

本文以近年初中数学竞赛试题为例,谈谈综合运用判别式和韦达定理解题,供参考. 一、解方程例1(2002年全国联赛)已知a、b、c三数a+b=8,满足方程组ab-c2+82c, 试求方程bx2+cx-a=0的根.     

一元二次方程中的重要结论在中考中的应用

数学解题能力的提高,需要借助丰富的解题经验.适当记住一些简洁的结论,可以快速抓住问题的本质,简化思维过程,提高解题效率. 在学习一元二次方程的过程中,我们可以得到下面的结论: 一、设x1、x2是一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的两实根,那么x1+x2=-b/a,x1x2 =c/a 这是因为,当b2-4ac≥0时,一元二次方程的两根为-b+√b2-4ac/2a和-b-√b2-4ac/2c.     

构造方程解数学题的常用方法

构造一元二次方程是重要的解题方法之一 ,一些试题由于其综合性、技巧性强 ,常使许多学生感到束手无策。若能够根据题目的条件和结论、结构的特征进行联想 ,构造出适当的方程来解证 ,不仅思路清晰、方法简捷 ,而且有利于培养学生的创新能力和思维能力。本文介绍几种构造方程的常用方法。一、根据根的定义构造方程若已知条件中有两个等式 as2 +bs+c=0和 at2 +bt+c= 0 (a≠ 0 ) ,则根据根的定义 ,可构造根为 s和 t的一元二次方程 ax2 +bx+c=0。例 1　设 a2 +2 a=b4 -2 b2 =1 ,且 1 -ab2≠ 0 ,求(ab2 +b2 +1a ) 2 0 0 1的值。解 :由已知等式得(…     

一元二次方程根的判别式的应用

对于实数系一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 ) ,如果 b2 - 4ac>0 ,那么方程有两个不相等的实数根 ;b2 - 4ac<0 ,那么方程没有实数根 .这就是一元二次方程根的判别式定理 ,我们把△ =b2 - 4ac叫做方程 ax2+bx+c=0 (a≠ 0 )的判别式 .这个定理的逆命题也是成立的 .判别式定理揭示了一元二次方程的系数与它的根之间的内在联系 ,它的应用主要有以下几个方面 .1 .判断方程根的性质 .在初中阶段我们研究的是实数系数的一元二次方程 ,有下列命题 :(1 )一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )中 ,如果 a、 b、 c是有理数且△ =b2 - 4ac是一个完全平方数…     

韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

让“根回娘家”解题

若S是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则aS2+bS+c=0.这种把根代入原方程的方法叫“根回娘家”.让“根回娘家”解与方程根有关的问题,能收到意想不到的解题效果.     

韦达定理及其应用研究

一、基础知识“若实数x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a”,这一关系称之为韦达定理;其逆定理是:“若实数x1,x2满足x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,则x1,x2是方程ax2+bx+c=a(a≠0)的两个根”,韦达定理及其逆定理在各类数学竞赛中具有广泛的应用,下面举例加以说明:二、应用举例1.用于求方程中参系数的值例1 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

韦达定理在物理中的应用

若一元二次方程ax^2 bx c=0(a0)的两人根为x1，x2，则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a。这个结论在数学中称为韦达定理，在物理中有很多方程为一元二次方程，有时应用韦达定理解题很简捷，下面略举几例说明。     

让根“回娘家” 解题简又捷

若x_1、x_2是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根,则ax_1~2+bx_1+c=0和ax_2~2+bx_2十c=0.这种把根代入原方程,即让根"回娘家"的方法在解题中有着独特的作用.     

利用数形结合的方法求方程中参数的取值范围

<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围.     

根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a,这就是一元二次方程根与系数的关系,又称韦达定理.根与系数的关系在解题中有着广泛的应用.     

利用根与系数关系解方程

一元二次方程的根与系数的关系,是数学家韦达发现的,也称为韦达定理. 设x1、x2是方程似ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则我们知道,利用这一定理可以求代数     

一元二次方程根的判别式的应用

对于实数系一元二次方程ax2+bx+c＝0 (a≠0 ),如果b2-4ac＞0,那么方程有两个不相等的实数根;b2-4ac＜0,那么方程没有实数根.这就是一元二次方程根的判别式定理,我们把△＝b2-4ac叫做方程ax2+bx+c＝0 (a≠0 )的判别式.这个定理的逆命题也是成立的.判别式定理揭示了一元二次方程的系数与它的根之间的内在联系,它的应用主要有以下几个方面.     

关于韦达定理的一点补充

对于一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根X_1,X_2,确X_1+X_2=-b/a,(1)X_1·X_2=c/a.(2) 这就是著名的韦达定理. 我认为韦达定理的内容尚可补充下列一条,以简便解题过程:     

巧用韦达定理解竞赛题

如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数?     

“判别式”在解题中的应用

实系数一元二次方程根的判别式,不仅能直接判定根的情况,而且能用来解决与二次函数、二次不等式以及与二次曲线有关的某些问题,下面对此加以归纳,以提高学生的解题能力。 一、解决与方程ax2+bx+c=0(a≠0)有关的问题 1.判定方程有无实根 通常把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式b。