“三点共线”不容忽视

四边形是初中几何的重要内容之一,也是中考的必考内容,它既是三角形知识的扩展,又是学好相似形和圆的基础.但在四边形的证题过程中,不少同学都容易犯一个错误——漏证“三点共线”.一、证题过程中漏证“三点共线”例1从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证连接各垂足的四边形是矩形.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,OH⊥DA于点H,依次连结EF、FG、GH和H E,求证:四边形EFGH为矩形.误证:因为BD为菱形ABCD的对角线,所以∠ABD=∠CBD.又因为OE⊥AB,OF⊥BC,由角…     

第五章 直线型

一、本章导析本章重点是四边形 ,难点是相似形 .近年来四边形的大题越来越多 ,但难度不大 ,相似形一般不出大题(其内容一般放在圆中考 ) ,以相似形性质为主 .二、例题解析例 1　如果两个等腰直角三角形斜边的比是 1∶2 ,那么它们面积的比是 (　　 ) .A.1∶ 1　 B.1∶ 2　 C.1∶ 2　D.1∶ 4分析 :首先我们要知道两个等腰直角三角形是相似的 ,其次不要把关于相似形面积的性质用反 .解 :∵相似形面积的比等于相似比的平方 ,∴所求面积的比是 1∶ 4 ,选 D.例 2　如图 1- 5- 1,等腰梯形 ABCD中 ,AD∥BC,∠ B=4 5°,AE⊥ BC于点 E,AE=A …     

充分发挥学生的解题能力

在教完“相似形”一章后,布置如下一道习题,要求学生用几种不同的方法证明.现将学生的证明归纳如下六种,供参考. 题目已知:△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,BD为AC上的中线,AE⊥BD交BC于点E.求证:BE=2EC.     

巧用面积法解(证)平面几何题

有些平面几何 ,本身虽然与面积无关 .若从面积的角度来考虑 ,往往具有思路明快 ,过程简捷 ,现举例如下 .一、用面积证明线段相等例 1　如图 1,在△ A BC中 ,BE⊥ AC于 E,CF⊥AB于 F,且 BE =CF,求证 :AB =A C.证明 :在△ A BC中 ,由三角形面积公式 ,得S△ ABC=12 A B .CF =12 A C .BE∵ BE =CF,∴ AB =AC.图 1图 2二、用面积法证明线段不等例 2　如图 2 ,在△ A BC中 ,BC >A C,AD⊥ BC于D,BE⊥ AC于 E,求证 :BE >A D.证明 :∵ S△ ABC =12 BE .A C =12 AD .BC,∴ BEA O=BCA C,又∵ BC >AC,∴ BE >AD .…     

平行四边形中的“双垂型”及其应用

一、双垂型如图1,2,平行四边形ABCD中,AE⊥BG于点E,AF⊥CD于点F容易推得:(1)LEAF=LABC;(2)AE/AF=CD/BC我们将上述过平行四边形的一个顶点作一组邻边的垂线而形成的图形称为平行四边形的"双垂型".需要说明的是,上述结论对于∠BAD为直角的特殊情形也成立,当图1中点E位于BC的延长线上或点F在DC的延长线上时,结论也不受影响.二、应用例1如图3,平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥     

2011年全国初中数学联赛几何证明题证法赏析

题目:如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N.如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.证法1:过N作NQ⊥AC于Q,NH⊥BC于H,过M作ML⊥AB于L,MR⊥BC于R,连NR交PD于G.因为BM平分∠ABC,所以ML=MR.又PF∥ML,PG∥     

巧推三角形的面积公式

题目:三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(Ⅰ)求证AB⊥BC(Ⅱ)设AB=BC=23,求AC与平面PBC所成角的大小.浅析(Ⅰ)图1思路一:由PA=PB=PC,联想到圆锥的所有母线长相等,于是作圆锥PO,使PA、PB、PC都是该圆锥母线,如图1,由面PAC⊥面ABC及PO⊥面ABC,知PO面PAC,因此AC是圆锥底面圆的直径,可得AB⊥BC.思路二:如图2,延长CP到D,使PD=PC,连结DA、DB,由PA=PB=PC=PD可知DA⊥AC,DB⊥BC,又面DAC⊥面ABC,于是有DA⊥面ABC,由三垂线定理的逆定理可知AB⊥BC.思路三:由PA=PB=PC,联想到球的所有半径长…     

三道数学联赛题的分析

1.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,试证BC⊥BD,且BC=BD。 分析:根据题目要求,画出图形如图1。欲证BC⊥BD且BC=BD,只需证△PCB≌△PDB,这是因为△ACB为等腰直角三角形,故∠ABC=45°,而此时∠DBP=45°.这样∠DBC=45° 45°=90°故BC⊥BD.而BC=BD是显然的。以下给出证明。     

提高创新能力三法

求二面角的大小 ,基本作法是算其平面角的大小 ,但平面角没有固定位置 ,高考中因其定位失误而丢分的现象颇多 .本文举例介绍几种常用的途径 ,帮助同学们掌握要领 .一、利用棱或两个面的垂面【例 1】　在三棱锥S-ABC中 ,SA⊥底面ABC ,AB⊥BC ,DE垂直平分SC ,且分别交AC、SC于D、E两点 ,又SA =AB、SB =BC,试求二面角E-BD -C的度数 .解 :∵SB =BC、DE垂直平分SC ,∴SC ⊥BE、SC⊥平面BDE、∴平面SAC ⊥平面BDE .∵SA⊥底面ABC ,∴平面SAC⊥平面BDC .∴∠EDC为E -BD-C的平面角 .∵AB ⊥BC、AB =SA、SB =BC …     

借助三角形的垂心解题

<正>如图1,CF,BE是ABC的高,其交点H是ABC的垂心,则AD必定垂直于BC.证明如图1,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连结AH并延长交BC于点D.∵CF⊥AB,BE⊥AC,∴四边形BFEC为圆内接四边形,四边形AFHE为圆内接四边形.     

面积法解题更简便

我们先看一道哈尔滨市的中考试题: 如图1,已知在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC.点P为BC边上一点,且PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G.求证:PE PF=BG,有关的参考解答如下:过点P作PH⊥BG,垂足为H,如图2所示. BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG, 易知四边形PHGF是矩形.     

例析二面角的求解策略

一、直接法 1.利用定义 例1 如图1,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于点D、E,SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.     

一条新线的发现

命题　如图 1,I是△ABC的内心 .作AA1⊥AI交BC的延长线于A1,作BB1⊥BI交CA的延长线于B1,作CC1⊥CI交BA的延长线于C1.则A1、B1、C1三点共线 .图 1证明 :如图 1,作△ABC的内切圆切BC于A2 、切AC于B2 、切AB于C2 .延长A2 B2 交BA于C3,延长C2 B2 交BC于A3,延长A2 C2交CA于B3.易得AA     

从一道平几习题的推广谈联想训练

在数学教学中要注意对学生进行联想训练。引导学生对典型习题作深入研究。推广其结论,是进行联想训练的重要方法。本文以《相似形》中的一道复习题为例谈联想训练的过程。例:△ABC中,DE‖BC.BE CD相交于点O,AO:与DE、BC分别相交于点G_1、F_1。求证F_1为BC的中点。     

细心玩味 魅力无穷

在一些基本图形中,蕴含着许多有用的知识,如果同学们细心思考、仔细玩味,就会有意想不到的惊喜和收获.现举一例说明:例如图1所示,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D是AB的中点,过点D作DE⊥AC于点E,则DE的长是.思路点拨△ABC是等腰三角形,常常用到勾股定理.D是AB的中点,遇中点要想到中位线.过B作BG⊥AC于G,BG可利用△ABC面积不变来求得.由等腰三角形中三线合一及勾股定理知BC上的高AF     

一道考题的解法研究

题目 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E．     

一类几何题的证明技巧

对结论以“1a+1b=1c”形式出现的几何证明题,许多初学几何的同学感到困难,其实,只要掌握了它的证明技巧,问题就容易了.证明这类几何题,首先应将问题的结论变为ca+cb=1,然后按照下列步骤进行证明:⑴将ca和cb分别转化为ca=mm+n和cb=nm+n,其中,线段m、n应考虑在同一条直线上;⑵通过计算,得到ca+cb=mm+n+nm+n=1后,再回到结论.现举例具体说明这类几何题的证明.例1已知:AB⊥BC于B,DC⊥BC于C,AC、BD相交于E,过E点作EF⊥BC于F.求证1AB+1CD=1EF.分析与证明结论变形为EFAB+EFCD=1,在BC上设BF=n,FC=m,∵AB⊥BC,EF⊥BC,DC⊥BC,∴E…     

结构联想——巧解圆中线段的两倍关系

<正>在三角形、四边形这两章的学习中,我们经常会碰到线段的相等关系、和差关系、倍数关系的推理问题,但圆中涉及到线段倍数关系的题目并不多.本文通过对一道例题的分析,给出几种解题的策略,供同学们参考.例题如图1,点A、B、C、D在⊙O上,AC⊥BD于点E,过点O作OF⊥BC于点F.求证:(1AEB∽OFC;(2)AD=2FO.分析(1)要证AEB∽OFC就得围绕相似三角形的几种判别方法.AC⊥BD与OF⊥BC为我们提供了一组直角相等,下面就     

例谈比值之和、差、积为“1”的问题

初中几何《相似形》一章中有一类问题是:证明比值的和、差、积为“1”.学生对这类问题往往感到无从下手.其实,这类问题的关键是根据条件进行适当变形,就不难解决了.下面举例介绍这类问题的解法.一、两个比值的和为1例1已知:如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,M为BD上任一点,ME⊥AB于E,MF⊥CD于F.求证:MBCF MADE=1.分析求证式中两个比值的线段不在同一个三角形中,不易比较,因而考虑将比值进行变形,有利于求和.证明∵MF⊥CD,∠C=90°,∴∠C ∠MFC=180°.∴MF∥BC.∴MBCF=DDMB.同理可证:ME∥AD.∴MADE=BDMB.∴二、MB…     

"极端化原则"的应用

在数学学习中,用极端化原则求特殊值,是常见的一种思考方法,这种方法直观、便捷,深受学生的喜爱. 一、问题探究 例1 △ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G.