一次变式教学带来的意外收获

一、提出问题 笔者现任教高三理科实验班,在教学中遇到这样一个问题:(Ⅰ)已知不等式x/2x+y+y/x+2y≤c≤x/x+2y+y/2x+y对一切正实数x,y均成立,试求常数c的值.     

用几何方法求函数F(t)=(dt+e)/t~2+bt+c的最值

求函数 F(t)=dt+e/t~2+bt+c的最值,已有一些同志谈及,本文将用几何法讨论这个问题,它具有便捷、简单、直观的特点。在F(t)=dt+e/t~2+bt+c中,令y=dt+e…①x=t~2+bt+c…②于是求F(t)的最值,就是求y/x的最值。由①得t=y-e/d代入②则x=(y-e/2)~2+b·y-e/d+c 整理可得(y-2e-bd/2)~2=d~2(x-4c-b~2/4)…③它所表示的是以(1/4(4c-b~2),1/2(2c-bd)为顶点,y=1/2(2c-bd)为对称轴,开口向右的一条抛物线。由于y/x=y-0/x-0,y-0/x-0是坐标为(x,y)的点与坐标原点连线的斜率,于是求y/x的最值,就是求曲线③上的点与坐标原点连线斜率的最值。由切线的意义,显然我们有     

一类无理函数值域求法探究

在函数中,我们常常会遇到求无理函数y=px +a±m((ax2+bx+c)~(1/2))的值域问题．本文通过一道例题探究这类函数值域的几种求法．例题求函数y=x+((x2-3x+2)(1/2))的值域． (2001年全国联赛试题) 方法1方程法函数值域就是使关于x的方程y=f(x)有解时 y值的集合．     

运用判别式法探求一类条件最值

问题已知a,b,c,m,λ均为常数,m＞0.若x,y满足不等式ax2+bxy+cy2≤m,求s=x+λy的最值.     

化归思想在高中数学解题过程中的运用

<正>一、化归思想在函数中的运用例1已知函数y=x³-3x+c的图像与x轴相交有两个公共点,求c值。证明:因为y=x3-3x+c的图像与x轴相交有两个公共点,求c值。证明:因为y=x³-3x+c,所以y′=3x3-3x+c,所以y′=3x²-3=3(x+1)(x-1)。所以当x=±1时,函数存在极值。由于y_(x=1)=0或者是y_(x=-1)=0,就可以得出c-2=0或c+2=0,即c=±2。二、化归思想在不等式中的运用不等式是高中数学中较为重要的内容,这种解题方法通常会与函数方程进行进行紧     

究竟为什么错

《不等式》极值定理的应用习题课中，笔者选用这样一道例题进行分析．已知：x&;gt;0，y&;gt;0，x+2y=1，试求1/x+1/y的最小值①．教学中，根据均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”的条件，经过笔者的引导，师生共同完成了下列两种解法．     

一道最值题的错解通解与推广

题　已知a、b、c ,x、y、z是实数 ,a2 +b2 +c2 =1 ,x2 +y2 +z2 =9,求　ax +by +cz的最大值。1　错解解　由均值不等式可得ax≤ a2 +x22 ,by≤ b2 +y22 ,cz≤c2 +z22 ,各式相加得 :ax +by +cz≤ a2 +x2 +b2 +y2 +c2 +z22=a2 +b2 +c2 +x2 +y2 +z22=1 +92=5 ,即　ax +by +cz≤ 5 ( )故　ax +by +cz的最大值为 5。错因　在用均值不等式求最值时忽略了等号成立的条件 ,因为要使 ( )等号成立 ,当且仅当a =x ,b =y ,c=z ,这与已知条件矛盾。所以ax +by +cz <5 ,即ax +by +cz的最大值不可能为 5。2　通解分析　该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y…     

二元函数的条件最值问题的解几计算法

最值问题是中学数学教材中的主要内容之一.多元函数的条件最值问题可以通过约束条件使其变成一元函数的最值问题求解.本文拟给出某些二元函数条件最值问题的两种简捷、明晰的解几计算方法.例1若x²+y²=k（k>0）,求x+y的最大、最小值.分析:题目的几何意义十分明显,x²+y²=k表示圆心在原点,半径为k^1/2的圆.若令x+y=m,即y=-x+m（m为参数）,它表示斜率为-1的直线族.求x+y的最值,即求直线和y轴交点的最高,最低位置,但因受条件的约束,该直线不能离开圆,故必切于此圆（图1）.于是得解法如下.     

妙用不等式“A/x+B/y≥(A~(1/2)+B~(1/2))~2/(x+y)”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值:题目1已知x,y∈R~+,且1/x+4/y=1,求4x+9y的最小值;题目2已知x,y∈R~+,且2x+9y=5,求2/x+1/y的最小值.此类最值,我们老师采用如下方法,以题目     

巧用判别式求解代数式的最值问题

<正>在各类初中数学考试中,常常会遇到求最值问题.其中某些求代数式最值问题,若能根据已知条件,构造一元二次方程,利用根的判别式求解不失为一种有效的方法.下面举例说明,供参考.例1已知x,y都是实数,并且适合方程x²-xy+y2-xy+y²-2x-2y+3=0,求x+y的最大值与最小值.     

探析圆之“最值”

与圆有关的最值问题是一类热点问题,常见解法是观察所给式子的几何意义,充分利用圆的性质,由数形结合来解决. 一、与圆上的点的坐标有关的最值问题 例1 设实数x、y满足x 2+(y-1)2=1,求y+2/x+1的最值. 分析:y+2/x+1的几何意义是圆上一动点(x,y)与已知定点(-1,-2)连线的斜率.     

初中数学中的函数最值问题

最值问题是初中数学的一个重要内容,也是各种考试命题的一个热点。笔者根据自己的教学体会,将初中阶段所涉及的求函数最值问题的题目类型归纳如下。 一、求y=ax~2+bx+c(a≠0)型的最大(小) 值 当a>0时,y最小值=(4ac-b~2)/4a;当a<0时,y最大值=(4ac-b~2)/4a。 例1.求y=-2x+7的最大值. 解 ∵a<0,∴y最大值=(81)/8. 例2.求y=2x~2-3x+4的最小值. 解 ∵a<0,∴y最小值=(23)/8. 二、求隐二次函数的最大(小)值 已知y与x不成二次函数关系,但z与x成二次函数关系,可以先求z的最大(小)值,而后再求y的最大(小)值. 例3.求函数y=1/(2+(x-1)~2)的最大值.     

常见恒成立问题的等价方法

一、等价为均值不等式求最值[例]1（2010,山东）Vx〉O,x/x2＋3x＋1≤a,求a的取值范围．分析：令y=x/x2＋3x＋1,化简得y=1/x＋1/x＋3转化成均值不等式的处理问题,等价于求y的最大值．     

对一道高中数学最值问题的研究

笔者最近在帮助高三同学数学答疑过程中,遇见下面一道数学求最值问题: 已知x,y∈R,x2+y2-3xy=2,求x2+y2的最值. 解法一利用换元法结合基本不等式求解     

物理中常见的数学方法应用

本文给出了高中物理中几种常用的数学方法:利用三角函数y=acosα+bsinα求极值,利用二次函数y=ax2+bx+c求极值,利用a+b+c/3≥(abc)1/3,求最值,以及利用分式求极值。     

利用截线段长度求解的问题

<正>在二次函数中有一类问题,可以利用平行于y轴的直线被二次函数与一次函数所截线段长度来求解的问题.在求线段最值,三角形,四边形的面积最值,线段与线段的数量关系等方面有着广泛的运用.例1(2012年株洲中考题)如图1,一次函数y=-12x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.(1)求这个抛物线的解析式;(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这个抛物线于点N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?     

一类基本不等式题型的最值

本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab^1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab^1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p²/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S^1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值.     

利用三角方程asinx+bcosx=c有解的条件解题

<正> 三角方程asin x+bcos x=c有解的充要条件是利用这一结论,可简捷地解决一些三角函数问题.一、求有关三角函数的值域或最值例1 求函数y=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值     

活用基本不等式,巧求最值

<正>用基本不等式求最值时需要满足"一正、二定、三相等"的条件,在实际解题中,为了满足三个条件,往往需要对式子的结构进行配凑、变形、构造。例题已知x>0,y>0,1/x+1/y=1,求4x+y的最小值。一、常见错解错解:因为1/x+1/y=1≥2(1/x·1/y)/2)=     

一道条件值域题的解法剖析

题目：正数x，y满足1/x+1/y=m(m为正常数)，求x+4y的值域．